经典电磁场简正模

矢势 A 的解

取库伦规范并令电标势 φ\varphi 为 00 可得无源的达朗贝尔矢势方程：

[1c2∂t2−∇2]A=0\left[\frac{1}{c^2}\partial^2_t-\nabla ^2\right] \mathbf{A}=0

波动方程的通解为：

Ak(x)=C⃗eik⋅x−iωkt\mathbf{A_k}\left(\mathbf{x}\right)=\vec{C}e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-i \omega_k t}

代入达朗贝尔方程，可得矢势 A\mathbf{A} 的传播方向与振动方向垂直

自由空间中的平面波也是振动与传播方向垂直，虽然与矢势 A\mathbf{A} 的结果相同，但却是从不同的条件得出的：一个是无源条件∇⋅E=0\nabla \cdot \mathbf{E}=0，另一个是库伦规范∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A}=0 + 零势能 φ=0\varphi =0

由于周期性边界条件可用于傅里叶变换，一般采用周期性边界条件。虽然在实际物理系统中不存在周期性边界条件，但当空间无穷大时，边界条件的选取是随意的（距离越远，对势能的影响越小）。得到 k\mathbf{k} 的取值

k=(2πLxnx,2πLyny,2πLznz) \mathbf{k}=\left(\frac{2\pi}{L_x}n_x,\frac{2\pi}{L_y}n_y,\frac{2\pi}{L_z}n_z\right)

我们仅能从库伦规范中得到传播方向与振动方向垂直，和从周期性边界条件得到 k\mathbf{k} 的取值，并不能确定具体传播方向和振动方向，因此矢势 A\mathbf{A} 的方程为所有传播方向 k\mathbf{k} 和偏振方向 σ\sigma 的加和（不同频率的光代表不同颜色，与自然光相符），可写为

A(x,t)=∑k,σ[αkσeik⋅x−iωkt+αkσ∗e−ik⋅x+iωkt]=∑k,σ[αkσ(t)eik⋅x+αkσ∗(t)e−ik⋅x]\begin{align*} \mathbf{A}\left(\mathbf{x},t\right) &=\sum_{k,\sigma}\left[\alpha _{k \sigma}e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-i \omega_k t}+\alpha ^*_{k \sigma}e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}+i \omega_k t}\right]\\ &=\sum_{k,\sigma}\left[\alpha _{k \sigma}\left(t\right)e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}+\alpha ^*_{k \sigma}\left(t\right)e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}\right] \end{align*}

这就是无穷多谐振子的振动集合，式中的共轭项是为了保证 A\mathbf{A} 为实数

电磁波的方向的判断：

kx−ωt=Δ⇒x=ωkt+1kΔkx+ωt=Δ⇒x=−ωkt+1kΔ \begin{align*} kx-\omega t&=\Delta \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\omega}{k} t+\frac{1}{k}\Delta\\ kx+\omega t&=\Delta \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\omega}{k} t+\frac{1}{k}\Delta \end{align*}

若 xx 如第一式随 tt 的增加而增加，则是右行波；若 xx 如第二式随 tt 的增加而减小，则是左行波。也就是说 kxkx 和 ω\omega 异号是正向波波，同号是反向波。

电磁场的哈密顿量

当取 ∇⋅A=0,φ=0\nabla \cdot \mathbf{A}=0,\quad \varphi=0 时，电磁场Hamiltonian可写为

H=∫d3x(12ε0E2+12μ0B2)=∫d3x[12ε0(∂tA)2+12μ0(∇×A)2] H=\int \mathrm{d^3}x\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0 \mathbf{E}^2+\frac{1}{2\mu_0}\mathbf{B}^2\right)=\int \mathrm{d^3}x\left[\frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\partial_t \mathbf{A}\right)^2+\frac{1}{2\mu_0}\left(\nabla \times \mathbf{A}\right)^2\right]

对 A\mathbf{A} 分别求时间偏导和旋度，然后代入Hamiltonian中，电场项和磁场项分别可写为

∫d3x12ε0E2=∑kσε0Vωk2∣αkσ(t)∣2−12ε0Vωk2[αkσα−kσ+c.c.] \int \mathrm{d}^3x\frac{1}{2}\varepsilon_0\mathbf{E}^2=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\varepsilon_0 V \omega^2_{k}|\alpha_{\mathbf{k} \sigma}\left(t\right)|^2-\frac{1}{2}\varepsilon_0 V \omega^2_{k}\left[\alpha_{\mathbf{k}\sigma} \alpha_{-\mathbf{k}\sigma}+\mathrm{c.c.} \right]

∫d3x12μ0B2=∑kσVk2μ0∣αkσ(t)∣2−Vk22μ0[αkσα−kσ+c.c.] \int \mathrm{d}^3x\frac{1}{2\mu_0}\mathbf{B}^2=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\frac{Vk^2}{\mu_0}|\alpha_{\mathbf{k} \sigma}\left(t\right)|^2-\frac{Vk^2}{2\mu_0}\left[\alpha_{\mathbf{k}\sigma} \alpha_{-\mathbf{k}\sigma}+\mathrm{c.c.}\right]

将两式相加，Hamiltonian最后变为

H=∑kσ2ε0Vωk2αkσ∗(t)αkσ(t)H=\sum_{\mathbf{k}\sigma}2\varepsilon_0V\omega_\mathbf{k}^2\alpha^*_{\mathbf{k}\sigma}\left(t\right)\alpha_{\mathbf{k}\sigma}\left(t\right)

再将复指数形式的 αkσ(t)\alpha _{\mathbf{k\sigma}} \left(t\right) 写为 a+bia+b\mathrm{i} 的形式（蔡圣善，电动力学，§\S 14.5）

αkσ(t)=αkσe−iωt=qkσ(t)+iq˙kσωk \alpha _{\mathbf{k\sigma}} \left(t\right)=\alpha _{\mathbf{k\sigma}}e^{-i \omega t}=q _{\mathbf{k\sigma}}\left(t\right)+i \frac{\dot{q} _{\mathbf{k\sigma}}}{\omega _{k}}

其中 qkσ(t)=αkσcos⁡(ωkt)q _{\mathbf{k\sigma}}\left(t\right)=\alpha _{\mathbf{k\sigma}}\cos\left(\omega_{\mathbf{k}}t\right)，代入哈密顿量

H=∑kσ2ε0V(q˙kσ2+ωk2qkσ2)H=\sum_{\mathbf{k}\sigma}2\varepsilon_0V\left({\dot{q}^2 _{\mathbf{k\sigma}}}+\omega^2_k{q^2 _{\mathbf{k\sigma}}}\right)

若令 m~=4ε0V\tilde{m}=4\varepsilon_0V

H=∑kσp^kσ22m~+12m~ωk2qkσ2H=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\frac{ \hat{p}^2 _{\mathbf{k\sigma}}}{2\tilde{m}}+\frac{1}{2}\tilde{m} \omega^2_k{q^2 _{\mathbf{k\sigma}}}

这个方程又回到了我们上节提到的谐振子哈密顿量形式，我们再次构造无量纲的产生消灭算符

a^kσ=m~ωk2ℏ(q^kσ+ip^kσm~ωk) \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}=\sqrt{\frac{\tilde{m}\omega_k}{2\hbar}}\left(\hat{q}_{\mathbf{k}\sigma}+\frac{i\hat{p}_{\mathbf{k}\sigma}}{\tilde{m}\omega_k}\right)

a^kσ†=m~ωk2ℏ(q^kσ−ip^kσm~ωk) \hat{a}^\dagger _{\mathbf{k}\sigma}=\sqrt{\frac{\tilde{m}\omega_k}{2\hbar}}\left(\hat{q}_{\mathbf{k}\sigma}-\frac{i\hat{p}_{\mathbf{k}\sigma}}{\tilde{m}\omega_k}\right)

场哈密顿量则再次写为各种谐振模式下哈密顿量的加和

H^=∑kσ12ℏωk(a^kσ†a^kσ+a^kσa^kσ†) \hat{H}=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\frac{1}{2}\hbar \omega_k\left(\hat{a}^\dagger _{\mathbf{k}\sigma}\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}+\hat{a} _{\mathbf{k}\sigma}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\sigma}\right)

各个模式下的产生消灭算符满足对易关系

[a^kσ,a^qς†]=δkqδσς \left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma},\hat{a}^\dagger_{\mathbf{q} \varsigma}\right]=\delta_{\mathbf{kq}}\delta_{\sigma \varsigma}

[a^kσ,a^qς]=[a^kσ†,a^qς†]=0 \left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma},\hat{a}_{\mathbf{q} \varsigma}\right]=\left[\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\sigma},\hat{a}^\dagger_{\mathbf{q} \varsigma}\right]=0

第一式说明相同传播方向和偏振方向的模式满足简谐振子的对易关系；第二式 00 是由于不同模式的产生消灭算符没有依赖关系。

我们已知简谐振子的基态能量为 12ℏω\frac{1}{2}\hbar \omega，电磁场又是无穷多个谐振子叠加的结果，那么电磁场的基态能量就应该是

E0=∑k∞12ℏωk=∞ E_0=\sum^\infty _{\mathbf{k}}\frac{1}{2}\hbar \omega_k=\infty

？这对吗？显然不对，那怎么解决？在物理中，我们关心的是能量的相对值而不是绝对值，将哈密顿量中的常数去掉

H^=∑kσℏωk(a^kσ†a^kσ+12)→H^=∑kσℏωk(a^kσ†a^kσ) \hat{H}=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\hbar \omega_k\left(\hat{a}^\dagger _{\mathbf{k}\sigma}\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}+\frac{1}{2}\right)\rightarrow \hat{H}=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\hbar \omega_k\left(\hat{a}^\dagger _{\mathbf{k}\sigma}\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}\right)

这样每个谐振子的基态为 00，电磁场的基态也为 00 了。

量子化电磁场的状态和算符表示

电磁场的状态可由各个谐振子的 Fock 态直积而成

∣{n}⟩:=⨂kσ∣n⟩kσ=⋯⊗∣n⟩kσ⊗∣n⟩k′σ′⊗⋯\ket{\left\{n\right\}}:=\bigotimes_{\mathbf{k}\sigma}\ket{n}_{\mathbf{k}\sigma}=\cdots \otimes \ket{n}_{\mathbf{k}\sigma}\otimes \ket{n}_{\mathbf{k^\prime}\sigma\prime}\otimes \cdots

一般态由所有状态线性叠加而成。由基态谐振子直积得到的场态称为真空态（没有光子），记为

∣∅⟩=⨂kσ∣0⟩kσ \ket{\varnothing}=\bigotimes_{\mathbf{k}\sigma}\ket{0}_{\mathbf{k}\sigma}

通过上节中的推导，我们可以写出矢势 AA 的算符形式

A^(x,t)=∑kσe^kσℏ2ε0Vωk[a^kσeik⋅x−iωkt+a^kσ†e−ik⋅x+iωkt] \mathbf{\hat{A}}\left(\mathbf{x},t\right)=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\hat{e}_{\mathbf{k}\sigma}\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 V \omega_k}}\left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-i\omega_k t}+\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\sigma}e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}+i\omega_k t}\right]

一个光子，也就是只有一个谐振子的数态为 ∣1⟩\ket{1} ，其他谐振子处于基态，就可记为 a^kσ†∣∅⟩\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\sigma}\ket{\varnothing}

当 ∇⋅A=0,φ=0\nabla \cdot \mathbf{A}=0,\quad \varphi=0 时，对 A^\hat{A} 分别求时间偏导和空间偏导可得到电场算符和磁场算符

E^=−∂tA^=∑kσe^kσℏωk2ε0V[ia^kσeik⋅x−iωkt+h.c.] \mathbf{\hat{E}}=-\partial_t \mathbf{\hat{A}}=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\hat{e}_{\mathbf{k}\sigma}\sqrt{\frac{\hbar \omega_k}{2\varepsilon_0 V}}\left[i\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-i\omega_k t}+h.c.\right]

B^=∇×A^=∑kσe^kσcℏωk2ε0V[ia^kσeik⋅x−iωkt+h.c.] \mathbf{\hat{B}}=\nabla \times \mathbf{\hat{A}}=\sum_{\mathbf{k}\sigma}\frac{\hat{e}_{\mathbf{k}\sigma}}{c}\sqrt{\frac{\hbar \omega_k}{2\varepsilon_0 V}}\left[i\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-i\omega_k t}+h.c.\right]

h.c.h.c. 表示算符的厄米共轭，c.c.c.c. 表示数的复共轭

现在我们知道了算符和态的表示，那么就能可以得到力学量（在某个状态下的）平均值的表达式

⟨E^⟩=⟨Φ∣E^∣Φ⟩\langle \mathbf{\hat{E}} \rangle=\bra{\Phi }\mathbf{\hat{E}}\ket{\Phi}

以及涨落值

⟨δE^2⟩=⟨E^2⟩−⟨E^⟩2\langle \delta \mathbf{\hat{E}^2} \rangle=\langle \mathbf{\hat{E}^2} \rangle-\langle \mathbf{\hat{E}} \rangle^2

圆偏振光量子态

12(∣1kσ1⟩+i∣1kσ2⟩)=12(akσ1†+iakσ2†)∣∅⟩\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{1_{\bf{k}\sigma_1}} + i\ket{1_{\bf{k}\sigma_2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a^\dagger_{\bf{k}\sigma_1}+ia^\dagger_{\bf{k}\sigma_2}\right)\ket{\varnothing}