我们为什么要研究相干态？相干态是联系经典光学与量子光学的桥梁，例如量子描述中的平面波可以用相干态来表示。

湮灭算符的本征态

假设湮灭算符的本征态为 ∣α⟩|\alpha\rangle，满足

a^∣α⟩=α∣α⟩\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle

将 ∣α⟩|\alpha\rangle 展开在 Fock 态基底上∣α⟩=∑n=0∞bn∣n⟩|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} b_n |n\rangle，代入上式得

a^∣α⟩=∑n=0∞bna^∣n⟩=∑n=1∞bnn∣n−1⟩=∑n=0∞bn+1n+1∣n⟩=∑n=0∞bnα∣n⟩\hat{a}\ket{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} b_n \hat{a}|n\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sqrt{n}|n-1\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n+1} \sqrt{n+1}|n\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} b_n \alpha|n\rangle

解出递推关系

bn=αnn!b0b_n = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} b_0

因此，∣α⟩|\alpha\rangle 可以写成

∣α⟩=∑n=0∞bn∣n⟩=b0∑n=0∞αnn!∣n⟩|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} b_n |n\rangle = b_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle

归一化条件 ⟨α∣α⟩=1\langle \alpha|\alpha\rangle = 1 及 ee 指数的泰勒展开给出

∣b0∣2∑n=0∞∣α∣2nn!=∣b0∣2e∣α∣2=1|b_0|^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} = |b_0|^2 e^{|\alpha|^2} = 1

因此 b0=e−∣α∣2/2b_0 = e^{-|\alpha|^2/2}，湮灭算符本征态的最终表达式为

∣α⟩=e−12∣α∣2∑n=0∞αnn!∣n⟩|\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle

我们将湮灭算符的本征态称为相干态。

相干态的波函数

利用 ⟨x∣(a^−α)∣α⟩=0\bra{x}\left(\hat{a}-\alpha\right)|\alpha\rangle = 0，可以求出相干态在位置表象下的波函数 ψα(x)=⟨x∣α⟩\psi_{\alpha}(x) = \langle x|\alpha\rangle：我们已知

a^=mω2ℏ(x^+imωp^)=mω2ℏ(x+ℏmω∂∂x)=12xˉ0(x+xˉ02∂∂x)\hat{a} =\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right) = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x + \frac{\hbar}{m\omega}\frac{\partial}{\partial x}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}\bar{x}_0}\left(x + \bar{x}_0^2 \frac{\partial}{\partial x}\right)

其中 xˉ02=ℏmω\bar{x}_0^2 = \frac{\hbar}{m\omega}，代入上式得

[12xˉ0(x+xˉ02∂∂x)−α]ψα(x)=0\left[\frac{1}{\sqrt{2\bar{x}_0}}\left(x + \bar{x}_0^2 \frac{\partial}{\partial x}\right)-\alpha\right]\psi_{\alpha}(x) = 0

[(x−2xˉ0α)+xˉ02∂∂x]ψα(x)=0\left[\left(x-\sqrt{2}\bar{x}_0 \alpha\right) + \bar{x}_0^2 \frac{\partial}{\partial x}\right]\psi_{\alpha}(x) = 0

解出波函数

ψα(x)=⟨x∣α⟩∝exp⁡[−(x−2xˉ0α)22xˉ02]\psi_{\alpha}(x) =\braket{x|\alpha} \propto \exp\left[-\frac{(x-\sqrt{2}\bar{x}_0 \alpha)^2}{2\bar{x}_0^2}\right]

对比基态波函数

ψ0(x)=⟨x∣0⟩∝exp⁡[−x22xˉ02]\psi_0(x) =\braket{x|0} \propto \exp\left[-\frac{x^2}{2\bar{x}_0^2}\right]

我们发现相干态波函数和基态波函数都是高斯波包，只不过相干态的波包中心被平移到了 x=2xˉ0αx=\sqrt{2}\bar{x}_0 \alpha 处。

注意：这里的 α\alpha 是复数，因此相干态波函数的中心不是在空间的简单移动。

相干态的性质

非正交性：相干态不是正交归一的，两个不同的相干态的内积为

⟨α∣β⟩=e−12(∣α∣2+∣β∣2)∑n=0∞α∗nn!βnn!=e−12(∣α∣2+∣β∣2−2α∗β)\langle \alpha|\beta\rangle =e^{-\frac{1}{2}(|\alpha|^2 + |\beta|^2)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^{*n}}{\sqrt{n!}}\frac{\beta^{n}}{\sqrt{n!}}=e^{-\frac{1}{2}(|\alpha|^2 + |\beta|^2 - 2\alpha^*\beta)}

当 ∣α−β∣|\alpha - \beta| 很大时，也就是说 α\alpha 和 β\beta 两个点在复平面内距离很远时，⟨α∣β⟩≈0\langle \alpha|\beta\rangle \approx 0，此时两个相干态近似正交。

过完备性：由于相干态不是正交的，因此不满足一般的完备性关系 ∑n∣n⟩⟨n∣=I\sum_n\ket{n}\bra{n} = \mathrm{I}，但是可以证明，相干态满足过完备关系

∫d2απ∣α⟩⟨α∣=I\int \frac{d^2\alpha}{\pi} |\alpha\rangle \langle \alpha| = \mathrm{I}

其中 d2α=d(Reα)d(Imα)d^2\alpha = d(\mathrm{Re}\alpha)d(\mathrm{Im}\alpha)。

位移算符

使用位移算符也同样可以得到相干态，位移算符定义为

D^α:=eαa^†−α∗a^\hat{D}_{\alpha} := e^{\alpha \hat{a}^{\dagger} - \alpha^* \hat{a}}

它是一个幺正算符，满足 D^α†=D^α−1\hat{D}_{\alpha}^{\dagger} = \hat{D}_{\alpha}^{-1}。可以利用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式证明 D^α†∣0⟩=∣α⟩\hat{D}_{\alpha}^\dagger \ket{0} = \ket{\alpha}

D^α†∣0⟩=e−12∣α∣2eαa^†−α∗a^∣0⟩=e−12∣α∣2∑n=0∞αnn!(a^†)n∣0⟩=e−12∣α∣2∑n=0∞αnn!∣n⟩\hat{D}_{\alpha}^\dagger \ket{0} =e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}e^{\alpha \hat{a}^{\dagger} - \alpha^* \hat{a}} \ket{0} = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{n!}\left(\hat{a}^{\dagger}\right)^n |0\rangle= e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}|n\rangle

我们还可以注意到 D^α†=D^−α\hat{D}_{\alpha}^{\dagger} = \hat{D}_{-\alpha}，因此 D^α\hat{D}_{\alpha} 的逆算符为 D^−α\hat{D}_{-\alpha}，这就相当于在复平面内移动了 α\alpha 的距离后再移动 −α-\alpha 的距离，回到了原点。但是位移 α\alpha 的距离后再位移 β\beta 的距离，并不等于位移 α+β\alpha + \beta 的距离

D^αD^β=ei Im(αβ∗)D^α+β\hat{D}_{\alpha}\hat{D}_{\beta} = e^{i\ Im\left(\alpha \beta^*\right)}\hat{D}_{\alpha + \beta}

Baker-Campbell-Hausdorff 公式

要证明 Baker-Campbell-Hausdorff 公式，首先证明 Baker-Hausdorff 公式

eA^B^e−A^=B^+[A^,B^]+12![A^,[A^,B^]]+13![A^,[A^,[A^,B^]]]+⋯=∑n=0∞1n!(adA^)nB^e^{\hat{A}}\hat{B}e^{-\hat{A}} = \hat{B} + [\hat{A},\hat{B}] + \frac{1}{2!}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]] + \frac{1}{3!}[\hat{A},[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]] + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(ad_{\hat{A}}\right)^n \hat{B}

其中 adA^ nB^:=[A^,[A^,⋯ ,[A^,B^]⋯ ]⏟n 个 A^ad_{\hat{A}}^{\ n} \hat{B} := \underbrace{[\hat{A},[\hat{A},\cdots,[\hat{A},\hat{B}]\cdots]}_{n \text{ 个 } \hat{A}}

在量子力学中，我们经常需要处理形如 O^(t)=U†(t)O^U(t)\hat{O}(t)=U^\dagger\left(t\right) \hat{O} U(t) 的幺正变换，特别是在量子态的演化和算符的变换中，Baker-Hausdorff 公式为这提供了便利，例如一个力学量算符在海森堡绘景下的时间演化 O^(t)=eiH^t/ℏO^e−iH^t/ℏ\hat{O}(t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{O} e^{-i\hat{H}t/\hbar}，对于一个简谐振子

eiH^t/ℏa^e−iH^t/ℏ=eiωta^†a^a^e−iωta^†a^=e−iωta^e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{a} e^{-i\hat{H}t/\hbar} = e^{i\omega t \hat{a}^{\dagger}\hat{a}} \hat{a} e^{-i\omega t\hat{a}^{\dagger}\hat{a} } = e^{-i\omega t}\hat{a}

类似地，平移算符的作用也可通过上述公式计算

D^αa^D^α†=a^−αD^α†a^D^α=a^+α\hat{D}_{\alpha} \hat{a} \hat{D}_{\alpha}^\dagger = \hat{a} - \alpha \\[5pt] \hat{D}_{\alpha}^\dagger \hat{a} \hat{D}_{\alpha} = \hat{a} + \alpha

有了 Baker-Hausdorff 公式，就可以证明 Baker-Campbell-Hausdorff 公式：对于两个算符 A^\hat{A} 和 B^\hat{B}，如果它们的对易子 [A^,B^][\hat{A},\hat{B}] 与 A^\hat{A} 和 B^\hat{B} 都对易，即 [[A^,B^],A^]=[[A^,B^],B^]=0[[\hat{A},\hat{B}],\hat{A}] = [[\hat{A},\hat{B}],\hat{B}] = 0，那么有

eA^+B^=e−12[A^,B^]eA^eB^=e12[A^,B^]eB^eA^e^{\hat{A}+\hat{B}} = e^{-\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]} e^{\hat{A}} e^{\hat{B}} = e^{\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]} e^{\hat{B}} e^{\hat{A}}

所以一般来说，eA^+B^≠eA^eB^e^{\hat{A}+\hat{B}} \neq e^{\hat{A}} e^{\hat{B}}，除非 [A^,B^]=0[\hat{A},\hat{B}] = 0，所以通常

∂teA^(t)≠(∂teA^(t))eA^(t)\partial_t e^{\hat{A}(t)} \neq \left(\partial_t e^{\hat{A}(t)}\right) e^{\hat{A}(t)}

因为各个时间下的 A^(t)\hat{A}(t) 通常不对易，而常规求导法则只在标量函数下成立。而在指数幂对易情形下，求导法则成立，例如

∂teA^⋅t=A^eA^⋅t\partial_t e^{\hat{A} \cdot t } = \hat{A} e^{\hat{A} \cdot t }

相干态的时间演化

对相干态的初态做时间演化

∣α(t)⟩=e−iH^t∣α0⟩=e−iωta†a∣α0⟩=e−iωta†ae−12∣α0∣2∑n=0∞α0nn!∣n⟩=e−12∣α0∣2∑n=0∞α0ne−inωtn!∣n⟩=e−12∣α0e−iωt∣2∑n=0∞(α0e−iωt)nn!∣n⟩=∣α0e−iωt⟩ \begin{align*} |\alpha\left(t\right)\rangle &= e^{-i\hat{H}t} |\alpha_0 \rangle = e^{-i\omega t a^\dagger a} | \alpha_0 \rangle =e^{-i\omega t a^\dagger a} e^{-\frac12 |\alpha_0|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha_0^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle \\[5pt] &=e^{-\frac12 |\alpha_0|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha_0^n e^{-i n \omega t}}{\sqrt{n!}} |n\rangle= e^{-\frac12 |\alpha_0 e^{-i \omega t}|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\alpha_0 e^{-i \omega t}\right)^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle \\[5pt] &=|\alpha_0 e^{-i \omega t}\rangle \end{align*}

相干态的时间演化

可以看到，相干态在时间演化中仍然是相干态，只不过相干参数 α0\alpha_0 变成了 α0e−iωt\alpha_0 e^{-i\omega t}，也就是说相干态在复平面内做匀速圆周运动。再简单计算动量算符和位置算符在相干态下的期望值（忽略量纲）

⟨αt∣X^∣αt⟩=⟨αt∣a^+a^†2∣αt⟩=α0e−iωt+α0∗eiωt2=∣α0∣cos⁡(ωt−ϕ0)⟨αt∣P^∣αt⟩=⟨αt∣a^−a^†2i∣αt⟩=α0e−iωt−α0∗eiωt2i=−∣α0∣sin⁡(ωt−ϕ0) \begin{align*} \langle\alpha_t|\hat{X}|\alpha_t \rangle &=\bra{\alpha_t}\frac{\hat{a}+\hat{a}^\dagger}{2}\ket{\alpha_t} =\frac{\alpha_0 e^{-i\omega t}+\alpha_0^* e^{i\omega t}}{2}= \left| \alpha_0 \right| \cos(\omega t - \phi_0) \\[5pt] \langle\alpha_t|\hat{P}|\alpha_t \rangle &=\bra{\alpha_t}\frac{\hat{a}-\hat{a}^\dagger}{2i}\ket{\alpha_t} =\frac{\alpha_0 e^{-i\omega t}-\alpha_0^* e^{i\omega t}}{2i}=- \left| \alpha_0 \right| \sin(\omega t - \phi_0) \end{align*}

其中 α0=∣α0∣eiϕ\alpha_0 = |\alpha_0| e^{i\phi}。可以看到，位置算符和动量算符的期望值都是简谐振动。因此，相干态的时间演化与经典简谐振子的运动类似，而区别在于，相干态具有量子涨落：

⟨δX^2⟩=⟨X^2⟩−⟨X^⟩2=14,⟨δP^2⟩=⟨P^2⟩−⟨P^⟩2=14\braket{\delta\hat{X}^2} = \braket{\hat{X}^2} - \braket{\hat{X}}^2 = \frac{1}{4},\quad \braket{\delta\hat{P}^2} = \braket{\hat{P}^2} - \braket{\hat{P}}^2 = \frac{1}{4}

每个时刻的涨落都是相同的。对相干态进行测量后得到的位置如图所示

相干态的位置

场可观测量的期望值

我们已知电场可写为

E^(x,t)=i∑kσe^kσℏωk2ϵ0V[a^kσei(k⋅x−ωkt)−a^kσ†e−i(k⋅x−ωkt)]\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x},t) = i\sum_{\mathbf{k}\sigma} \hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma}\sqrt{\frac{\hbar \omega_{k}}{2\epsilon_0 V}}\left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{k} t)}\right]

其中的 a^kσ−a^kσ†\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}-\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger 和 a^kσ+a^kσ†\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}+\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger 正好就是我们前面计算的部分。假定场的初态为一个相干态和一群真空态的直积

∣α⟩=∣αkσ⟩⊗∣0⟩qs⊗∣0⟩q′s′⊗⋯\ket{\mathbf{\alpha}}=\ket{\alpha_{\mathbf{k}\sigma}} \otimes \ket{0}_{\mathbf{q}s}\otimes \ket{0}_{\mathbf{q}'s'}\otimes \cdots

则电场的期望值为

⟨E^(x,t)⟩=⟨α∣E^(x,t)∣α⟩=ie^kσℏωk2ϵ0V[αei(k⋅x−ωkt)−α∗e−i(k⋅x−ωkt)]=−e^kσ2ℏωkϵ0V∣α∣sin⁡(k⋅x−ωkt+ϕα)=E0sin⁡(k⋅x−ωkt+ϕα) \begin{align*} \langle \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x},t) \rangle &= \bra{\mathbf{\alpha}} \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x},t) \ket{\mathbf{\alpha}} \\[5pt] &= i\hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma}\sqrt{\frac{\hbar \omega_{k}}{2\epsilon_0 V}}\left[\alpha e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_k t )} - \alpha^* e^{-i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{k} t)}\right] \\[5pt] &= -\hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma}\sqrt{\frac{2\hbar \omega_{k}}{\epsilon_0 V}} |\alpha| \sin(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_k t + \phi_\alpha) \\[5pt] &= \mathbf{E}_0 \sin(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_k t + \phi_\alpha) \end{align*}

另人惊讶的是，电场的期望值正好回到了经典平面波的形式！且是一个单模（频率单一）的平面波。因此我们可以说：相干态对应于经典光学中的平面波。区别是仍然存在量子涨落。

同理，我们可以得到多模相干态的电场期望值

∣Φ⟩=⨂kσ∣αkσ⟩⊗∣0⟩qs⊗∣0⟩q′s′⊗⋯⟨E^(x,t)⟩=⟨Φ∣E^(x,t)∣Φ⟩=∑kσEkσsin⁡(k⋅x−ωkt+ϕkσ)\ket{\Phi}=\bigotimes_{\mathbf{k}\sigma} \ket{\alpha_{\mathbf{k}\sigma}} \otimes \ket{0}_{\mathbf{q}s}\otimes \ket{0}_{\mathbf{q}'s'}\otimes \cdots\\[5pt] \langle \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x},t) \rangle = \bra{\Phi} \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x},t) \ket{\Phi} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \mathbf{E}_{\mathbf{k}\sigma} \sin(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_k t + \phi_{\mathbf{k}\sigma})

这正是经典电磁场波包的形式。

波包

相干态的光子数分布（泊松分布）

由于相干态可由一系列 Fock 态叠加而成，因此数算符可直接作用在相干态，同时得到光子数和其概率幅

N^∣α⟩=N^∑n=0∞e−12∣α∣2αnn!∣n⟩=∑n=0∞ne−12∣α∣2αnn!∣n⟩\hat{N}|\alpha\rangle = \hat{N}\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\frac12 |\alpha|^2} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} n e^{-\frac12 |\alpha|^2} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle

那么根据期望值的计算方法，相干态的平均光子数为

Nˉ=⟨α∣N^∣α⟩=⟨α∣a^†a^∣α⟩=∣α∣2\bar{N} = \langle \alpha|\hat{N}|\alpha\rangle = \langle \alpha|\hat{a}^\dagger \hat{a}|\alpha\rangle = |\alpha|^2

可以看到，复数 α\alpha 离原点越远，平均光子数越多。相干态中光子数的概率分布为

P(n)=∣⟨n∣α⟩∣2=e−∣α∣2∣α∣2nn!=Nˉnn!e−NˉP(n) = |\langle n|\alpha\rangle|^2 = e^{-|\alpha|^2} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} = \frac{\bar{N}^n}{n!} e^{-\bar{N}}

这正是泊松分布的形式，且方差 σ2=Nˉ\sigma^2 = \bar{N}。泊松分布是一个自然界中常见的分布，例如我们随机扔小球，单位时间内扔出小球数量是固定的，但是每个时刻接受到的个数会有差异，接收到 nn 个小球的概率 P(n)P(n) 就服从泊松分布。

使用统计方法求得泊松分布的平均值为

⟨n⟩=∑nPn=λ\braket{n} = \sum n P_n=\lambda

⟨n2⟩=∑n2Pn=λ2+λ\braket{n^2} = \sum n^2 P_n=\lambda^2+\lambda

使用统计方法只能计算⟨n⟩\braket{n} 和 ⟨n2⟩\braket{n^2}这等低阶矩，对于⟨nk⟩\braket{n^k}等高阶矩则非常麻烦，这里介绍生成函数的方法简便计算：
定义生成函数为

G(β)=⟨eβn⟩=∑eβnPn=eλ(eβ−1)G(\beta)=\braket{e^{\beta n}}=\sum e^{\beta n}P_n=e^{\lambda(e^{\beta}-1)}

则有

⟨nk⟩=dkG(β)dβk∣β→0\braket{n^k}=\frac{d^k G(\beta)}{d\beta^k}\bigg|_{\beta \to 0}

泊松分布的方差值为

⟨δn2⟩=⟨n2⟩−⟨n⟩2=λ=⟨n⟩\braket{\delta n^2}=\braket{n^2}-\braket{n}^2=\lambda=\braket{n}

方差值等于平均值，又因为泊松分布的宽度等于标准差等于λ\sqrt{\lambda}，那么平均光子数越大，分布越宽，再看标准差与平均数的比值

δN2‾N‾=1N‾\frac{\sqrt{\overline{\delta N^2}}}{\overline{N}}=\frac{1}{\sqrt{\overline{N}}}

这表明相对平均光子数而言，宽度是随着平均光子数的增大而减小的。这有什么物理意义呢？我们知道光强就是单位时间内接受到的光子数，而在实验中，激光可以近似于相干态，那么当光强很大时，单位时间内接受到的光子数也很大，此时光子数涨落的绝对值虽然相比于弱光更大，但相对涨落更小。粒子数的这种涨落常被称为散粒噪声，在弱光下散粒噪声尤为明显，散粒噪声代表了任何基于粒子计数测量的最终精度极限，导致了信噪比与 N\sqrt{N} 成正比的普遍规律，只有通过量子态（压缩态）才能突破这个经典极限。

能流密度

我们已知电场和磁场表达式分别为

E^(x,t)=i∑kσe^kσℏωk2ϵ0V[a^kσei(k⋅x−ωkt)−a^kσ†e−i(k⋅x−ωkt)]B^(x,t)=i∑kσe^kσ′cℏωk2ϵ0V[a^kσei(k⋅x−ωkt)−a^kσ†e−i(k⋅x−ωkt)]\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x},t) = i\sum_{\mathbf{k}\sigma} \hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma}\sqrt{\frac{\hbar \omega_{k}}{2\epsilon_0 V}}\left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{k} t)}\right] \\[5pt] \hat{\mathbf{B}}(\mathbf{x},t) = i\sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma'}}{c}\sqrt{\frac{\hbar \omega_{k}}{2\epsilon_0 V}}\left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{k} t)}\right]

其中 e^kσ′=e^k×e^kσ\hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma'} = \hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma},坡印廷矢量期望值为

⟨α∣P^∣α⟩=1μ0⟨α∣E^×B^∣α⟩=1μ0⟨α∣(i∑kσe^kσℏωk2ϵ0V[a^kσei(k⋅x−ωkt)−a^kσ†e−i(k⋅x−ωkt)])×(i∑kσe^kσ′cℏωk2ϵ0V[a^kσei(k⋅x−ωkt)−a^kσ†e−i(k⋅x−ωkt)])∣α⟩=ce^kVℏωk∣α∣2⋅2cos⁡2(k⋅x−ωkt+ϕα)\bra{\alpha}\hat{\mathscr{P}} \ket{\alpha} = \frac{1}{\mu_0} \bra{\alpha}\hat{\mathbf{E}} \times \hat{\mathbf{B}} \ket{\alpha} \\[5pt] = \frac{1}{\mu_0} \bra{\alpha}\left( i\sum_{\mathbf{k}\sigma} \hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma}\sqrt{\frac{\hbar \omega_{k}}{2\epsilon_0 V}}\left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{k} t)}\right] \right) \\[5pt] \times \left( i\sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\sigma'}}{c}\sqrt{\frac{\hbar \omega_{k}}{2\epsilon_0 V}}\left[\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_{k} t)}\right] \right) \ket{\alpha} \\[5pt] =\frac{c \hat{e}_{\mathbf{k}}}{V} \hbar \omega_k |\alpha|^2 \cdot 2\cos^2(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_k t + \phi_\alpha)

上式中 ∣α∣2|\alpha|^2 为平均光子数，ℏωk\hbar \omega_k 为光子能量，那么 ∣α∣2ℏωk/V|\alpha|^2 \hbar \omega_k/V 就是能量密度，再乘上光速 cc 就得到能流密度，这与我们知道的平面波坡印廷矢量的形式相符。实际上，我们只能测量坡印廷矢量的时间平均值

It(ωk)=⟨P^‾⟩=1δτ∫tt+δτP^(s)ds=ce^kVℏωk∣α∣2⋅2cos⁡2(k⋅x−ωkt+ϕα)‾=ce^kVℏωk∣α∣2 I_t\left(\omega_k\right) =\langle \overline{\hat{\mathscr{P}}} \rangle =\frac{1}{\delta \tau} \int_{t}^{t+\delta \tau} \hat{\mathscr{P}}(s) ds \\[5pt] =\frac{c \hat{e}_{\mathbf{k}}}{V} \hbar \omega_k |\alpha|^2 \cdot \overline{2\cos^2(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega_k t + \phi_\alpha)} = \frac{c \hat{e}_{\mathbf{k}}}{V} \hbar \omega_k |\alpha|^2

我们从计算上证明了：光强就是单位时间内通过单位面积的 nn 个光子的能量。