麦克斯韦方程

散度与旋度

散度代表了某事物的发散程度，对应于某种守恒量，其数学表达式为：

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}$

对于一个物理变量 $f(r)$ ，其散度为

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$

对于给定的空间良态函数 $E(r)$

$\iint_{S1} E(r)da = \iint_{S2} E(r)da = \dots = \text{something}$

虽然面的大小不同，但是面上的密度也不同，导致最终的通量是相同的。

旋度代表某事物的旋转程度，也对应于某种守恒量。对于特定的物理量 $F(r) = (P(r), Q(r), R(r))$ ，其旋度为

$\begin{aligned} \nabla \times F &= \det \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[0.5em] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[1em] P & Q & R \end{vmatrix} \end{aligned}$

对于给定的空间良态函数 $H(r)$

$\oint_{C1} H(r) \cdot dl = \oint_{C2} H(r) \cdot dl = \dots = \text{something}$

虽然环路的大小不同，但是环路上的密度（快慢）也不同，最终导致环路积分是相同的。

一般来说，一个物理场总是同时具有散度和旋度

一个物理量通常同时具有散度和旋度
散度代表了它的发散程度，并且存在一个守恒量，对应于一个面积分 $\iint_S E(r)da = \text{something}$
旋度代表了它的旋转程度，并且也存在一个守恒量，对应于一个线积分 $\oint_C H(r) \cdot dl = \text{something}$
注意：我们尚未谈论电磁场

亥姆霍兹分解

为什么我们只谈论散度和旋度？因为考虑散度和旋度就足够了。物理学中的任何场都可以表示为一个 $X$ 场的梯度 $\nabla X$ 与一个 $Y$ 场的旋度 $\nabla \times Y$ 之和。

令 $F$ 为定义在有界区域 $V \subseteq \mathbb{R}^3$ 上的矢量场，其可以分解为一个无旋分量和一个无散分量：

$\mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$

其中 $\phi$ 是一个标量场， $A$ 是一个矢量场。

$\begin{aligned} \Phi(\mathbf{r}) &= \frac{1}{4\pi} \int_{V} \frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dV' - \frac{1}{4\pi} \oint_{S} \widehat{\mathbf{n}}' \cdot \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dS' \\[1em] \mathbf{A}(\mathbf{r}) &= \frac{1}{4\pi} \int_{V} \frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dV' - \frac{1}{4\pi} \oint_{S} \widehat{\mathbf{n}}' \times \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dS' \\[1em] \end{aligned}$

其中 $r$ 被称为测量点，即我们想要了解的感兴趣的位置， $r'$ 被称为源点，即任何可能对测量点产生影响的点， $\nabla'$ 仅作用于 $r'$ 。

基础数学：

算符定义：

$\begin{aligned} \nabla &= \frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k} \\[1em] \nabla' &= \frac{\partial}{\partial x'}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y'}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z'}\vec{k} \end{aligned}$

公式：

$\nabla \frac{1}{|r-r'|} = -\nabla' \frac{1}{|r-r'|}$
拉普拉斯算符

$\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$
三维 $\delta$ 函数

$\delta^3(r - r') = -\frac{1}{4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|r-r'|}$
$\delta$ 函数的性质

$\int f(r)\delta^3(r - r')dV = f(r')$
矢量分析公式

$\nabla^2 a = \nabla(\nabla \cdot a) - \nabla \times (\nabla \times a)$

利用以上数学基础，我们可以证明任意场 $F$ 都可以用散度和旋度表示

$\mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$

但这看起来仍然与上述 $\Phi(r)$ 和 $A(r)$ 方程不同。区别在于：一个要求对整个空间进行积分，而另一个要求进行体积分（包括对表面的积分）。

在许多情况下，了解某个表面的分布非常有用，因为它可以提供所有其他必要的信息（例如边界值问题）。

如果 $V = \mathbb{R}^3$ 且因此是无界的，并且当 $r \to \infty$ 时 $\mathbf{F}$ 的衰减速度快于 $1/r$ ，则有

$\begin{aligned} \Phi(\mathbf{r}) &= \frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dV' \\[1em] \mathbf{A}(\mathbf{r}) &= \frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dV' \end{aligned}$

我们只需考虑一个包含源点的足够大的区域。

电磁场

物理学中任何给定的场都可以表示为 $\mathbf{F} = -\nabla\phi + \nabla \times \mathbf{A}$
散度代表了其发散程度，并且存在一个守恒量，对应积分 $\iint_S \mathbf{E}(\mathbf{r})da = \text{something}$ ；
旋度代表了其旋转程度，并且也存在一个守恒量，对应积分 $\oint_C \mathbf{H}(\mathbf{r})dl = \text{something}$ ；

傅里叶变换

定义

帮助理解傅里叶变换的一个网站

对于给定的函数 $x(t)$ ，其傅里叶变换为：

$\begin{aligned} X(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt \\[1em] x(t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)e^{j\omega t} d\omega \end{aligned}$

其离散形式的表示

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(n \cdot \Delta\omega)e^{j\omega t} \frac{\Delta\omega}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)e^{j\omega t} d\omega$

$e^{j\omega t}$ 是一个关于时间的振荡函数，它在复平面上的表示是：

A 越大，半径越大； $\omega$ 越大，它旋转得越快。

案例

第一个案例：首先 $\delta$ 函数为：

$\delta(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t} dt$

对于单色波 $E = E_0 e^{j\omega_0 t}$ ，其傅里叶变换为：

$\begin{aligned} E(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} E_0 e^{j\omega_0 t} e^{-j\omega t} dt \\ E(\omega) &= \frac{E_0}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j(\omega_0 - \omega)t} dt \\ E(\omega) &= \frac{E_0}{\sqrt{2\pi}} \delta(\omega_0 - \omega) \end{aligned}$

这说明单色波确实只由单一频率分量组成。然而在自然界中，总是存在损耗和衰减。对于寿命为 $\tau$ 的单色波 $E = E_0 e^{j\omega_0 t}$ ：

$E = E_0 e^{j\omega_0 t - t/\tau} = E_0 e^{j\omega_0 t - \gamma t} \quad (t \ge 0)$

我们可以看出， $E(t)$ 仅在 $\gamma$ 的时间尺度内取显著值。当 $t \to +\infty$ 时， $E \to 0$ 。

对于寿命为 $\tau$ 的单色波

$E = E_0 e^{j\omega_0 t - t/\tau} = E_0 e^{j\omega_0 t - \gamma t} \quad (t \ge 0),$

其傅里叶变换为：

$\begin{aligned} E(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} E_0 e^{j\omega_0 t - \gamma t} e^{-j\omega t} dt \\[1em] E(\omega) &= \frac{E_0}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{[j(\omega_0 - \omega) - \gamma]t} dt \\[1em] E(\omega) &= \frac{E_0}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{j(\omega - \omega_0) - \gamma} \\[1em] I(\omega) &= |E(\omega)|^2 \propto \frac{1}{(\omega_0 - \omega)^2 + \gamma^2} \end{aligned}$

上两图分别是寿命无限和寿命有限的单色光光谱。从图中可以看出，寿命会导致谱线展宽，有限寿命的单色光具有一定的频率宽度，这就是所谓的自然线宽。右图中的谱线形状被称为洛伦兹线。

$I(\omega) \propto \frac{1}{(\omega_0 - \omega)^2 + \gamma^2}$

第二个案例：对于三维空间中的给定函数 $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ ，可以表示为散度和旋度的组合 $\mathbf{F} = -\nabla\phi + \nabla \times \mathbf{A}$ 。

$\mathbf{F}$ 的傅里叶展开为：

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \iiint \mathbf{G}(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}dV_k$

我们构造以下函数：

$\begin{aligned} G_{\Phi}(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{G}(\mathbf{k})}{|\mathbf{k}|^2} \\ \mathbf{G}_{\mathbf{A}}(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \times \mathbf{G}(\mathbf{k})}{|\mathbf{k}|^2} \end{aligned}$

可以证明：

$\mathbf{G}(\mathbf{k}) = -i\mathbf{k}G_{\Phi}(\mathbf{k}) + i\mathbf{k} \times \mathbf{G}_{\mathbf{A}}(\mathbf{k})$

那么

$\begin{aligned} \mathbf{F}(\mathbf{r}) &= \iiint \mathbf{G}(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}dV_k \\ &= -\iiint i\mathbf{k}G_{\Phi}(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}dV_k + \iiint i\mathbf{k} \times \mathbf{G}_{\mathbf{A}}(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}dV_k \end{aligned}$

如果我们定义：

$\begin{aligned} \Phi(\mathbf{r}) &= \iiint G_{\Phi}(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}dV_k \\ \mathbf{A}(\mathbf{r}) &= \iiint \mathbf{G}_{\mathbf{A}}(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}dV_k \end{aligned}$

那么我们得到： $\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\nabla\Phi(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$

色散关系

线性响应

对于给定的输入 $E(t)$ ，系统的响应函数是 $R(t, t')$ ，则系统的输出 $D(t)$ 为

$D(t) = \int R(t,t')E(t')dt'$

通常，系统的响应仅取决于 $t$ 和 $t'$ 之间的时间差

$D(t) = \int R(t-t')E(t')dt'$

对于线性响应 $D(t) = \int R(t-t')E(t')dt'$ 中的每一部分，其傅里叶变换为：

$\begin{aligned} D(t) &= \int D(\omega)e^{j\omega t}d\omega \\[1em] E(t') &= \int E(\omega_1)e^{j\omega_1 t'}d\omega_1 \\[1em] R(t-t') &= \int R(\omega_2)e^{j\omega_2(t-t')}d\omega_2 \end{aligned}$

于是我们得到：

$\int D(\omega)e^{j\omega t}d\omega = \iiint d\omega_1 d\omega_2 dt' E(\omega_1)R(\omega_2)e^{j(\omega_1-\omega_2)t' + j\omega_2 t}$

我们首先对 $t'$ 进行积分：

$\int D(\omega)e^{j\omega t}d\omega = \iint d\omega_1 d\omega_2 E(\omega_1)R(\omega_2)e^{j\omega_2 t} \int dt' e^{j(\omega_1-\omega_2)t'}$

右边的积分给出了一个 $\delta$ 函数

$\begin{aligned} \int D(\omega)e^{j\omega t}d\omega &= \iint d\omega_1 d\omega_2 E(\omega_1)R(\omega_2)e^{j\omega_2 t} \delta(\omega_1 - \omega_2) \\ \int D(\omega)e^{j\omega t}d\omega &= \int d\omega_1 E(\omega_1)R(\omega_1)e^{j\omega_1 t} \\ \int D(\omega)e^{j\omega t}d\omega &= \int d\omega E(\omega)R(\omega)e^{j\omega t} \end{aligned}$

由于上式在所有时间 $t$ 上都成立，因此我们可以比较两边的积分内的表达式，得到：

$D(\omega) = R(\omega)E(\omega)$

现在，我们已经成功地将一个时间依赖的响应问题：

$D(t) = \int R(t - t')E(t')dt'$

转化为一个依赖于时间差的问题：

$D(\omega) = R(\omega)E(\omega)$

然而，我们仍然需要知道输入片段中所有 $\omega$ 的 $E(\omega)$ 值，以及系统响应 $R(\omega)$ 。乍一看，这种方法似乎并没有为我们提供显著的便利或好处。然而，许多物理问题通常包含一些显著的 $\omega$ 分量。

若综合考虑系统的空间响应和时间响应，则有

$D(\mathbf{r}, t) = \int R(\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t') E(\mathbf{r}', t') d\mathbf{r}' dt'$

如果我们在空间和时间上都具有平移对称性

$D(\mathbf{r}, t) = \int R(\mathbf{r} - \mathbf{r}', t - t') E(\mathbf{r}', t') d\mathbf{r}' dt'$

空间响应

再次利用傅里叶变换的方法

$\begin{aligned} D(\mathbf{r}, t) &= \int D(\mathbf{k}, \omega) e^{j\mathbf{k}\mathbf{r} - j\omega t} d\mathbf{k} d\omega \\[1em] E(\mathbf{r}, t) &= \int E(\mathbf{k}, \omega) e^{j\mathbf{k}\mathbf{r} - j\omega t} d\mathbf{k} d\omega \\[1em] R(\mathbf{r} - \mathbf{r}', t - t') &= \int R(\mathbf{k}, \omega) e^{j\mathbf{k}(\mathbf{r} - \mathbf{r}') - j\omega (t - t')} d\mathbf{k} d\omega \end{aligned}$

我们得到：

$D(\mathbf{k}, \omega) = R(\mathbf{k}, \omega)E(\mathbf{k}, \omega)$

在不同的应用场景中， $R(\mathbf{k}, \omega)$ 可以有不同的名称，例如介电常数 $\varepsilon(\mathbf{k}, \omega)$ ，磁导率 $\mu(\mathbf{k}, \omega)$ 等。

单色平面波

为什么单色平面波很重要？

$D(\mathbf{r}, t) = \int D(\mathbf{k}, \omega) e^{j\mathbf{k}\mathbf{r} - j\omega t} d\mathbf{k} d\omega$

因为任何系统都可以被视为许多单色平面波的叠加。只要我们已知了占据显著地位（即主要成分）的单色平面波，我们就能理解整个系统的特性。

我们已经得到了

$D(\mathbf{k}, \omega) = R(\mathbf{k}, \omega)E(\mathbf{k}, \omega)$

对 $D(\mathbf{r}, t)$ 进行关于时间的微分运算，例如 $\dfrac{\partial}{\partial t}$ ，得到：

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} D(\mathbf{r}, t) &= \frac{\partial}{\partial t} \int D(\mathbf{k}, \omega) e^{j\mathbf{k}\mathbf{r} - j\omega t} d\mathbf{k} d\omega \\ &= \int -j\omega D(\mathbf{k}, \omega) e^{j\mathbf{k}\mathbf{r} - j\omega t} d\mathbf{k} d\omega \end{aligned}$

类似地，对 $D(\mathbf{r}, t)$ 进行关于时间或空间的微分运算，例如 $\dfrac{\partial}{\partial t}$ 或 $\nabla$ ，可以得到：

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}D(\mathbf{r}, t) &\to -j\omega \cdot D(\mathbf{k}, \omega), & \frac{\partial^2}{\partial t^2}D(\mathbf{r}, t) &\to -\omega^2 \cdot D(\mathbf{k}, \omega) \\[1em] \nabla D(\mathbf{r}, t) &\to j\mathbf{k} \cdot D(\mathbf{k}, \omega), & \nabla^2 D(\mathbf{r}, t) &\to -|\mathbf{k}|^2 \cdot D(\mathbf{k}, \omega) \end{aligned}$

由于 $D(\mathbf{r}, t)$ 必须满足特定的物理方程，将上述量代入方程中自然要求 $\mathbf{k}$ 和 $\omega$ 满足一定的关系，使得 $\mathbf{k}$ 和 $\omega$ 不能取任意值。 $\mathbf{k}$ 和 $\omega$ 之间必须满足的这种关系被称为色散关系。