光具有波粒二象性，波动性体现在传播过程中，粒子性体现在相互作用中。量子理论中，光的传播和经典理论同样满足麦克斯韦方程组，但光与物质的相互作用则需要量子化的电磁场来描述。

原子-场相互作用的经典理论

经典理论中带电粒子和电磁场的相互作用为

$L=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{q}}^2+\int(J^\mu A_\mu+\mathscr{L}_{\mathrm{EM}})d^3x$

第一项为粒子的动能，第二项为耦合拉氏密度，第三项为电磁场自由拉氏密度。为什么拼凑成这样？因为这样可以得到正确的运动方程，也就是洛伦兹力，协变量标势说明这个物理规律在任何参考下都成立。在没有动力学演化时，最后一项可忽略，那么最小耦合为

$L_{\mathrm{int}}=\int d^3xJ^\mu A_\mu=-e\phi(\mathbf{q})+e\dot{\mathbf{q}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{q})$

上式就是耦合拉氏量。那么根据欧拉-拉格朗日方程，最后可以推出

$m\ddot{\mathbf{q}}=e(\mathbf{E}+\dot{\mathbf{q}}\times\mathbf{B})$

正则动量定义为

$\mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf{q}}}=m\dot{\mathbf{q}}+e\mathbf{A}(\mathbf{q})$

第一项为机械动量，第二项为场动量。所以之后我们在相互作用里用到的 $\mathbf{p}$ 都应是正则动量。根据拉格朗日量，得到哈密顿量为

$H=\sum_ip_i\dot{q}_i-L=\frac{[\mathbf{p}-e\mathbf{A}(\mathbf{q})]^2}{2m}+e\phi(\mathbf{q})$

分子中正则动量减去场动量，得到普通的机械动量。

原子-场相互作用的半经典理论

p·A 近似

在半经典理论中，场被视为经典场，而原子被量子化。将经典理论的物理量换成算符形式，得到原子-场相互作用的哈密顿量为

$\hat{H}=\frac{[\hat{\mathbf{p}}-e\mathbf{A}(\hat{\mathbf{q}})]^2}{2m}+e\phi(\hat{\mathbf{q}})$

计算分子上的二次项，得到

$\hat{H}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+e\phi(\hat{\mathbf{q}})+\frac{e^2}{2m}\mathbf{A}^2-\frac{e}{2m}\left[\hat{\mathbf{p}}\cdot\mathbf{A}(\hat{\mathbf{q}})+\mathbf{A}(\hat{\mathbf{q}})\cdot\hat{\mathbf{p}}\right]$

最后一项是动量和矢势的对易式。根据 $\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$ 和矢量计算法则，有

$\widehat{p}\cdot A\left(\widehat{q}\right)-A\left(\widehat{q}\right)\cdot\widehat{p}=-i\hbar\nabla\cdot A\left(\widehat{q}\right)$

那么在库仑规范 $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ 下，上式可简化为

$\hat{H}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+e\phi(\hat{\mathbf{q}})-\frac{e}{m}\mathbf{A}(\hat{\mathbf{q}})\cdot\hat{\mathbf{p}}+\frac{e^2}{2m}\mathbf{A}^2$

在偶极近似下，由于 $\mathbf{A}$ 是光波的波长 $\left(\sim 0.1 \ \mu m\right)$ ，远高于原子尺度 $\left(\sim 0.1 \ nm\right)$ ，最后一项可忽略空间变化 $\mathbf{A}(\hat{\mathbf{r}},t)\simeq\mathbf{A}(\mathbf{r}_0,t)$ ，将其看作一个常数，而在哈密顿量中常数项可忽略，所以得到 $\mathbf{p}\cdot\mathbf{A}$ 近似：

$\hat{H}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+e\phi(\hat{\mathbf{q}})-\frac{e}{m}\mathbf{A}(\hat{\mathbf{q}})\cdot\hat{\mathbf{p}}$

式中第一项和第二项是原子的哈密顿量，第三项是原子-场相互作用项，场的哈密顿量怎么消失了呢，因为这是半经典理论，场是外场，只有原子被量子化。但是， $\mathbf{p}\cdot\mathbf{A}$ 近似中含有矢势 $\mathbf{A}$ ，而我们在实验中无法测得矢势，下面我们介绍另一种近似。

r·E 近似

$\mathbf{p}\cdot\mathbf{A}$ 近似和 $\mathbf{r}\cdot\mathbf{E}$ 是等价的，因为它们之间可以通过规范变换联系起来。若重新定义

$\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\nabla\chi(\mathbf{r},t)\qquad\phi^{\prime}=\phi-\partial_t\chi$

其中 $\chi(\mathbf{r},t)$ 是规范变换函数，那么磁场和电场不变：

$\begin{aligned} & \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}=\nabla\times\mathbf{A}^{\prime} \\ & \mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial_{t}\mathbf{A}=-\nabla\phi^{\prime}-\partial_{t}\mathbf{A}^{\prime} \end{aligned}$

为了保证力学量算符的期望值不变，那么波函数和力学量就要进行一个幺正变换：

$|\psi^{\prime}\rangle =U_\chi|\psi\rangle \qquad \hat{O}^{\prime} =U_\chi\hat{O}U_\chi^\dagger$

那么薛定谔方程也要变为

$\begin{aligned} i\hbar\partial_{t}|\psi^{\prime}\rangle & =i\hbar\partial_{t}\left(U_{\chi}|\psi\rangle\right)=i\hbar\left(\partial_{t}U_{\chi}\right)U_{\chi}^{\dagger}\cdot U_{\chi}|\psi\rangle+U_{\chi}\cdot\hat{H}|\psi\rangle \\[1em] & \Longrightarrow\quad i\hbar\partial_{t}|\psi^{\prime}\rangle=[i\hbar\left(\partial_{t}U_{\chi}\right)U_{\chi}^{\dagger}+U_{\chi}\hat{H}U_{\chi}^{\dagger}]|\psi^{\prime}\rangle \end{aligned}$

可以看到，在规范变换下，得到新的哈密顿量

$\hat{H}^{\prime}=U_\chi\hat{H}U_\chi^\dagger+i\hbar(\partial_tU_\chi)U_\chi^\dagger$

可以看到哈密顿量的变换不仅是一个单独的幺正变换，因为哈密顿量的演化是特殊的。定义幺正变换为

$U_\chi:=\exp\left[i\frac{e}{\hbar}\chi(\hat{\mathbf{r}},t)\right]$

利用 $\text{BCH}$ 公式，可以计算出动量算符的变换为

$\hat{\mathbf{p}}^{\prime}:=U_\chi\hat{\mathbf{p}}U_\chi^\dagger=\hat{\mathbf{p}}-e\nabla\chi(\hat{\mathbf{r}},t)$

那么最后得到新的哈密顿量为

$\hat{H}^{\prime}=U_\chi\hat{H}U_\chi^\dagger+i\hbar(\partial_tU_\chi)U_\chi^\dagger=\frac{\left[\hat{\mathbf{p}}-e(\mathbf{A}+\nabla\chi)\right]^2}{2m}+eV(\hat{\mathbf{r}})+e(\phi-\partial_t\chi)$

其中 $\mathbf{V}$ 是静电势， $\phi$ 是电磁波势能，这就与经典电动力学中的规范变换一致。现在我们取 $\chi:=-\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}_0,t)$ （偶极近似），代入哈密顿量中，得到

$\hat{H}^{\prime}\simeq\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+eV(\hat{\mathbf{r}})-e\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}_0,t)$

电偶极算符

上式中最后一项就是 $\mathbf{r}\cdot\mathbf{E}$ 近似下的原子-场相互作用项。定义电偶极算符为

$\hat{\wp}:=e\hat{\mathbf{r}}=-|e|\hat{\mathbf{r}}$

经典电磁波的产生就是通过电偶极矩的振荡，产生了变化的电场。

写成矩阵形式就是

$\hat{\wp}=\sum\vec{\wp}_{mn}|m\rangle\langle n|\qquad\vec{\wp}_{mn}=\langle m|e\hat{\mathbf{r}}|n\rangle$

$\hat{\wp}=\vec{\wp}_{\mathrm{ee}}|\mathrm{e}\rangle\langle\mathrm{e}|+\vec{\wp}_{\mathrm{gg}}|\mathrm{g}\rangle\langle\mathrm{g}|+(\vec{\wp}_{\mathrm{eg}}|\mathrm{e}\rangle\langle\mathrm{g}|+\mathbf{h}.\mathbf{c}.)$

其中对角元项表示静态的、固有的电偶极矩，存在于单个能态内，而非对角元项表示能级间的跃迁偶极矩，存在于两个能态之间。由于对角项是偶极矩在某个态下的平均值 $\braket{n|\mathbf{e}\hat{r}|n}$ ，而绕核转动的电子的均值位置应该处于原点处，所以所有对角项都应为零（这也与原子中不存在固有电偶极矩的事实一致，但是分子中可以存在）；而非对角项 $\braket{n|\mathbf{e}\hat{r}|m}$ 有时为零有时非零，这就是选择定则。在二能级体系中，偶极算符也可写为 $\vec{\wp} \sim\vec{\wp}\hat{\sigma}^x$ 的形式。

$-e\hat{\mathbf{r}}\cdot\vec{E}\cos\omega t\quad\to\quad-(\vec{\wp}\cdot\vec{E})\hat{\sigma}^x\cos\omega t$

根据海森堡方程

$\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}}=-\frac{i}{\hbar}[\hat{\mathbf{r}},\hat{H}_0]=\frac{\hat{\mathbf{p}}}{m}$

可以看出动量算符和电偶极算符只相差常数因子

$\begin{aligned} \langle e|\hat{\mathbf{p}}|g\rangle & =-i\frac{m}{\hbar}\langle\mathrm{e}|\hat{\mathbf{r}}\hat{H}_{0}-\hat{H}_{0}\hat{\mathbf{r}}|\mathrm{g}\rangle \\ & =i\frac{m}{e}(\Omega_{\mathrm{e}}-\Omega_{\mathrm{g}})\vec{\wp}_{\mathrm{eg}}=i\frac{m}{e}\Delta\Omega_{\mathrm{eg}}\vec{\wp}_{\mathrm{eg}} \end{aligned}$

拉比振荡

二能级系统的哈密顿量

二能级系统在 $\bf{r} \cdot \bf{E}$ 近似下总哈密顿量为

$\hat{H}=\hat{H}_0-e\hat{\mathbf{r}}\cdot\vec{E}\cos(\omega t+\phi)$

其中 $\hat{H}_0=$ 是原子哈密顿量

$\hat{H}_0=\Omega_\mathrm{e}|\mathrm{e}\rangle\langle\mathrm{e}|+\Omega_\mathrm{g}|\mathrm{g}\rangle\langle\mathrm{g}|=\frac12\left(\Omega_\mathrm{e}+\Omega_\mathrm{g}\right)+\frac{\Omega}{2}\left(\ket{\mathrm{e}}\langle\mathrm{e}|-\ket{\mathrm{g}}\langle\mathrm{g}|\right)$

其中 $\Omega=\Omega_\mathrm{e}-\Omega_\mathrm{g}$ 是能级间隔。在忽略原子哈密顿量常数项后，总哈密顿量为

$\hat{H}=\frac{\Omega}{2}\hat{\sigma}^z+g\hat{\sigma}^x\left[e^{i(\omega t+\phi)}+e^{-i(\omega t+\phi)}\right]$

其中 $g:=-\frac12\vec{\wp}\cdot\vec{E}$ 是耦合强度， $\hat{\sigma}^z=|\mathrm{e}\rangle\langle\mathrm{e}|-|\mathrm{g}\rangle\langle\mathrm{g}|$ ， $\hat{\sigma}^x=|\mathrm{e}\rangle\langle\mathrm{g}|+|\mathrm{g}\rangle\langle\mathrm{e}|$ 。

时间演化的薛定谔方程为

$\begin{aligned} i\partial_{t}|\psi_{t}\rangle & =\hat{H}|\psi_{t}\rangle \\ |\psi_{t}\rangle & =C_{\mathsf{e}}(t)|\mathsf{e}\rangle+C_{\mathsf{g}}(t)|\mathsf{g}\rangle \end{aligned}$

以 $\ket{e}$ 和 $\ket{g}$ 为基写成矩阵形式

$\left.i\partial_t\left[ \begin{array} {c}C_\mathrm{e} \\ C_\mathrm{g} \end{array}\right.\right]= \begin{bmatrix} \Omega_\mathrm{e} & 2g\cos(\omega t+\phi) \\ 2g\cos(\omega t+\phi) & \Omega_\mathrm{g} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_\mathrm{e} \\ C_\mathrm{g} \end{bmatrix}$

在没有外界光驱动的情况下， $\hat{H}=\hat{H}_0$ ，解为

$e^{-i\hat{H}_0t}|\psi_0\rangle=C_\mathbf{e}(0)e^{-i\Omega_\mathbf{e}t}|\mathrm{e}\rangle+C_\mathbf{g}(0)e^{-i\Omega_\mathbf{g}t}|\mathrm{g}\rangle$

但是这个哈密顿量显含时间，演化的薛定谔方程比较难解，我们可以通过相互作用绘景来简化问题。

相互作用绘景

力学量平均值在任何绘景下都应相同。定义

$\begin{aligned} \langle\psi_0|U_t^\dagger\hat{o}U_t|\psi_0\rangle & =\langle\psi_0|U_t^\dagger e^{-i\hat{H}_0t}\cdot e^{i\hat{H}_0t}\hat{o}e^{-i\hat{H}_0t}\cdot e^{i\hat{H}_0t}U_t|\psi_0\rangle \\ & =\langle\tilde{\psi}_t|\tilde{o}(t)|\tilde{\psi}_t\rangle \end{aligned}$

其中 $U_t\sim\exp[-i\hat{H}t]$ ，算符 $\tilde{o}(t)$ 和态矢 $\ket{\tilde{\psi}_t}$ 分别为相互作用绘景下的算符和态矢，定义为

$\tilde{o}(t):=e^{i\hat{H}_0t}\hat{o}e^{-i\hat{H}_0t} \qquad \qquad |\tilde{\psi}_t\rangle:=e^{i\hat{H}_0t}U_t|\psi_0\rangle=e^{i\hat{H}_0t}|\psi_t\rangle$

这时的薛定谔方程为

$\begin{aligned} i\partial_t|\tilde{\psi}_t\rangle&=-\hat{H}_0e^{i\hat{H}_0t}|\psi_t\rangle+e^{i\hat{H}_0t}[\hat{H}_0+\hat{V}(t)]e^{-i\hat{H}_0t}\cdot e^{i\hat{H}_0t}|\psi_t\rangle \\[1em] &=\boxed{\tilde{V}(t)|\tilde{\psi}_t\rangle} \end{aligned}$

其中 $\tilde{V}(t):=e^{i\hat{H}_0t}\hat{V}(t)e^{-i\hat{H}_0t}$ 是相互作用绘景下的相互作用项。通过相互作用绘景，就可以在薛定谔方程中将 $\hat{H}_0$ 消去，只剩下相互作用项 $\tilde{V}(t)$ 。

同样地，也可以将这个结论推广至密度态

$\tilde{\rho}(t)=e^{i\hat{H}_0t}\hat{\rho}(t)e^{-i\hat{H}_0t}\qquad \qquad \partial_t\tilde{\rho}(t)=\frac{i}{\hbar}[\tilde{\rho}(t),\tilde{V}(t)]$

旋波近似

相互作用绘景下的 $\tilde{\sigma}\left(t\right)$ 为

$\tilde{\sigma}^{-}(t)=e^{i\hat{H}_{0}t}\hat{\sigma}^{-}e^{-i\hat{H}_{0}t}=e^{i\frac{\Omega t}{2}\hat{\sigma}^{z}}|\mathrm{g}\rangle\langle\mathrm{e}|e^{-i\frac{\Omega t}{2}\hat{\sigma}^{z}}=\hat{\sigma}^-e^{-i\Omega t}$

在形式上和海森堡绘景下的算符演化类似。再根据 $\sigma^x=\sigma^++\sigma^-$ ，得到相互作用哈密顿量为

$\tilde{V}(t)=g\left(\hat{\sigma}^{+}e^{i\Omega t}+\hat{\sigma}^{-}e^{-i\Omega t}\right)\left[e^{i(\omega t+\phi)}+e^{-i(\omega t+\phi)}\right]$

展开后有四项，频率分别为 $\Omega+\omega$ ， $\Omega-\omega$ ， $-(\Omega-\omega)$ ， $-(\Omega+\omega)$ 。当外场频率 $\omega$ 接近原子频率 $\Omega$ 时， $\Omega+\omega$ 和 $-(\Omega+\omega)$ 远大于 $\Omega-\omega$ 和 $-(\Omega-\omega)$ ，后两项的频率可能接近于零，而前两项的振荡非常快，在时间平均意义下相消，可忽略不计，这就是旋波近似 $(\text{RWA})$ 。那么相互作用哈密顿量简化为

$\tilde{V}(t)\simeq g_\phi\hat{\sigma}^+e^{i(\Omega-\omega)t}+g_\phi^*\hat{\sigma}^-e^{-i(\Omega-\omega)t}$

我们得到哈密顿量的目的是求解演化方程，而势能 $\tilde{V}(t)$ 中通常含有许多不同频率的求和项，那么就有

$\partial_t\tilde{\rho}=i\left[\tilde{\rho},\tilde{V}(t)\right]\quad\to\quad\sum f_n[t,\ldots]e^{i\Omega_nt}$

对两边进行时间积分，有

$\tilde{\rho}(t)=\sum\int_0^tdsf_n[s,...]e^{i\Omega_ns}$

我们当然无法求解这个积分，但是可以对被积函数中的 $e$ 指数进行分部积分

$\tilde{\rho}(t)=\sum \left[f_n[s]\frac{e^{i\Omega_ns}}{i\Omega_n}|_{s=0}^t-\int_0^tds\partial_sf_n[s]\cdot\frac{e^{i\Omega_ns}}{i\Omega_n}\right]$

当 $\Omega_n$ 很大时，分母很大，那么该求和项就可以忽略掉，这就是旋波近似的证明。我们给出旋波近似的成立条件：当上式中的系数 $f_n[s]$ 也就是相互作用哈密顿量中的耦合强度 $g$ 和频率满足以下关系

$\left|\frac{g}{\Omega+\omega}\right|\ll1$

共振驱动

当驱动频率 $\omega$ 和原子频率 $\Omega$ 共振时 $\left(\omega=\Omega\right)$ ，相互作用哈密顿量为

$\begin{aligned} { \tilde { V } } ( t ) &\simeq g _ { \phi } { \hat { \sigma } } ^ { + } e ^ { i ( \Omega - \omega ) t } + g _ { \phi } ^ { * } { \hat { \sigma } } ^ { - } e ^ { - i ( \Omega - \omega ) t } \\[1em] &= g _ { \phi } { \hat { \sigma } } ^ { + } + g _ { \phi } ^ { * } { \hat { \sigma } } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { g _ { \phi } } \\ { g _ { \phi } ^ { * } } & { 0 } \end{array} \right] \end{aligned}$

设有任意态矢处于

$|\tilde{\psi}_t\rangle=C_\mathrm{e}(t)|\mathrm{e}\rangle+C_\mathrm{g}(t)|\mathrm{g}\rangle$

那么薛定谔方程为

$\left.i\partial_t\left[ \begin{array} {c}C_\mathrm{e} \\ C_\mathrm{g} \end{array}\right.\right]= \begin{bmatrix} 0 & g_\mathrm{\phi} \\ g_\phi^* & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_\mathrm{e} \\ C_\mathrm{g} \end{bmatrix}$

将矩阵写成两个式子并联立，有

$\partial_t^2C_\mathrm{е}+|g_\phi|^2C_\mathrm{е}=0$

解得

$C_{\mathsf{e}}\thicksim\sin\left(|g_{\phi}|t+\varphi\right)$

那么原子处于基态的概率为

$P_{\mathsf{e}}=\left|C_{\mathsf{e}}\right|^{2}=\sin^{2}\left(\left|g_{\phi}\right|t+\varphi\right)$

也就是说，在持续的共振驱动下，原子会在基态和激发态之间周期性振荡。我们再将上式写回薛定谔绘景下，有

$|\psi_t\rangle=C_\mathrm{e}(t)e^{-i\Omega_\mathrm{e}t}|\mathrm{e}\rangle+C_\mathrm{g}(t)e^{-i\Omega_\mathrm{g}t}|\mathrm{g}\rangle$

和相互作用绘景下的态矢相比，多了一个相位因子 $e^{-i\Omega_\mathrm{e}t}$ 和 $e^{-i\Omega_\mathrm{g}t}$ ，这这由 $H_0$ 带来的。

非共振驱动

非共振情况下的哈密顿量为

$\hat{H}=\frac{1}{2}\omega\hat{\sigma}^z+\frac{1}{2}\left(\Omega-\omega\right)\hat{\sigma}^z+g\hat{\sigma}^x\left[e^{i(\omega t+\phi)}+e^{-i(\omega t+\phi)}\right]$

在相互作用绘景下，我们将第一项看作 $\hat{H}_0=\frac{1}{2}\omega\hat{\sigma}^z$ ，幺正变换 $U\equiv\exp\left[-i\frac{\omega t}{2}\hat{\sigma}^z\right]$ ，那么相互作用哈密顿量为

$\left.\tilde{V}=\frac{1}{2}(\Omega-\omega)\hat{\sigma}^{z}+g_{\phi}\hat{\sigma}^{+}+g_{\phi}^{*}\hat{\sigma}^{-}=\left[ \begin{array} {cc}\Delta/2 & g_{\phi} \\ g_{\phi}^{*} & -\Delta/2 \end{array}\right.\right]$

同样有薛定谔方程

$\left.i\partial_t\left[ \begin{array} {c}C_\mathbf{e} \\ C_\mathbf{g} \end{array}\right.\right]= \begin{bmatrix} \Delta/2 & g_\phi \\ g_\phi^* & -\Delta/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_\mathbf{e} \\ C_\mathbf{g} \end{bmatrix}$

解得

$|\tilde{\psi}_t\rangle=e^{-i\tilde{V}t} \begin{bmatrix} C_\mathbf{e} \\ C_\mathbf{g} \end{bmatrix}$

由于 $\tilde{V}^2=1$ ，满足公式 $e^{i\beta\hat{A}}=\cos\beta\cdot\mathbf{l}+i\sin\beta\cdot\hat{A}$ 的应用条件，我们就能将 $e$ 指数上的算符写成矩阵形式

$e^{-i\tilde{V}t}=\cos\tilde{g}_\Delta t\cdot\mathbf{l}-i\sin\tilde{g}_\Delta t\cdot\frac{\tilde{V}}{\tilde{g}_\Delta}$

其中 $\tilde{g}_\Delta=\sqrt{|g_\phi|^2+\frac{1}{4}\Delta^2}$ ，从初态为基态 $C_{\mathfrak{g}}(0)=1$ 开始演化，得到激发态概率为

$\begin{aligned} & C_{\mathbf{e}}(t)=-i\frac{g_{\phi}}{\tilde{g}_{\Delta}}\sin\tilde{g}_{\Delta}t \\[1em] & P_{\mathbf{e}}(t)=\frac{|g_{\phi}|^{2}}{|g_{\phi}|^{2}+\Delta^{2}/4}\sin^{2}\tilde{g}_{\Delta}t \end{aligned}$

当 $\Delta=0$ 时，退化为共振驱动的情况。当 $\Delta\gg|g_\phi|$ 时，激发态概率趋近于零，说明强非共振驱动下，原子基本不发生跃迁。共振和非共振驱动下的激发态概率曲线如下图所示：

我们对比没有旋波近似的数值解

可以看到旋波近似下的解析解和无旋波近似的数值解的区别是局部的快速振荡，耦合强度 $g$ 和 $\Omega+\omega$ 的比值越小（旋波近似的应用条件），小振荡越不明显。

可以看到，在某些时刻下，非共振驱动下粒子会完全处于激发态，若在这些时刻之后继续照射，则会继续振荡，我们通常将一个二能级状态用 $\text{Bloch}$ 球表示，北极为基态 $\ket{0}$ ，南极为激发态 $\ket{1}$ 。若将粒子从基态驱动到激发态，则由北极至南极旋转了 $\pi$ 度，称为 $\pi$ 脉冲，若将粒子从基态驱动到等概率叠加态 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} \pm \ket{1})$ ，则由北极至赤道旋转了 $\pi/2$ 度，称为 $\pi/2$ 脉冲。