自旋

自旋的发现

实验中测得 S^z\hat{S}_z 的本征值为 ℏ/2\hbar/2 和 −ℏ/2-\hbar/2，对应的本征态分别为 ∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow}。使用投影算符可得任意方向 α\alpha 上的自旋算符为

S^α=ℏ2(∣↑⟩αα⟨↑∣−∣↓⟩αα⟨↓∣)\hat{S}_\alpha=\frac{\hbar}{2}\left(\ket{\uparrow}_{\alpha\alpha}\bra{\uparrow}-\ket{\downarrow}_{\alpha\alpha}\bra{\downarrow}\right)

利用如下所示的 Stern-Gerlach 实验装置，我们可以知道，不能同时测量 S^x\hat{S}_x 和 S^z\hat{S}_z，因为测量 S^x\hat{S}_x 会使得 S^z\hat{S}_z 的值变得不确定，反之亦然。这就是 S^x\hat{S}_x 和 S^z\hat{S}_z 之间的不对易性。

S-G实验不对易性

复数的出现

在物理中我们认为 S^z\hat{S}_z 是一个可观测量，因此任意态都可以使用∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 线性展开。又由于 ∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 是等概率的，那么我们需要引入一个相因子去表示不同的概率幅。因此我们可以将 ∣↑⟩x\ket{\uparrow}_x 和 ∣↓⟩x\ket{\downarrow}_x 表示为

{∣↑⟩x=12(∣↑⟩+eiβ∣↓⟩)∣↓⟩x=12(∣↑⟩−eiβ∣↓⟩)\begin{align*} \begin{cases} \quad \ket{\uparrow}_x&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow}+e^{i\beta}\ket{\downarrow}\right)\\ \quad \ket{\downarrow}_x&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow}-e^{i\beta}\ket{\downarrow}\right) \end{cases} \end{align*}

同理可得 ∣↑⟩y\ket{\uparrow}_y 和 ∣↓⟩y\ket{\downarrow}_y 的表达式

{∣↑⟩y=12(∣↑⟩+eiγ∣↓⟩)∣↓⟩y=12(∣↑⟩−eiγ∣↓⟩)\begin{align*} \begin{cases} \quad \ket{\uparrow}_y&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow}+e^{i\gamma}\ket{\downarrow}\right)\\ \quad \ket{\downarrow}_y&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow}-e^{i\gamma}\ket{\downarrow}\right) \end{cases} \end{align*}

通过进一步计算可知，cos⁡(β−γ)=0\cos\left(\beta-\gamma\right)=0，因此我们可以选取 β=0\beta=0，γ=π2\gamma=\frac{\pi}{2}，从而
将 S^x\hat{S}_x 和 S^y\hat{S}_y 的本征态表示为

{∣↑⟩x=12(∣↑⟩+∣↓⟩)∣↓⟩x=12(∣↑⟩−∣↓⟩)\begin{align*} \begin{cases} \quad \ket{\uparrow}_x&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow}\right)\\ \quad \ket{\downarrow}_x&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow}-\ket{\downarrow}\right) \end{cases} \end{align*}

{∣↑⟩y=12(∣↑⟩+i∣↓⟩)∣↓⟩y=12(∣↑⟩−i∣↓⟩)\begin{align*} \begin{cases} \quad \ket{\uparrow}_y&=\frac{1}{\sqrt{2 }}\left(\ket{\uparrow}+i\ket{\downarrow}\right)\\ \quad \ket{\downarrow}_y&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow}-i\ket{\downarrow}\right) \end{cases} \end{align*}

自旋算符的矩阵表示

由于 S^z\hat{S}_z 的本征态 ∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 是完备归一的，因此有完备性关系和正交归一性

∣↑⟩⟨↑∣+∣↓⟩⟨↓∣=I\ket{\uparrow}\bra{\uparrow}+\ket{\downarrow}\bra{\downarrow}=\mathrm{I}

⟨↑∣↑⟩=⟨↓∣↓⟩=1,⟨↑∣↓⟩=⟨↓∣↑⟩=0\braket{\uparrow|\uparrow}=\braket{\downarrow|\downarrow}=1,\quad \braket{\uparrow|\downarrow}=\braket{\downarrow|\uparrow}=0

S^z\hat{S}_z 作用在 ∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 上的结果分别为

S^z∣↑⟩=ℏ2∣↑⟩S^z∣↓⟩=−ℏ2∣↓⟩\hat{S}_z\ket{\uparrow}=\frac{\hbar}{2}\ket{\uparrow} \qquad \hat{S}_z\ket{\downarrow}=-\frac{\hbar}{2}\ket{\downarrow}

那么在基底 {∣↑⟩,∣↓⟩}\{\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}\} 下，S^z\hat{S}_z 的矩阵表示为

S^z=˙(⟨↑∣S^z∣↑⟩⟨↑∣S^z∣↓⟩⟨↓∣S^z∣↑⟩⟨↓∣S^z∣↓⟩)=ℏ2(100−1)\hat{S}_z \dot{=} \begin{pmatrix} \bra{\uparrow}\hat{S}_z\ket{\uparrow} & \bra{\uparrow}\hat{S}_z\ket{\downarrow} \\ \bra{\downarrow}\hat{S}_z\ket{\uparrow} & \bra{\downarrow}\hat{S}_z\ket{\downarrow} \end{pmatrix} =\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

  • ∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 是 S^z\hat{S}_z 的本征态，因此 S^z\hat{S}_z 的矩阵表示是对角矩阵
  • 注意：定义基底时，∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 的顺序不能颠倒，否则会影响后续计算

∣↑⟩\ket{\uparrow} 和 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 的矩阵表示分别为

∣↑⟩=˙(⟨↑∣↑⟩⟨↓∣↑⟩)=(10)\ket{\uparrow} \dot{=} \begin{pmatrix} \braket{\uparrow|\uparrow} \\ \braket{\downarrow|\uparrow} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

∣↓⟩=˙(⟨↑∣↓⟩⟨↓∣↓⟩)=(01)\ket{\downarrow} \dot{=} \begin{pmatrix} \braket{\uparrow|\downarrow} \\ \braket{\downarrow|\downarrow} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

升降算符

我们定义升算符为

S^+∣↑⟩=ℏ∣↓⟩,S^+∣↓⟩=0\hat{S}_+\ket{\uparrow}=\hbar\ket{\downarrow},\quad \hat{S}_+\ket{\downarrow}=0

在基底 {∣↑⟩,∣↓⟩}\{\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}\} 下，S^+\hat{S}_+ 的矩阵表示为

S^+=˙(⟨↑∣S^+∣↑⟩⟨↑∣S^+∣↓⟩⟨↓∣S^+∣↑⟩⟨↓∣S^+∣↓⟩)=(0ℏ00)\hat{S}_+ \dot{=} \begin{pmatrix} \bra{\uparrow}\hat{S}_+\ket{\uparrow} & \bra{\uparrow}\hat{S}_+\ket{\downarrow} \\ \bra{\downarrow}\hat{S}_+\ket{\uparrow} & \bra{\downarrow}\hat{S}_+\ket{\downarrow} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \hbar \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

同理可定义降算符为

S^−∣↓⟩=ℏ∣↑⟩,S^−∣↑⟩=0\hat{S}_-\ket{\downarrow}=\hbar\ket{\uparrow},\quad \hat{S}_-\ket{\uparrow}=0

在基底 {∣↑⟩,∣↓⟩}\{\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}\} 下，降算符的矩阵表示为

S^−=˙(⟨↑∣S^−∣↑⟩⟨↑∣S^−∣↓⟩⟨↓∣S^−∣↑⟩⟨↓∣S^−∣↓⟩)=(00ℏ0)\hat{S}_- \dot{=} \begin{pmatrix} \bra{\uparrow}\hat{S}_-\ket{\uparrow} & \bra{\uparrow}\hat{S}_-\ket{\downarrow} \\ \bra{\downarrow}\hat{S}_-\ket{\uparrow} & \bra{\downarrow}\hat{S}_-\ket{\downarrow} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \hbar & 0 \end{pmatrix}

x、y 分量的自旋算符

S^x\hat{S}_x 可在自身表象投影为

S^x=ℏ2(∣↑⟩xx⟨↑∣−∣↓⟩xx⟨↓∣)\hat{S}_x=\frac{\hbar}{2}\left(\ket{\uparrow}_x{}_x\bra{\uparrow}-\ket{\downarrow}_x{}_x\bra{\downarrow}\right)

将 ∣↑⟩x\ket{\uparrow}_x 和 ∣↓⟩x\ket{\downarrow}_x 的表达式代入上式，并使用完备性关系化简，得到

S^x=ℏ2(∣↑⟩⟨↓∣+∣↓⟩⟨↑∣)=ℏ2(0110)\hat{S}_x=\frac{\hbar}{2}\left(\ket{\uparrow}\bra{\downarrow}+\ket{\downarrow}\bra{\uparrow}\right) =\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

同理可得

S^y=ℏ2(−i∣↑⟩⟨↓∣+i∣↓⟩⟨↑∣)=ℏ2(0−ii0)\hat{S}_y=\frac{\hbar}{2}\left(-i\ket{\uparrow}\bra{\downarrow}+i\ket{\downarrow}\bra{\uparrow}\right) =\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}

我们可以得到以下关系：

S^±=S^x±iS^y\hat{S}_{\pm}=\hat{S}_x\pm i \hat{S}_y

S^x2=S^y2=S^z2=˙ℏ24I\hat{S}_x^2=\hat{S}_y^2=\hat{S}_z^2\dot{=}\frac{\hbar^2}{4}\mathrm{I}

S^2=S^x2+S^y2+S^z2=˙34ℏ2I\hat{\mathbf{S}}^2=\hat{S}_x^2+\hat{S}_y^2+\hat{S}_z^2\dot{=}\frac{3}{4}\hbar^2\mathrm{I}

泡利矩阵

定义泡利矩阵为

σx=(0110)σy=(0−ii0)σz=(100−1)\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

泡利矩阵没有量纲，而自旋算符和普朗克常量具有角动量的量纲

那么自旋算符可写为

S^i=ℏ2σi(i=x,y,z)\hat{S}_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_i \quad (i=x,y,z)

泡利矩阵具有如下性质

  1. σi2=I\sigma_i^2=\mathrm{I}
  2. {σi,σj}=2δijI\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}\mathrm{I}
  3. [σi,σj]=2iϵijkσk[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k
  4. σiσj=iϵijkσk+δijI\sigma_i\sigma_j=i\epsilon_{ijk}\sigma_k+\delta_{ij}\mathrm{I}
  5. det⁡(σi)=−1\det(\sigma_i)=-1 and Tr(σi)=0\mathrm{Tr}(\sigma_i)=0

定理：对于任意的矢量 a=(a1,a2,a3)\mathbf{a}=\left(a_1,a_2,a_3\right)，有

(a⋅σ)2=aiσi=(a3a1−ia2a1+ia2−a3)2\left( \mathbf{a}\cdot \boldsymbol{\sigma}\right)^2= a_i\sigma_i = \begin{pmatrix} a_3 & a_1 - i a_2 \\ a_1 + i a_2 & -a_3 \end{pmatrix}^2

det⁡(a⋅σ)=−a32−(a12+a22)=−∣a∣2\det\left(\mathbf{a}\cdot \boldsymbol{\sigma}\right)=-a_3^2 -\left(a_1^2+a_2^2\right)=-|\mathbf{a}|^2

定理：任意一个二维矩阵都可以写做单位矩阵和三个泡利算符的线性组合

M=c0I+c1σx+c2σy+c3σz\mathrm{M}=c_0\mathrm{I}+c_1\sigma_x+c_2\sigma_y+c_3\sigma_z

定理：如果 A\mathrm{A} 和 B\mathrm{B} 都和泡利矩阵对易，那么有

(σ⋅A)(σ⋅B)=A⋅B+iσ⋅(A×B)\left(\mathrm{\sigma}\cdot \mathrm{A}\right)\left(\mathrm{\sigma}\cdot \mathrm{B}\right)=\mathrm{A}\cdot \mathrm{B}+i\mathrm{\sigma}\cdot\left(\mathrm{A}\times \mathrm{B}\right)

当 A=B\mathrm{A}=\mathrm{B} 时，有

(σ⋅A)2=A⋅A+iσ⋅(A×A)\left(\mathrm{\sigma}\cdot \mathrm{A}\right)^2=\mathrm{A} \cdot \mathrm{A} +i\mathrm{\sigma}\cdot\left(\mathrm{A}\times \mathrm{A}\right)

如果 A\mathrm{A} 是一个经典矢量，那么 A×A=0\mathrm{A}\times \mathrm{A}=0，因此

(σ⋅A)2=∣A∣2\left(\mathrm{\sigma}\cdot \mathrm{A}\right)^2=\left|\mathrm{A}\right|^2

定理：不存在与三个泡利矩阵都反对易的 2×22\times 2 矩阵

自旋算符的球坐标分量算符

定理球坐标下的单位向量为 n^=(sin⁡θcos⁡ϕ,sin⁡θsin⁡ϕ,cos⁡θ)\hat{n}=\left(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta\right)，则自旋算符在 n^\hat{n} 方向的分量为

S^⋅n^=ℏ2σ⋅n^=S^xsin⁡θcos⁡ϕ+S^ysin⁡θsin⁡ϕ+S^zcos⁡θ=ℏ2(cos⁡θsin⁡θe−iϕsin⁡θeiϕ−cos⁡θ)\hat{S}\cdot \hat{n}=\frac{\hbar}{2}\sigma\cdot \hat{n}=\hat{S}_x\sin\theta\cos\phi+\hat{S}_y\sin\theta\sin\phi+\hat{S}_z\cos\theta =\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta e^{-i\phi} \\ \sin\theta e^{i\phi} & -\cos\theta \end{pmatrix}

由于 (σ⋅n^)2=I\left(\sigma\cdot \hat{n}\right)^2=\mathrm{I}，满足一个代数方程，(σ⋅n^)\left(\sigma\cdot \hat{n}\right) 的本征值为 ±1\pm 1，对应的本征态分别为

∣↑⟩n=(cos⁡θ2sin⁡θ2eiϕ)∣↓⟩n=(sin⁡θ2−cos⁡θ2eiϕ)\ket{\uparrow}_n=\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\theta}{2} \\[5pt] \sin\dfrac{\theta}{2}e^{i\phi} \end{pmatrix} \qquad \ket{\downarrow}_n=\begin{pmatrix} \sin\dfrac{\theta}{2} \\[5pt] -\cos\dfrac{\theta}{2}e^{i\phi} \end{pmatrix}

再考虑 −n^=(−sin⁡θcos⁡ϕ,−sin⁡θsin⁡ϕ,−cos⁡θ)=(sin⁡(π−θ)cos⁡(ϕ+π),sin⁡(π−θ)sin⁡(ϕ+π),cos⁡(π−θ))-\hat{n}=\left(-\sin\theta\cos\phi,-\sin\theta\sin\phi,-\cos\theta\right)=\left(\sin\left(\pi-\theta\right)\cos\left(\phi+\pi\right),\sin\left(\pi-\theta\right)\sin\left(\phi+\pi\right),\cos\left(\pi-\theta\right)\right) 方向的自旋算符分量，同样可以得到本征态

∣↑⟩−n=(sin⁡θ2−cos⁡θ2eiϕ)∣↓⟩−n=(cos⁡θ2sin⁡θ2eiϕ)\ket{\uparrow}_{-n}=\begin{pmatrix} \sin\dfrac{\theta}{2} \\[5pt] -\cos\dfrac{\theta}{2}e^{i\phi} \end{pmatrix} \qquad \ket{\downarrow}_{-n}=\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\theta}{2} \\[5pt] \sin\dfrac{\theta}{2}e^{i\phi} \end{pmatrix}

可以看出∣↑⟩−n=∣↓⟩n\ket{\uparrow}_{-n}=\ket{\downarrow}_n，∣↓⟩−n=∣↑⟩n\ket{\downarrow}_{-n}=\ket{\uparrow}_n。这是很自然的结果，与我们对反向的理解是一致的。

再考虑任意两个方向的单位矢量 n^\hat{n} 和 m^\hat{m}，有

∣n⟨↑∣↑⟩m∣=12(1+n^⋅m^)\left|{}_n\braket{\uparrow|\uparrow}_m\right|=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\hat{n}\cdot \hat{m}\right)}

定理：

e−i2α(σ⋅n^)=cos⁡α2I−isin⁡α2(σ⋅n^)e^{-\frac{i}{2}\alpha\left(\sigma\cdot \hat{n}\right)}=\cos\frac{\alpha}{2} \mathrm{I}-i\sin\frac{\alpha}{2} \left(\sigma\cdot \hat{n}\right)

对易性和不确定性

共同本征态

定理：如果两个可观测量 A^\hat{A} 和 B^\hat{B} 对易，即 [A^,B^]=0[\hat{A},\hat{B}]=0，且 A^\hat{A} 的本征值是非简并的，那么矩阵元 ⟨a′∣B^∣a⟩\bra{a'}\hat{B}\ket{a} 是对角的。因此在基底 {∣a⟩}\{\ket{a}\} 下，A^\hat{A} 和 B^\hat{B} 都是对角矩阵，且 ∣a⟩\ket{a} 同时是 A^\hat{A} 和 B^\hat{B} 的本征态。

注意：B^\hat{B} 的本征值可以是简并的，这时需要 A^\hat{A} 的不同本征值区分简并本征态。

但反过来，当 A^\hat{A} 的本征值是简并的时，B^\hat{B} 的矩阵是块对角化的，如下图所示

简并对易

图中红色的 ξ~\tilde{\xi} 表示 ξ^\hat{\xi} 的对应于同一本征值的简并本征态所构成的子空间。而灰色的 η~\tilde{\eta} 则表示 η^\hat{\eta} 在该子空间内的矩阵。由于 ξ^\hat{\xi} 的本征值是简并的，因此 η~\tilde{\eta} 可能不是对角矩阵，也就是说我们不清楚灰色块内的矩阵元是否为零。这时需要对 η~\tilde{\eta} 进行对角化，才能区分 η^\hat{\eta} 的简并本征态，将 ∣η~⟩\ket{\tilde{\eta}} 重新由 ∣ξ~⟩\ket{\tilde{\xi}} 组合

∣η~i⟩=∑jcij∣ξ~j⟩\ket{\tilde{\eta}_i}=\sum_j c_{ij} \ket{\tilde{\xi}_j}

ηi~∣η~i⟩=ηi~∑jcij∣ξ~j⟩=∑jcijη^∣ξ~j⟩=∑jcijη~jk∣ξ~k⟩ \tilde{\eta_i} \ket{\tilde{\eta}_i}=\tilde{\eta_i}\sum_j c_{ij} \ket{\tilde{\xi}_j}=\sum_j c_{ij} \hat{\eta}\ket{\tilde{\xi}_j}=\sum_j c_{ij} \tilde{\eta}_{jk}\ket{\tilde{\xi}_k}

因此 ηi~\tilde{\eta_i} 就是 ξ^\hat{\xi} 的本征值，对角化后的 η\eta 矩阵如下图所示，并得到以下定理

同时对角化

定理：有限维希尔伯特空间内两个对易的可观测量总是可以同时对角化。

如果对角化后的 ∣η~i⟩\ket{\tilde{\eta}_i} 仍然是简并的，那么在原则上可寻找第三个与 ξ^\hat{\xi} 和 η^\hat{\eta} 都对易的可观测量 ζ^\hat{\zeta}，并在该表象下三个量都对角化，从而区分简并本征态。如此继续下去，直到所有的简并都被区分开为止。

定理：若两个可观测量 A^\hat{A} 和 B^\hat{B} 对易，那么他们的共同本征态集 {∣a,b⟩}\{\ket{a,b}\} 张成一个完备基。

定理：若存在 nn 个两两对易的可观测量 A^1,A^2,⋯ ,A^n\hat{A}_1,\hat{A}_2,\cdots,\hat{A}_n，那么可以建立一个表象，该表象由 A^1,A^2,⋯ ,A^n\hat{A}_1,\hat{A}_2,\cdots,\hat{A}_n 的完备的共同本征态集 {∣a1,a2,⋯ ,an⟩}\{\ket{a_1,a_2,\cdots,a_n}\} 组成。

不确定性关系

对于一个给定的可观测量 AA，我们定义一个厄米算符 ΔA^\Delta \hat{A} 为

ΔA^=A^−⟨A⟩I\Delta \hat{A}=\hat{A}-\braket{A} \mathrm{I}

其中 ⟨A⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩\braket{A}=\bra{\psi}\hat{A}\ket{\psi} 为特定态的平均值。再考虑 (ΔA^)2\left(\Delta \hat{A}\right)^2 的期望值

⟨(ΔA)2⟩=⟨A2⟩+⟨A⟩2−2⟨A⟩⟨A⟩⟨A2⟩−⟨A⟩2\begin{align*} \left\langle{\left(\Delta A\right)^2}\right\rangle &=\braket{A^2}+\braket{A}^2-2\braket{A}\braket{A}\braket{A^2}-\braket{A}^2 \end{align*}

这就是 AA 的方差或者均方偏差。特别地，当 ∣ψ⟩=∣a⟩\ket{\psi}=\ket{a} 是 A^\hat{A} 的本征态时，⟨(ΔA)2⟩=0\left\langle{\left(\Delta A\right)^2}\right\rangle =0。

不确定性关系：对于两个可观测量 AA、 BB和任意态 ∣ψ⟩\ket{\psi}，有以下不等式成立

⟨(ΔA)2(ΔB)2⟩≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2\left\langle{\left(\Delta A\right)^2 \left(\Delta B\right)^2}\right\rangle \geq \frac{1}{4}\left|\left\langle{[\hat{A},\hat{B}]}\right\rangle\right|^2

当 ΔA^∣ψ⟩=C ΔB^∣ψ⟩\Delta \hat{A}\ket{\psi}=C \ \Delta \hat{B}\ket{\psi} 且 CC 为纯虚数时，不等式取等号。

连续谱

假设 {∣α⟩}\left\{\ket{\alpha}\right\} 是 A^\hat{A} 的完备连续本征态集，那么可以构造任意两个态 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 和 ∣Φ⟩\ket{\Phi}

∣Ψ⟩=∫dα Ψ(α)∣α⟩∣Φ⟩=∫dα Φ(α)∣α⟩\ket{\Psi}=\int d\alpha \ \Psi\left(\alpha\right)\ket{\alpha} \qquad \ket{\Phi}=\int d\alpha \ \Phi\left(\alpha\right)\ket{\alpha}

对两个态做内积

⟨Ψ∣Φ⟩=∫dα′∫dαΨ∗(α′)Φ(α)⟨α′∣α⟩\braket{\Psi|\Phi}= \int d\alpha' \int d\alpha \Psi^*\left(\alpha'\right)\Phi\left(\alpha\right)\braket{\alpha'|\alpha}

根据正交性，若 ⟨α′∣α⟩<∞\braket{\alpha'|\alpha} < \infty，则 ⟨Ψ∣Φ⟩=0\braket{\Psi|\Phi} =0，因此 ⟨α′∣α⟩\braket{\alpha'|\alpha} 不能是 Kronecker delta 函数 δα′α\delta_{\alpha'\alpha}，而只能将其定义为 Dirac delta 函数 ⟨α′∣α⟩=δ(α′−α)\braket{\alpha'|\alpha}=\delta\left(\alpha'-\alpha\right)。

我们只考虑非简并的单个可观测量的连续谱，由于其内积无穷大，因此我们无法将其归一化为 11。对于一个任意态，将其通过Dirac函数构造

∣α⟩=∫dα′ δ(α′−α)∣α′⟩=∫dα′⟨α′∣α⟩∣α′⟩\ket{\alpha} = \int d\alpha' \, \delta(\alpha' - \alpha) \ket{\alpha'} = \int d\alpha' \braket{\alpha'|\alpha} \ket{\alpha'}

因此我们得到完备性关系

∫dα ∣α⟩⟨α∣=1\int d\alpha \ \ket{\alpha}\bra{\alpha}=1

对于一个已归一化的态，可以将其展开为

∣Ψ⟩=∫dα ∣α⟩⟨α∣Ψ⟩\ket{\Psi} = \int d\alpha \ \ket{\alpha}\braket{\alpha|\Psi}

将其与自身做内积并根据归一化条件得

⟨Ψ∣Ψ⟩=∫dα∫dα′⟨Ψ∣α⟩⟨α∣α′⟩⟨α′∣Ψ⟩=∫dα ⟨α∣Ψ⟩2=1 \braket{\Psi|\Psi} = \int d\alpha \int d\alpha' \braket{\Psi|\alpha}\braket{\alpha|\alpha'}\braket{\alpha'|\Psi} = \int d\alpha \ \braket{\alpha|\Psi}^2 = 1

⟨α∣Ψ⟩2dα\braket{\alpha|\Psi}^2 d\alpha 就是 AA 在小范围 α+dα\alpha+ d\alpha 内的概率。

再考虑任意可观测量的一个函数 f(A^)f(\hat{A})，有

⟨α∣f(A^)∣α′⟩=f(α)δ(α−α′)\bra{\alpha} f(\hat{A}) \ket{\alpha'} = f(\alpha) \delta(\alpha - \alpha')

由于 {∣α⟩}\left\{\ket{\alpha}\right\} 是 A^\hat{A} 的本征态，因此连续谱的对角矩阵中对角元为 f(α)δ(α−α′)f(\alpha) \delta(\alpha - \alpha')