量子信息笔记（四）：量子比特与量子逻辑门

量子比特

Bloch球的表示

我们知道量子比特可用 Bloch 球表示，任意量子比特态都可以写成

$$\ket{\psi} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \ket{0} + e^{i\phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \ket{1}$$

而球面上的点是无数的，那么一个量子比特是否能存储无限的信息呢？不行，因为量子态是不可克隆的，而读取会引起坍缩，无法通过无限次测量来精确读取量子态的信息。实际中，可用于量子计算的二能级系统也是十分少的。

测定三个泡利算符的平均值

$$\begin{aligned} \langle \overline{x} \rangle &= \bra{\psi} \sigma_x \ket{\psi}= \sin\theta \cos\phi \\[5pt] \langle \overline{y} \rangle &= \bra{\psi} \sigma_y \ket{\psi}= \sin\theta \sin\phi \\[5pt] \langle \overline{z} \rangle &= \bra{\psi} \sigma_z \ket{\psi}= \cos\theta \end{aligned}$$

即可确定量子态的位置

$$\ket{\psi} = \sqrt{\frac{1+\overline{z}}{2}} \ket{0} + \frac{\overline{x} + i \overline{y}}{\sqrt{2(1+\overline{z})}} \ket{1}$$

自旋的旋转

下面给出一个单比特幺正算符的简易计算公式

$$e^{-i \sigma \cdot \vec{n} \phi} = \cos \phi - i (\sigma \cdot \vec{n}) \sin \phi$$

实际上，当 $\phi$ 很小时，$e^{-i \sigma \cdot \vec{n} \phi}$ 可展开为 $1 -i2\phi (\sigma \cdot \vec{n}/2)$，这对应 Bloch 球上绕 $\vec{n}$ 轴转动了 $2\phi$ 的角度；当 $\phi$ 为任意角时，$e^{-i \sigma \cdot \vec{n} \phi}$ 相当于进行了一个转动操作 $R_{\vec{n}}(2\phi)$。对任意角动量 $\vec{J}$ 绕 $\vec{n}$ 轴旋转 $\theta$ 度可表示为

$$R_{\vec{n}}(\theta) = e^{-i \theta \vec{J} \cdot \vec{n}}$$

对自旋角动量 $\vec{S}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}$，有

$$\begin{align*} R_x\left(\theta\right) &= e^{-i \theta S_x} = e^{-i \frac{\theta}{2} \sigma_x} = \cos\frac{\theta}{2} I - i \sin\frac{\theta}{2} \sigma_x = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -i \sin\frac{\theta}{2} \\ -i \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\[6pt] R_y\left(\theta\right) &= e^{-i \theta S_y} = e^{-i \frac{\theta}{2} \sigma_y} = \cos\frac{\theta}{2} I - i \sin\frac{\theta}{2} \sigma_y = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\[6pt] R_z\left(\theta\right) &= e^{-i \theta S_z} = e^{-i \frac{\theta}{2} \sigma_z} = \cos\frac{\theta}{2} I - i \sin\frac{\theta}{2} \sigma_z = \begin{pmatrix} e^{-i \frac \theta 2} & 0 \\ 0 & e^{i \frac \theta 2} \end{pmatrix} \end{align*}$$

通过上述操作，我们可以旋转 Bloch 球上的任意矢量 $\left(\theta_1, \phi_1\right)$ 到 $\left(\theta_2, \phi_2\right)$

$$R\ket{\psi\left(\theta_1, \phi_1\right)} = \ket{\psi\left(\theta_2, \phi_2\right)}$$

$$R=R_z\left(\frac{\pi}{2}+\phi_2\right) R_x\left(\theta_2-\theta_1\right) R_z\left(-\frac{\pi}{2}-\phi_1\right)$$

Baker-Hausdorff 公式

例：在相互作用表象下，哈密顿量可写为

$$H = H_0 + V$$

其中 $H_0$ 是系统的自由哈密顿量，$V$ 是相互作用项。一个态由薛定谔绘景变为相互作用绘景可以写为

$$\ket{\psi\left(t\right)}_I =e^{-i \hat{H}_0 t} \ket{\psi\left(t\right)}_S$$

而一个算符由薛定谔绘景变为相互作用绘景可以写为

$$\hat{A}_I= e^{i \hat{H}_0 t} \hat{A}_S e^{-i \hat{H}_0 t}$$

形如上式的计算我们可以使用 Baker-Hausdorff 公式进行计算

$$e^{A} B e^{-A} = B + [A, B] + \frac{1}{2!} [A, [A, B]] + \frac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \cdots$$

实际上，由于算符与数的对易性，上式一般只有前两项不为零

利用上式，我们可以计算出 $\sigma$ 在空间中旋转的幺正变换

$$\begin{align*} e^{i \phi \sigma_z/2} \sigma_x e^{-i \phi \sigma_z/2} &= \cos \phi \sigma_x - \sin \phi \sigma_y \\[5pt] e^{i \phi \sigma_z/2} \sigma_y e^{-i \phi \sigma_z/2} &= \sin \phi \sigma_x + \cos \phi \sigma_y \\[5pt] e^{i \phi \sigma_y/2} \sigma_x e^{-i \phi \sigma_y/2} &= \cos \phi \sigma_x + \sin \phi \sigma_z \\[5pt] e^{i \phi \sigma_y/2} \sigma_z e^{-i \phi \sigma_y/2} &= -\sin \phi \sigma_x + \cos \phi \sigma_z \\[5pt] \end{align*}$$

n量子比特系统

一个由 $n$ 个量子比特组成的系统称为大小为 $n$ 的量子寄存器。

一组基 $\ket{i} := \ket{i_{n-1}} \otimes \cdots \otimes \ket{i_1} \otimes \ket{i_0}$，其中 $i_k \in \{0, 1\}$，构成一组 $2^n$ 维希尔伯特空间 $\mathcal{H}^{2^n}$ 内的正交完备基，空间内的任意态可表示为 $2^n$ 个基态的叠加

$$\begin{align*} \ket{\psi} &= \sum_{i=0}^{2^n-1} c_i \ket{i} \\[5pt] &= \sum_{i_{n-1}=0}^{1} \cdots \sum_{i_1=0}^{1} \sum_{i_0=0}^{1} c_{i_{n-1} \cdots i_1 i_0} \ket{i_{n-1}} \otimes \cdots \otimes \ket{i_1} \otimes \ket{i_0} \end{align*}$$

其中 $c_i$ 满足归一化条件 $\sum_{i=0}^{2^n-1} |c_i|^2 = 1$。

1.每个态都有 $2\times 2^n$ 个实数参数，但由于归一化条件和全局相位不可观测，实际自由参数为 $2^{n+1}-2$ 个实数参数。

2.每 $n$ 个比特的经典系统只能储存 $n$ 个比特的信息，而量子系统可以储存 $2^{n+1}-2$ 个实数参数的信息，信息量呈指数增长。

3.经典系统中也同样存在叠加，但由于 $1024$ 个经典比特的叠加态需要 $1024$ 个模式描述，需要 $1024$ 个能级的能量，对能量的要求十分高。

4.由于量子叠加，量子计算天然可以进行并行计算。对一个相干叠加态进行一次幺正操作，就相当于对 $2^n$ 个基态同时进行了一次幺正操作，实现了并行计算。

$$U \ket{\psi} = U \sum_{i=0}^{2^n-1} c_i \ket{i} = \sum_{i=0}^{2^n-1} c_i U \ket{i}$$

5.量子纠缠使得我们能够仅用 $n$ 个相同的双态系统处理 $2^n$ 个不同的态。

量子计算的一般过程：

1. 初态制备：使量子计算机初始化在态 $\ket{\psi_i}$上。
2. 量子控制：使用幺正算符控制初态的演化 $\ket{\psi_f} = U \ket{\psi_i}$。
3. 量子测量：对最终态 $\ket{\psi_f}$ 进行测量，读取结果。

量子逻辑门

定义

逻辑门：逻辑函数的物理实现：$\{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$，其中 $n$ 是输入比特数，$m$ 是输出比特数。

量子逻辑门：
线路模型如下图所示，约定左边为输入，右边为输出。

其中，$U$ 是一个幺正算符，实现 $\ket{\psi_{out}} = U \ket{\psi_{in}}$，$n=l$，任意态可由 $2^n$ 个基态线性叠加而成

$$\ket{\psi} = \sum_{i=0}^{2^n-1} c_i \ket{i} = \sum_{i_{n-1}=0}^{1} \cdots \sum_{i_1=0}^{1} \sum_{i_0=0}^{1} c_{i_{n-1} \cdots i_1 i_0} \ket{i_{n-1}} \otimes \cdots \otimes \ket{i_1} \otimes \ket{i_0}$$

受控量子门

受控非门

根据输入和输出的量子比特数量，我们可以将量子逻辑门分为单比特门、双比特门和多比特门。常用的单比特门有恒等门 $I$、非门 $X$、相位门 $P$、Hadamard 门 $H$ 等；常用的双比特门有受控非门 $CNOT$、交换门 $SWAP$、受控相移门 $CP$ 等；多比特门有 Toffoli（$C^2-X$） 门 和 $C^2-U$ 门等。由于受控非门 $CNOT$ 可产生纠缠态，是量子计算中非常重要的双比特门，下面我们介绍受控非门。

若 $A$ 为控制比特，$B$ 为目标比特，则受控非门 $CNOT$ 的作用为

$$CNOT\ket{A,B}=\ket{A}\ket{A \oplus B}$$

我们可以得到 $CNOT$ 的矩阵为

$$CNOT=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

通用量子逻辑门

任意 $n$ 比特量子逻辑门都可以分解成单比特门（$H$ 门、相位门 $P$）和受控非门 $CNOT$。

任意 $d$ 维幺正算符都可以分解为 $k=d(d-1)/2$ 个只作用于二维子空间内的幺正操作的乘积。

对于一个作用在 $n$ 个量子比特上的任意幺正算符 $U$，其希尔伯特空间的维数是 $2^n$，而在一个二维希尔伯特子空间内的幺正操作，非对角元至多只有四个不为零。例如，作用在 $\ket{100}$ 和 $\ket{010}$ 子空间内的幺正操作 $U$ 可表示为

$$U = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & & \\ & 1 & & & & & & \\ & & u_{010，010} & & u_{010，100} & & & \\ & & & 1 & & & & \\ & & u_{100，010} & & u_{100，100} & & & \\ & & & & & 1 & & \\ & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & 1 \end{pmatrix}$$

其余维数的对角元均为 $1$，表示对其他子空间没有作用。若提取上述四个矩阵元

$$\begin{pmatrix} u_{010，010} & u_{010，100} \\ u_{100，010} & u_{100，100} \end{pmatrix}$$

则该矩阵是一个作用在 $\ket{010}$ 和 $\ket{100}$ 子空间内的单比特幺正操作 $U_{2\times 2}$。

• $U_{2\times 2}$ 虽然只作用在二维子空间，但他不是一个单体操作。
• $\ket{100}$ 和 $\ket{010}$ 虽然是二维子空间的基，但$U_{2\times 2}$ 仍是一个非局域的操作，因为它作用在两个不同的量子比特上；而 $\ket{000}$ 和 $\ket{100}$ 组成的二维子空间内的幺正操作则是一个单体操作，因为它只需作用在一个量子比特上。