光与原子相互作用的全量子理论

从经典力学的拉格朗日量出发

L=12mr˙2+∫(JμAμ+LEM)d3xL=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2+\int(J^\mu A_\mu+\mathscr{L}_{\mathrm{EM}})d^3x

在最小耦合下，得到哈密顿量为

H^=[p^−eA^(r^)]22m+eV(r^)+∫d3x[12ϵ0E^2(x)+12μ0B^2(x)]\hat{\mathcal{H}}=\frac{[\hat{\mathbf{p}}-e\hat{\mathbf{A}}(\hat{\mathbf{r}})]^2}{2m}+eV(\hat{\mathbf{r}})+\int d^3x\left[\frac{1}{2}\epsilon_0\hat{\mathbf{E}}^2(\mathbf{x})+\frac{1}{2\mu_0}\hat{\mathbf{B}}^2(\mathbf{x})\right]

相比准经典理论，场也被量子化了，得到的就是上式第三项。在 p⋅A\mathbf{p}\cdot\mathbf{A} 近似下和偶极近似下，哈密顿量为

≈p^22m+eV^(r^)−emp^⋅A^(r0)+e22mA^2+∫d3x H^EM\approx \frac { \hat { \mathbf { p } } ^ { 2 } } { 2 m } + e \hat { V } ( \hat { \mathbf { r } } ) - \frac { e } { m } \hat { \mathbf { p } } \cdot \hat { \mathbf { A } } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) + \frac { e ^ { 2 } } { 2 m } \hat { \mathbf { A } } ^ { 2 } + \int d ^ { 3 } x \, \hat { \mathcal { H } } _ { \mathrm { E M } }

其中第一项是原子的哈密顿量，第二项是原子-场相互作用项，第三项是场的哈密顿量。和准经典情况类似，通过规范变换，可以得到 r⋅E\mathbf{r}\cdot\mathbf{E} 近似下的哈密顿量

H^=p^22m+eV^(r^)−er^⋅E^(r0)+∫d3x[12ϵ0E^2+12μ0B^2]\hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+e\hat{V}(\hat{\mathbf{r}})-e\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}_0)+\int d^3x[\frac{1}{2}\epsilon_0\hat{\mathbf{E}}^2+\frac{1}{2\mu_0}\hat{\mathbf{B}}^2]

区别在于相互作用项中，使用电偶极矩替换了 p^⋅A^\hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{A}}。第三项可以用粒子数算符代替，再将下两式代入上式

E^(x)=∑kςe^kζℏωk2ε0V[ia^kζ(t)eik⋅x−ia^kζ†(t)e−ik⋅x]er^=∑℘⃗mn∣m⟩⟨n∣\begin{aligned} \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x}) & =\sum_{\mathbf{k}\varsigma}\hat{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}\zeta}\sqrt{\frac{\hbar\omega_{k}}{2\varepsilon_{0}V}}[i\hat{a}_{\mathbf{k}\zeta}(t)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}-i\hat{a}_{\mathbf{k}\zeta}^{\dagger}(t)e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}] \\[1em] e\hat{\mathbf{r}} & =\sum\vec{\wp}_{mn}|m\rangle\langle n| \end{aligned}

最后得到

H^=∑n=e,gεn∣n⟩⟨n∣+∑kςℏωka^kς†a^kς+(σ^++σ^−)∑kς(gkςa^kς+gkς∗a^kς†)\hat{\mathcal{H}}=\sum_{n=\mathrm{e},\mathrm{g}}\varepsilon_n|n\rangle\langle n|+\sum_{\mathbf{k}\varsigma}\hbar\omega_k\hat{a}_{\mathbf{k}\varsigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k}\varsigma}+(\hat{\sigma}^++\hat{\sigma}^-)\sum_{\mathbf{k}\varsigma}\left(g_{\mathbf{k}\varsigma}\hat{a}_{\mathbf{k}\varsigma}+g_{\mathbf{k}\varsigma}^*\hat{a}_{\mathbf{k}\varsigma}^\dagger\right)

其中 σ^+=∣e⟩⟨g∣=[σ^−]†gk,c=−i(℘⃗eg⋅e^k,c)ℏωk2ϵ0Veik⋅r0\hat{\sigma}^+=|\mathrm{e}\rangle\langle\mathrm{g}|=[\hat{\sigma}^-]^\dagger\quad g_{\mathbf{k},\mathbf{c}}=-i(\vec{\wp}_{\mathbf{e}\mathbf{g}}\cdot\hat{\mathrm{e}}_{\mathbf{k},\mathbf{c}})\sqrt{\frac{\hbar\omega_k}{2\epsilon_0V}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_0}

Jaynes-Cummings 模型

耦合能级变化

考虑极小腔内 (V∼λ3)\left(V\sim \lambda^3\right) 的单模场，哈密顿量简化为

H^Rabi=12Ωσ^z+ωa^†a^+gσ^x(a^+a^†)\hat{H}_\mathrm{Rabi}=\frac{1}{2}\Omega\hat{\sigma}^z+\omega\hat{a}^\dagger\hat{a}+g\hat{\sigma}^x(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)

在旋波近似下，哈密顿量为

H^JC=12Ωσ^z+ωa^†a^+g(σ^+a^+σ^−a^†)\hat{H}_{\mathrm{JC}}=\frac{1}{2}\Omega\hat{\sigma}^z+\omega\hat{a}^\dagger\hat{a}+g\left(\hat{\sigma}^+\hat{a}+\hat{\sigma}^-\hat{a}^\dagger\right)

其中 σ^+a\hat{\sigma}^+a 作用在 ∣g,n⟩\ket{\mathrm{g},n} 有 σ^+a^∣g,n⟩=n∣e,n−1⟩\hat{\sigma}^+\hat{a}|\mathrm{g},n\rangle=\sqrt{n}|\mathrm{e},n-1\rangle，表示原子吸收一个光子从基态跃迁到激发态；σ^−a†\hat{\sigma}^-a^\dagger 作用在 ∣e,n⟩\ket{\mathrm{e},n} 有 σ^−a^†∣e,n⟩=n+1∣g,n+1⟩\hat{\sigma}^-\hat{a}^\dagger|\mathrm{e},n\rangle=\sqrt{n+1}|\mathrm{g},n+1\rangle，表示原子受激发射一个光子从激发态跃迁到基态。

考虑一个力学量 N^:=∣e⟩⟨e∣+a^†a^\hat{N}:=|\mathsf{e}\rangle\langle\mathsf{e}|+\hat{a}^\dagger\hat{a}，由于其与哈密顿量对易 [N^,H^JC]=0[\hat{N},\hat{H}_{\mathrm{JC}}]=0，所以 N^\hat{N} 是守恒量，也就是说，系统中原子激发态的粒子数和光子数之和是守恒的。那么，系统的演化只会在 {∣g,n⟩,∣e,n−1⟩}\{|\mathsf{g},n\rangle,|\mathsf{e},n-1\rangle\} 子空间中进行，这组基称为裸基，哈密顿量对在该子空间的态的作用是封闭的

H^JC∣e,n⟩=[12Ω+nω]∣e,n⟩+gn+1∣g,n+1⟩H^JC∣g,n+1⟩=[−12Ω+(n+1)ω]∣g,n+1⟩+gn+1∣e,n⟩\begin{aligned} \hat{H}_{\mathrm{JC}}|\mathsf{e},n\rangle&=\left[\frac{1}{2}\Omega+n\omega\right]|\mathrm{e},n\rangle+\mathrm{g}\sqrt{n+1}|\mathrm{g},n+1\rangle \\[1em] \hat{H}_{\mathrm{JC}}|\mathfrak{g},n+1\rangle&=\left[-\frac{1}{2}\Omega+(n+1)\omega\right]|\mathrm{g},n+1\rangle+\mathrm{g}\sqrt{n+1}|\mathrm{e},n\rangle \end{aligned}

哈密顿量对应的矩阵为

H^(n)=[nω+12Ωgn+1gn+1(n+1)ω−12Ω]:=(n+12)ω1+[12Δgngn−12Δ]\left.\hat{H}^{(n)}=\left[ \begin{array} {cc}n\omega+\frac{1}{2}\Omega & g\sqrt{n+1} \\[1em] g\sqrt{n+1} & (n+1)\omega-\frac{1}{2}\Omega \end{array}\right.\right] :=(n+\frac{1}{2})\omega\mathbf{1}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\Delta & g_{n} \\[1em] g_{n} & -\frac{1}{2}\Delta \end{bmatrix}

求得哈密顿量本征值为

En,±=(n+12)ω±12ΔgΔg=Δ2+4g2(n+1)E_{n,\pm}=(n+\frac{1}{2})\omega\pm\frac{1}{2}\Delta_g\qquad\Delta_g=\sqrt{\Delta^2+4g^2(n+1)}

我们发现 Δg\Delta_g 对能量进行了修正，若是不存在相互作用 g=0g=0，则 Δg=∣Δ∣\Delta_g=|\Delta|，能量本征值退化为裸能级，对比有无相互作用的能级结构如下图所示：

耦合的能级变化

可以看出耦合增大了能级间距。再将视角转向本征态

∣n,+⟩=cos⁡βn∣e,n⟩+sin⁡βn∣g,n+1⟩∣n,−⟩=−sin⁡βn∣e,n⟩+cos⁡βn∣g,n+1⟩\begin{aligned} |n,+\rangle&=\cos\beta_{n}|\mathrm{e},n\rangle+\sin\beta_{n}|\mathrm{g},n+1\rangle \\[1em] |n,-\rangle&=-\sin\beta_{n}|\mathrm{e},n\rangle+\cos\beta_{n}|\mathrm{g},n+1\rangle \end{aligned}

其中 βn\beta_n 满足

tan⁡βn=Δg−Δ2gn+1:=Δg−Δ2gn\tan\beta_n=\frac{\Delta_g-\Delta}{2g\sqrt{n+1}}:=\frac{\Delta_g-\Delta}{2g_n}

再看看在共振驱动 Δ=0\Delta=0 下的现象，那么本征态和本征值为

∣n,+⟩=12(∣e,n⟩+∣g,n+1⟩)∣n,−⟩=12(−∣e,n⟩+∣g,n+1⟩)En,±=(n+12)ω±gn+1\begin{aligned} & |n,+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\mathrm{e},n\rangle+|\mathrm{g},n+1\rangle\right) \\[1em] & |n,-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-|\mathrm{e},n\rangle+|\mathrm{g},n+1\rangle\right) \\[1em] & E_{n,\pm}=(n+\frac{1}{2})\omega\pm g\sqrt{n+1} \end{aligned}

拉比劈裂

拉比劈裂是 JC\text{JC} 模型的物理体现。考虑共振驱动下的一个腔，若是腔内没有原子，那么不存在相互作用，两个能级 ∣e,0⟩\ket{e,0} 和 ∣g,1⟩\ket{g,1} 简并；若是腔内有一个原子，那么两个能级发生劈裂，能级间距为 2g2g，坠饰态下的两个本征能级如下图所示

E0,−=12ω−0E0,+=12ω+0E0,−=12ω−gE0,+=12ω+gE_{0,-}=\frac{1}{2}\omega- 0 \qquad E_{0,+}=\frac{1}{2}\omega+ 0 \\[1em] E_{0,-}=\frac{1}{2}\omega- g \qquad E_{0,+}=\frac{1}{2}\omega+ g

拉比劈裂光谱对比

其中，坠饰态态内对应的两个指标分别是总光子数和能级劈裂的方向，对应的输出光谱分别为

拉比劈裂输出光谱对比

右图中，两个峰的距离应满足强耦合条件 g≥κg\geq\kappa，其中 κ\kappa 是腔的耗散（线宽），否则两个峰会重合，无法分辨。

失谐情况下的拉比劈裂如下图所示

失谐情况下的拉比劈裂

当失谐量逐渐减小时，两个能级似乎要交叉但又没有交叉，称为免交叉点。

演化

Fock 态初态下的演化

子空间的哈密顿量为

H^(n)=(nω+12Ωgn+1gn+1(n+1)ω−12Ω)∣e,n⟩∣g,n+1⟩=(n+12)ω 1+(Δ/2gn+1gn+1−Δ/2)\begin{aligned} \hat H^{(n)} &= \begin{pmatrix} n\omega+\tfrac{1}{2}\Omega & g\sqrt{n+1}\\[1em] g\sqrt{n+1} & (n+1)\omega-\tfrac{1}{2}\Omega \end{pmatrix} \qquad\qquad\qquad \begin{array}{l} |\mathrm{e},n\rangle\\[1em] |\mathrm{g},n+1\rangle \end{array} \\[1em] &= \left(n+\tfrac12\right)\omega\,\mathbf{1} + \begin{pmatrix} \Delta/2 & g\sqrt{n+1}\\[1em] g\sqrt{n+1} & -\Delta/2 \end{pmatrix} \end{aligned}

第一项为 H0H_0，第二项为 V~(n)\tilde{V}^{(n)}。在相互作用图像下，演化算符为

e−iH^(n)t=e−i(n+12)ωt[cos⁡gΔ(n)t⋅l−isin⁡gΔ(n)t⋅V^(n)gΔ(n)]e^{-i\hat{H}^{(n)}t}=e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}\left[\cos g_{\Delta}^{(n)}t\cdot\mathbf{l}-i\sin g_{\Delta}^{(n)}t\cdot\frac{\hat{V}^{(n)}}{g_{\Delta}^{(n)}}\right]

其中 gΔ(n):=g2(n+1)+14Δ2g_\Delta^{(n)}:=\sqrt{g^2(n+1)+\frac{1}{4}\Delta^2}，作用在初态 ∣Ψ(0)⟩=∣g,n⟩|\Psi(0)\rangle=|\mathrm{g},n\rangle 上，得到

∣Ψt⟩=e−iH^t∣g,n⟩=e−iH^(n−1)t[01]=e−i(n−12)ωt[(cos⁡gΔ(n−1)t+iΔ2gΔ(n−1)sin⁡gΔ(n−1)t)∣g,n⟩−igngΔ(n−1)sin⁡gΔ(n−1)t∣e,n−1⟩]\begin{aligned} & |\Psi_{t}\rangle=e^{-i\hat{H}t}|\mathrm{g,}n\rangle=e^{-i\hat{H}^{(n-1)}t} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix} \\[1em] & =e^{-i(n-\frac{1}{2})\omega t}\left[\left(\cos g_{\Delta}^{(n-1)}t+\frac{i\Delta}{2g_{\Delta}^{(n-1)}}\sin g_{\Delta}^{(n-1)}t\right)|g,n\rangle-\frac{ig\sqrt{n}}{g_{\Delta}^{(n-1)}}\sin g_{\Delta}^{(n-1)}t|e,n-1\rangle\right] \end{aligned}

那么原子处于激发态的概率为

Pe(t)=g2ng2n+14Δ2sin⁡2(ng2t+14Δ2⋅t)P_\mathrm{e}(t)=\frac{g^2n}{g^2n+\frac{1}{4}\Delta^2}\sin^2\left(\sqrt{ng^2t+\frac{1}{4}\Delta^2}\cdot t\right)

和拉比振荡一样，也是一个振荡的形式。

相干态初态下的演化

考虑初态为 ∣Ψ0⟩=∣g⟩⊗∣α⟩=e−12∣α∣2∑αnn!∣g,n⟩|\Psi_0\rangle=|\mathfrak{g}\rangle\otimes|\alpha\rangle=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}\sum\frac{\alpha^n}{n!}|\mathfrak{g},n\rangle，在演化算符的作用下得到

∣Ψt⟩=Cg,0eiΩt2∣g,0⟩+∑Ce(n)(t)∣e,n⟩+Cg(n)(t)∣g,n+1⟩|\Psi_t\rangle=C_{\mathrm{g},0}e^{i\frac{\Omega t}{2}}|\mathrm{g},0\rangle+\sum C_{\mathrm{e}}^{(n)}(t)|\mathrm{e},n\rangle+C_{\mathrm{g}}^{(n)}(t)|\mathrm{g},n+1\rangle

其中 Ce(n)(t)C_\mathbf{e}^{(n)}(t) 为 Ce(n)(0)C_\mathbf{e}^{(n)}(0) 的时间演化： Ce(n)(t)=Ce(n)(0)⋅e−i(n+12)ωt[−ign+1gΔ(n)sin⁡gΔ(n)t]C_\mathbf{e}^{(n)}(t)=C_\mathbf{e}^{(n)}(0)\cdot e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}[-\frac{ig\sqrt{n+1}}{g_\Delta^{(n)}}\sin g_\Delta^{(n)}t]，原子处于激发态的概率为

Pe=∑∣Ce(n)(t)∣2=∑e−NˉNˉnn!⋅4g2(n+1)4g2(n+1)+Δ2sin⁡2gΔ(n)tP_\mathbf{e}=\sum\left|C_\mathbf{e}^{(n)}(t)\right|^2=\sum e^{-\bar{N}}\frac{\bar{N}^n}{n!}\cdot\frac{4g^2(n+1)}{4g^2(n+1)+\Delta^2}\sin^2g_\Delta^{(n)}t

相干态在非共振驱动下的激发态概率曲线如下图所示

相干态非共振激发态概率

先有一个波包，然后振荡迅速减小，接着又有波包出现，称为坍缩与复现现象。

色散耦合

大失谐下的 JC 模型

光与原子相互作用的本征能量为

En,±=(n+12)ω±12Δ2+4g2(n+1)E_{n,\pm}=(n+\frac{1}{2})\omega\pm\frac{1}{2}\sqrt{\Delta^2+4g^2(n+1)}

在失谐很大时，能量交换的效率很低，考虑 ∣Δ∣≫∣g∣|\Delta|\gg|g| 的情况，泰勒展开下的能量本征值近似为

En,±≃(n+12)ω±12[Δ+2g2Δ(n+1)]E_{n,\pm}\simeq(n+\frac{1}{2})\omega\pm\frac{1}{2}[\Delta+\frac{2g^2}{\Delta}(n+1)]

根据 Δg=Δ2+4g2(n+1)\Delta_g=\sqrt{\Delta^2+4g^2(n+1)}，此时有

tan⁡βn=Δg−Δ2gn+1:=Δg−Δ2gn≃0\tan\beta_n=\frac{\Delta_g-\Delta}{2g\sqrt{n+1}}:=\frac{\Delta_g-\Delta}{2g_n}\simeq0

那么本征态近似为裸能级

∣n,+⟩≃∣e,n⟩∣n,−⟩≃∣g,n+1⟩\begin{aligned} & |n,+\rangle\simeq|\mathrm{e},n\rangle \\[1em] & |n,-\rangle\simeq|\mathrm{g},n+1\rangle \end{aligned}

在大失谐情形下，JC\text{JC} 模型的哈密顿量近似为

H^JC≃Ω2σ^z+ωa^†a^+g2Δ[(a^†a^+12)σ^z+12]\hat{H}_{\mathrm{JC}}\simeq\frac{\Omega}{2}\hat{\sigma}^z+\omega\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{g^2}{\Delta}\left[(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2})\hat{\sigma}^z+\frac{1}{2}\right]

相当于相互作用项变为能量的修正项，这个修正项只能移动原子能级，且不发生跃迁，也就只会移动光场的共振频率，不改变光场的能量，本征态就像色散一样只有相位的变化，称为色散耦合。

猫态的制备

色散耦合可用于制备猫态。由于基态和激发态以及相干态比较容易制备，考虑初态为 ∣Ψ0⟩=12(∣e⟩+∣g⟩)⊗∣α⟩|\Psi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\mathsf{e}\rangle+|\mathsf{g}\rangle\right)\otimes|\alpha\rangle，在色散耦合哈密顿量下的演化为

∣Ψt⟩=e−∣α∣2/22∑nαnn![e−i(nω+ng+Ω2)t∣e,n⟩+e−i(nω−ng−Ω2)t∣g,n⟩]=12[e−iΩ2t∣e⟩⊗∣αe−i(ω+g)t⟩+eiΩ2t∣g⟩⊗∣αe−i(ω−g)t⟩]≡12(∣e⟩∣ατ⟩+∣g⟩∣−ατ⟩)\begin{aligned} \left|\Psi_{t}\right\rangle & =\frac{e^{-|\alpha|^2/2}}{\sqrt{2}}\sum_n\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}[e^{-i(n\omega+ng+\frac{\Omega}{2})t}|\mathrm{e},n\rangle+e^{-i(n\omega-ng-\frac{\Omega}{2})t}|\mathrm{g},n\rangle] \\[1em] & =\frac{1}{\sqrt{2}}[e^{-i\frac{\Omega}{2}t}|\mathrm{e}\rangle\otimes|\alpha e^{-i(\omega+g)t}\rangle+e^{i\frac{\Omega}{2}t}|\mathrm{g}\rangle\otimes|\alpha e^{-i(\omega-g)t}\rangle] \\[1em] & \equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\mathrm{e}\rangle|\alpha_\tau\rangle+|\mathrm{g}\rangle|-\alpha_\tau\rangle\right) \end{aligned}

在 π/2\pi/2 脉冲作用后，得到

∣e⟩∣g⟩→(∣e⟩+∣g⟩)/2(∣e⟩−∣g⟩)/2\begin{array} {c}|\mathrm{e}\rangle \\[1em] |\mathrm{g}\rangle \end{array}\to \begin{array} {c}\left(|\mathrm{e}\rangle+|\mathrm{g}\rangle\right)/\sqrt{2} \\[1em] \left(|\mathrm{e}\rangle-|\mathrm{g}\rangle\right)/\sqrt{2} \end{array}

那么经整理后的量子态变为

∣Ψ′⟩=12∣e⟩⊗(∣ατ⟩+∣−ατ⟩)+12∣g⟩⊗(∣ατ⟩−∣−ατ⟩)|\Psi^{\prime}\rangle=\frac{1}{2}|\mathrm{e}\rangle\otimes\left(|\alpha_\tau\rangle+|-\alpha_\tau\rangle\right)+\frac{1}{2}|\mathrm{g}\rangle\otimes\left(|\alpha_\tau\rangle-|-\alpha_\tau\rangle\right)