密度矩阵
如果一个量子系综以概率 p i p_i p i ∣ ψ i ⟩ |\psi_i\rangle ∣ ψ i ⟩
ρ = ∑ i p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ , ∑ i p i = 1 , p i ≥ 0 \rho=\sum_ip_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|,\quad\sum_ip_i=1,\quad p_i\geq0
ρ = i ∑ p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ , i ∑ p i = 1 , p i ≥ 0
密度矩阵由经典概率相加，而不是以概率幅叠加。如果一个系统处于态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho=|\psi\rangle\langle\psi| ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣
纯态的混态的区别是，纯态密度矩阵只有一个本征值为 1，且有 ρ 2 = ρ ，Tr ( ρ 2 ) = 1 \rho^2=\rho，\text{Tr}(\rho^2)=1 ρ 2 = ρ ， Tr ( ρ 2 ) = 1 ρ 2 ≠ ρ ，Tr ( ρ 2 ) < 1 \rho^2\neq\rho，\text{Tr}(\rho^2)<1 ρ 2 = ρ ， Tr ( ρ 2 ) < 1 Tr ( ρ 2 ) \text{Tr}(\rho^2) Tr ( ρ 2 )
可分离态和纠缠态
对于纯态
态矢 ：如果 ψ A ∈ H A \psi_A \in \mathcal{H}_A ψ A ∈ H A ψ B ∈ H B \psi_B \in \mathcal{H}_B ψ B ∈ H B ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ A ⟩ ⊗ ∣ ψ B ⟩ \ket{\psi}=\ket{\psi_A}\otimes\ket{\psi_B} ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ A ⟩ ⊗ ∣ ψ B ⟩ ∣ ψ ⟩ ∈ H A ⊗ H B \ket{\psi}\in \mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B ∣ ψ ⟩ ∈ H A ⊗ H B
密度矩阵 ：如果有 ψ A ∈ H A \psi_A \in \mathcal{H}_A ψ A ∈ H A ψ B ∈ H B \psi_B \in \mathcal{H}_B ψ B ∈ H B ρ A B = ρ A ⊗ ρ B = ∣ ψ A ⟩ ⟨ ψ A ∣ ⊗ ∣ ψ B ⟩ ⟨ ψ B ∣ \rho_{AB}=\rho_A\otimes\rho_B=\ket{\psi_A}\bra{\psi_A}\otimes\ket{\psi_B}\bra{\psi_B} ρ A B = ρ A ⊗ ρ B = ∣ ψ A ⟩ ⟨ ψ A ∣ ⊗ ∣ ψ B ⟩ ⟨ ψ B ∣ ρ A B ∈ H A ⊗ H B \rho_{AB}\in \mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B ρ A B ∈ H A ⊗ H B
推广到多体复合系统 H = H 1 ⊗ H 2 ⊗ ⋯ ⊗ H n \mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_n H = H 1 ⊗ H 2 ⊗ ⋯ ⊗ H n ψ i ∈ H i ， i = 1 , 2 , ⋯ , n \psi_i \in \mathcal{H}_i，i=1,2,\cdots,n ψ i ∈ H i ， i = 1 , 2 , ⋯ , n ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ 1 ⟩ ⊗ ∣ ψ 2 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ ψ n ⟩ \ket{\psi}=\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes \cdots \otimes \ket{\psi_n} ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ 1 ⟩ ⊗ ∣ ψ 2 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ ψ n ⟩ ρ = ρ 1 ⊗ ρ 2 ⊗ ⋯ ⊗ ρ n \rho=\rho_1\otimes\rho_2\otimes \cdots \otimes \rho_n ρ = ρ 1 ⊗ ρ 2 ⊗ ⋯ ⊗ ρ n
我们可以看出这种分类方式存在问题，这是通过排除法的方式定义纠缠态，我们找不到一种写成可分离态的方式并不意味着没有这种方式，因此我们需要一种确定的、可计算的判据，但是目前还没有一种通用的判据。
对于混态
混态无法用态矢描述，只能用密度矩阵描述。对于两体混态 ρ A B ∈ H A ⊗ H B \rho_{AB}\in \mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B ρ A B ∈ H A ⊗ H B ∣ ψ i A ⟩ ∈ H A |\psi_{i}^{A}\rangle\in\mathcal{H}_{A} ∣ ψ i A ⟩ ∈ H A ∣ ψ i B ⟩ ∈ H B , p i ≥ 0 , ∑ i p i = 1 |\psi_{i}^{B}\rangle\in\mathcal{H}_{B},p_{i}\geq0,\sum_{i}p_{i}=1 ∣ ψ i B ⟩ ∈ H B , p i ≥ 0 , ∑ i p i = 1
ρ A B = ∑ i p i ρ i A ⊗ ρ i B = ∑ i p i ∣ ψ i A ⟩ ⟨ ψ i A ∣ ⊗ ∣ ψ i B ⟩ ⟨ ψ i B ∣ \rho_{AB}=\sum_{i}p_{i}\rho_{i}^{A}\otimes\rho_{i}^{B}=\sum_{i}p_{i}|\psi_{i}^{A}\rangle\langle\psi_{i}^{A}|\otimes|\psi_{i}^{B}\rangle\langle\psi_{i}^{B}|
ρ A B = i ∑ p i ρ i A ⊗ ρ i B = i ∑ p i ∣ ψ i A ⟩ ⟨ ψ i A ∣ ⊗ ∣ ψ i B ⟩ ⟨ ψ i B ∣
那么称该混态为可分离态，否则为纠缠态。推广到多体情况，若是存在 ∣ ψ i α ⟩ ∈ H α , α = 1 , 2 , ⋯ , n , p i ≥ 0 , ∑ i p i = 1 |\psi_{i}^{\alpha}\rangle\in\mathcal{H}_{\alpha},\alpha=1,2,\cdots,n,\quad p_{i}\geq0,\sum_{i}p_{i}=1 ∣ ψ i α ⟩ ∈ H α , α = 1 , 2 , ⋯ , n , p i ≥ 0 , ∑ i p i = 1
ρ = ∑ i p i ρ i 1 ⊗ ρ i 2 ⊗ ⋯ ⊗ ρ i n = ∑ i p i ∣ ψ i 1 ⟩ ⟨ ψ i 1 ∣ ⊗ ∣ ψ i 2 ⟩ ⟨ ψ i 2 ∣ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ ψ i n ⟩ ⟨ ψ i n ∣ \rho=\sum_ip_i\rho_i^1\otimes\rho_i^2\otimes\cdots\otimes\rho_i^n=\sum_ip_i|\psi_i^1\rangle\langle\psi_i^1|\otimes|\psi_i^2\rangle\langle\psi_i^2|\otimes\cdots\otimes|\psi_i^n\rangle\langle\psi_i^n|
ρ = i ∑ p i ρ i 1 ⊗ ρ i 2 ⊗ ⋯ ⊗ ρ i n = i ∑ p i ∣ ψ i 1 ⟩ ⟨ ψ i 1 ∣ ⊗ ∣ ψ i 2 ⟩ ⟨ ψ i 2 ∣ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ ψ i n ⟩ ⟨ ψ i n ∣
那么称该混态为可分离态，否则为纠缠态。也就是说，可分离态的求和项中的每一项的左矢或右矢都得是可分离态。
EPR 佯谬
EPR 佯谬
EPR \text{EPR} EPR
实在性：如果一个物理量具有不受任何扰动就可确定的值，那么这个值具有物理实在性，与观测无关。
完备性：每一个物理实在都在可被理论描述。
局域性：如果两个系统的因果不相联，则对其中一个系统进行测量所得的结果，不会影响对第二个系统进行测量所得的结果。
爱因斯坦假设量子力学有两种错误情况：
量子力学波函数描述是不完备的
两个不对易的物理量不能同时具有物理实在性。（实际上是假设量子力学不满足局域性要求）
贝尔不等式构造了一个完备的局域的理论（隐变量理论），且每一项都可以通过实验验证，从而验证量子力学是否满足 EPR \text{EPR} EPR
设在 A A A B B B t 1 t_1 t 1 t 2 t_2 t 2 A A A B B B ( x 1 − x 2 ) 2 ≫ c 2 ( t 1 − t 2 ) 2 (x_1-x_2)^2\gg c^2(t_1-t_2)^2 ( x 1 − x 2 ) 2 ≫ c 2 ( t 1 − t 2 ) 2 A B AB A B
隐变量理论
解决上述矛盾的方案有两种：（1）放弃实在性和局域性：由于无法通过量子力学精确预测不对易算符的值，爱因斯坦认为量子力学是不完备的；（2）隐变量理论：测量实际上是一个确定性过程，其之所以表现出概率性，只是因为某些自由度（隐变量）未被精确知晓。而隐变量理论根据实在性和完备性的要求，假设存在一些隐变量 λ \lambda λ
也就是说，x x x p p p
在 EPR \text{EPR} EPR σ x \sigma_x σ x σ z \sigma_z σ z σ z \sigma_z σ z σ x \sigma_x σ x
p 1 = 0.25 , ( z + , x + ) 1 ↔ ( z − , x − ) 2 p 2 = 0.25 , ( z + , x − ) 1 ↔ ( z − , x + ) 2 p 3 = 0.25 , ( z − , x + ) 1 ↔ ( z + , x − ) 2 p 4 = 0.25 , ( z − , x − ) 1 ↔ ( z + , x + ) 2 p_{1}=0.25,\qquad(z+,x+)_{1}\leftrightarrow(z-,x-)_{2}\\[1em]
p_{2}=0.25,\qquad(z+,x-)_{1}\leftrightarrow(z-,x+)_{2}\\[1em]
p_{3}=0.25,\qquad(z-,x+)_{1}\leftrightarrow(z+,x-)_{2}\\[1em]
p_{4}=0.25,\qquad(z-,x-)_{1}\leftrightarrow(z+,x+)_{2}\\[1em] p 1 = 0.25 , ( z + , x + ) 1 ↔ ( z − , x − ) 2 p 2 = 0.25 , ( z + , x − ) 1 ↔ ( z − , x + ) 2 p 3 = 0.25 , ( z − , x + ) 1 ↔ ( z + , x − ) 2 p 4 = 0.25 , ( z − , x − ) 1 ↔ ( z + , x + ) 2
在这个实验下的隐变量理论，和量子力学对实验的解释是一致的。
贝尔不等式
自旋的贝尔不等式
两个方向的隐变量理论和量子力学没有区别，于是贝尔引入了第三个方向，若 p i ≥ 0 , ∑ i p i = 1 p_i\geq0,\sum_ip_i=1 p i ≥ 0 , ∑ i p i = 1
概率
粒子1
粒子2
p 1 p_1 p 1 ( a ⃗ + , b ⃗ + , c ⃗ + ) (\vec{a}+,\vec{b}+,\vec{c}+) ( a + , b + , c + ) ( a ⃗ − , b ⃗ − , c ⃗ − ) (\vec{a}-,\vec{b}-,\vec{c}-) ( a − , b − , c − )
p 2 p_2 p 2 ( a ⃗ + , b ⃗ + , c ⃗ − ) (\vec{a}+,\vec{b}+,\vec{c}-) ( a + , b + , c − ) ( a ⃗ − , b ⃗ − , c ⃗ + ) (\vec{a}-,\vec{b}-, \vec{c}+) ( a − , b − , c + )
p 3 p_3 p 3 ( a ⃗ + , b ⃗ − , c ⃗ + ) (\vec{a}+,\vec{b}-,\vec{c}+) ( a + , b − , c + ) ( a ⃗ − , b ⃗ + , c ⃗ − ) (\vec{a}-,\vec{b}+, \vec{c}-) ( a − , b + , c − )
p 4 p_4 p 4 ( a ⃗ + , b ⃗ − , c ⃗ − ) (\vec{a}+,\vec{b}-,\vec{c}-) ( a + , b − , c − ) ( a ⃗ − , b ⃗ + , c ⃗ + ) (\vec{a}-,\vec{b}+, \vec{c}+) ( a − , b + , c + )
p 5 p_5 p 5 ( a ⃗ − , b ⃗ + , c ⃗ + ) (\vec{a}-,\vec{b}+, \vec{c}+) ( a − , b + , c + ) ( a ⃗ + , b ⃗ − , c ⃗ − ) (\vec{a}+, \vec{b}-, \vec{c}-) ( a + , b − , c − )
p 6 p_6 p 6 ( a ⃗ − , b ⃗ + , c ⃗ − ) (\vec{a}-,\vec{b}+, \vec{c}-) ( a − , b + , c − ) ( a ⃗ + , b ⃗ − , c ⃗ + ) (\vec{a}+, \vec{b}-, \vec{c}+) ( a + , b − , c + )
p 7 p_7 p 7 ( a ⃗ − , b ⃗ − , c ⃗ + ) (\vec{a}-,\vec{b}-, \vec{c}+) ( a − , b − , c + ) ( a ⃗ + , b ⃗ + , c ⃗ − ) (\vec{a}+, \vec{b}+, \vec{c}-) ( a + , b + , c − )
p 8 p_8 p 8 ( a ⃗ − , b ⃗ − , c ⃗ − ) (\vec{a}-,\vec{b}-, \vec{c}-) ( a − , b − , c − ) ( a ⃗ + , b ⃗ + , c ⃗ + ) (\vec{a}+, \vec{b}+, \vec{c}+) ( a + , b + , c + )
其中有
p [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] = p 3 + p 4 p [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( c ⃗ + ) 2 ] = p 2 + p 4 p [ ( c ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] = p 3 + p 7 \begin{array}
{rcl}p[(\vec{a}+)_1;(\vec{b}+)_2] & = & p_3+p_4 \\[1em]
p[(\vec{a}+)_1;(\vec{c}+)_2] & = & p_2+p_4 \\[1em]
p[(\vec{c}+)_1;(\vec{b}+)_2] & = & p_3+p_7
\end{array} p [( a + ) 1 ; ( b + ) 2 ] p [( a + ) 1 ; ( c + ) 2 ] p [( c + ) 1 ; ( b + ) 2 ] = = = p 3 + p 4 p 2 + p 4 p 3 + p 7
由于 p 3 + p 7 ≤ p 2 + p 3 + p 4 + p 7 p_3+p_7\leq p_2+p_3+p_4+p_7 p 3 + p 7 ≤ p 2 + p 3 + p 4 + p 7
p [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] ≤ p [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( c ⃗ + ) 2 ] + p [ ( c ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] p[(\vec{a}+)_{1};(\vec{b}+)_{2}]\leq p[(\vec{a}+)_{1};(\vec{c}+)_{2}]+p[(\vec{c}+)_{1};(\vec{b}+)_{2}]
p [( a + ) 1 ; ( b + ) 2 ] ≤ p [( a + ) 1 ; ( c + ) 2 ] + p [( c + ) 1 ; ( b + ) 2 ]
这就是著名的贝尔不等式，满足了局域性（无干扰）和实在性（可确定）要求，且每一项都可以通过实验测量得到。
对于一个自旋单态
∣ ψ ⟩ = 1 2 ( ∣ a ⃗ − ⟩ 1 ∣ a ⃗ + ⟩ 2 − ∣ a ⃗ + ⟩ 1 ∣ a ⃗ − ⟩ 2 ) |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\vec{a}-\rangle_{1}|\vec{a}+\rangle_{2}-|\vec{a}+\rangle_{1}|\vec{a}-\rangle_{2})
∣ ψ ⟩ = 2 1 ( ∣ a − ⟩ 1 ∣ a + ⟩ 2 − ∣ a + ⟩ 1 ∣ a − ⟩ 2 )
根据量子力学 ，在一对粒子上的联合测量给出
p Q [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] = ∣ ⟨ ( a ⃗ + ) 1 ∣ ⟨ ( b ⃗ + ) 2 ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 1 2 ∣ ⟨ ( b ⃗ + ) 2 ∣ ( a ⃗ − ) 2 ⟩ ∣ 2 = 1 2 sin 2 ( θ a b 2 ) p Q [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( c ⃗ + ) 2 ] = 1 2 sin 2 ( θ a c 2 ) , p Q [ ( c ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] = 1 2 sin 2 ( θ c b 2 ) p_Q[(\vec{a}+)_1;(\vec{b}+)_2]=|\langle(\vec{a}+)_1|\langle(\vec{b}+)_2|\psi\rangle|^2=\frac{1}{2}|\langle(\vec{b}+)_2|(\vec{a}-)_2\rangle|^2=\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{\theta_{ab}}{2}\right) \\[1em]
p_Q[(\vec{a}+)_1;(\vec{c}+)_2]=\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{\theta_{ac}}{2}\right),p_Q[(\vec{c}+)_1;(\vec{b}+)_2]=\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{\theta_{cb}}{2}\right) p Q [( a + ) 1 ; ( b + ) 2 ] = ∣ ⟨( a + ) 1 ∣ ⟨( b + ) 2 ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 2 1 ∣ ⟨( b + ) 2 ∣ ( a − ) 2 ⟩ ∣ 2 = 2 1 sin 2 ( 2 θ ab ) p Q [( a + ) 1 ; ( c + ) 2 ] = 2 1 sin 2 ( 2 θ a c ) , p Q [( c + ) 1 ; ( b + ) 2 ] = 2 1 sin 2 ( 2 θ c b )
根据隐变量原理 ，上述结果应该满足贝尔不等式
p Q [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] ≤ p Q [ ( a ⃗ + ) 1 ; ( c ⃗ + ) 2 ] + p Q [ ( c ⃗ + ) 1 ; ( b ⃗ + ) 2 ] ⟹ sin 2 ( θ a b 2 ) ≤ sin 2 ( θ a c 2 ) + sin 2 ( θ c b 2 ) p_{Q}[(\vec{a}+)_{1};(\vec{b}+)_{2}]\leq p_{Q}[(\vec{a}+)_{1};(\vec{c}+)_{2}]+p_{Q}[(\vec{c}+)_{1};(\vec{b}+)_{2}] \\[1em]
\Longrightarrow \qquad \sin^2\left(\frac{\theta_{ab}}{2}\right)\leq\sin^2\left(\frac{\theta_{ac}}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{\theta_{cb}}{2}\right) p Q [( a + ) 1 ; ( b + ) 2 ] ≤ p Q [( a + ) 1 ; ( c + ) 2 ] + p Q [( c + ) 1 ; ( b + ) 2 ] ⟹ sin 2 ( 2 θ ab ) ≤ sin 2 ( 2 θ a c ) + sin 2 ( 2 θ c b )
我们可以选择三个方向使得贝尔不等式被违反
θ a b = 2 θ , θ a c = θ c b = θ , 0 < θ < π 2 \theta_{ab}=2\theta,\theta_{ac}=\theta_{cb}=\theta,\quad0<\theta<\frac{\pi}{2}
θ ab = 2 θ , θ a c = θ c b = θ , 0 < θ < 2 π
这说明隐变量理论和量子力学是不兼容的，必有一个是错误的，实验结果也支持量子力学的非局域性。
可观测量的贝尔不等式
我们可以将贝尔不等值推广至所有的可观测量，观察他们的平均值。仍考虑一个自旋单态
∣ ψ ⟩ = 1 2 ( ∣ n ⃗ − ⟩ 1 ∣ n ⃗ + ⟩ 2 − ∣ n ⃗ + ⟩ 1 ∣ n ⃗ − ⟩ 2 ) |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\vec{n}-\rangle_1|\vec{n}+\rangle_2-|\vec{n}+\rangle_1|\vec{n}-\rangle_2)
∣ ψ ⟩ = 2 1 ( ∣ n − ⟩ 1 ∣ n + ⟩ 2 − ∣ n + ⟩ 1 ∣ n − ⟩ 2 )
定义 A ( a ⃗ ) ) A\left(\vec{a})\right) A ( a ) ) a ⃗ \vec{a} a B ( b ⃗ ) ) B\left(\vec{b})\right) B ( b ) ) b ⃗ \vec{b} b
A ( a ⃗ ) B ( b ⃗ ) ≡ [ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] ψ = ⟨ ψ ∣ ( σ ⃗ 1 ⋅ a ⃗ ) ⊗ ( σ ⃗ 2 ⋅ b ⃗ ) ∣ ψ ⟩ = − a ⃗ ⋅ b ⃗ A(\vec{a})B(\vec{b})\equiv[E(\vec{a},\vec{b})]_\psi=\langle\psi|(\vec{\sigma}_1\cdot\vec{a})\otimes(\vec{\sigma}_2\cdot\vec{b})|\psi\rangle=-\vec{a}\cdot\vec{b}
A ( a ) B ( b ) ≡ [ E ( a , b ) ] ψ = ⟨ ψ ∣ ( σ 1 ⋅ a ) ⊗ ( σ 2 ⋅ b ) ∣ ψ ⟩ = − a ⋅ b
当取 a ⃗ = b ⃗ \vec{a}=\vec{b} a = b [ E ( a ⃗ , a ⃗ ) ] ψ = − 1 [E(\vec{a},\vec{a})]_\psi=-1 [ E ( a , a ) ] ψ = − 1
如果隐变量理论和量子力学等价，我们可以设想存在隐变量 λ \lambda λ ρ ( λ ) \rho(\lambda) ρ ( λ ) ∫ Λ d λ ρ ( λ ) = 1 , ρ ( λ ) ≥ 0 \int_\Lambda d\lambda \rho(\lambda)=1,\rho\left(\lambda\right)\geq0 ∫ Λ d λ ρ ( λ ) = 1 , ρ ( λ ) ≥ 0 A A A B B B
[ A ( a ⃗ ) B ( b ⃗ ) ] ( λ ) = A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) [A(\vec{a})B(\vec{b})]\left(\lambda\right)=A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)
[ A ( a ) B ( b )] ( λ ) = A ( a , λ ) B ( b , λ )
隐变量理论的测量结果为
[ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] λ = ∫ Λ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) ρ ( λ ) d λ [E(\vec{a},\vec{b})]_\lambda=\int_\Lambda A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)\rho(\lambda)d\lambda
[ E ( a , b ) ] λ = ∫ Λ A ( a , λ ) B ( b , λ ) ρ ( λ ) d λ
其中 A ( a ⃗ , λ ) = ± 1 A(\vec{a},\lambda)=\pm1 A ( a , λ ) = ± 1 B ( b ⃗ , λ ) = ± 1 B(\vec{b},\lambda)=\pm1 B ( b , λ ) = ± 1 [ E ( a ⃗ , a ⃗ ) ] ψ = − 1 ⇒ A ( a ⃗ , λ ) = − B ( a ⃗ , λ ) [E(\vec{a},\vec{a})]_\psi=-1\Rightarrow A(\vec{a},\lambda)=-B(\vec{a},\lambda) [ E ( a , a ) ] ψ = − 1 ⇒ A ( a , λ ) = − B ( a , λ )
选择三个测量方向 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a},\vec{b},\vec{c} a , b , c
[ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] λ − [ E ( a ⃗ , c ⃗ ) ] λ = ∫ Λ [ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) − A ( a ⃗ , λ ) B ( c ⃗ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ [ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) − A ( a ⃗ , λ ) A 2 ( b ⃗ , λ ) B ( c ⃗ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ [ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) + A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) A ( b ⃗ , λ ) B ( c ⃗ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) [ 1 + A ( b ⃗ , λ ) B ( c ⃗ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ \begin{aligned}
[E(\vec{a},\vec{b})]_{\lambda}-[E(\vec{a},\vec{c})]_{\lambda} &={\int_{\Lambda}[A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)-A(\vec{a},\lambda)B(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda} \\
&=\int_{\Lambda}[A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)-A(\vec{a},\lambda)A^{2}(\vec{b},\lambda)B(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda \\
&=\int_{\Lambda}[A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)+A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)A(\vec{b},\lambda)B(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda \\
& =\int_{\Lambda}A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)[1+A(\vec{b},\lambda)B(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda
\end{aligned} [ E ( a , b ) ] λ − [ E ( a , c ) ] λ = ∫ Λ [ A ( a , λ ) B ( b , λ ) − A ( a , λ ) B ( c , λ )] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ [ A ( a , λ ) B ( b , λ ) − A ( a , λ ) A 2 ( b , λ ) B ( c , λ )] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ [ A ( a , λ ) B ( b , λ ) + A ( a , λ ) B ( b , λ ) A ( b , λ ) B ( c , λ )] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ A ( a , λ ) B ( b , λ ) [ 1 + A ( b , λ ) B ( c , λ )] ρ ( λ ) d λ
对两边同时取绝对值，得到一个缩放
∣ [ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] λ − [ E ( a ⃗ , c ⃗ ) ] λ ∣ ≤ ∫ Λ [ 1 + A ( b ⃗ , λ ) B ( c ⃗ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ = 1 + [ E ( b ⃗ , c ⃗ ) ] λ \begin{aligned}
|[E(\vec{a},\vec{b})]_\lambda-[E(\vec{a},\vec{c})]_\lambda|\leq\int_\Lambda[1+A(\vec{b},\lambda)B(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda=1+[E(\vec{b},\vec{c})]_\lambda
\end{aligned} ∣ [ E ( a , b ) ] λ − [ E ( a , c ) ] λ ∣ ≤ ∫ Λ [ 1 + A ( b , λ ) B ( c , λ )] ρ ( λ ) d λ = 1 + [ E ( b , c ) ] λ
如果隐变量理论是正确的，那么就有以下贝尔不等式
∣ [ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] λ − [ E ( a ⃗ , c ⃗ ) ] λ ∣ ≤ 1 + [ E ( b ⃗ , c ⃗ ) ] λ |[E(\vec{a},\vec{b})]_\lambda-[E(\vec{a},\vec{c})]_\lambda|\leq1+[E(\vec{b},\vec{c})]_\lambda
∣ [ E ( a , b ) ] λ − [ E ( a , c ) ] λ ∣ ≤ 1 + [ E ( b , c ) ] λ
量子力学在某些方向下会给出以下结果（a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ a ⃗ \vec{a} a c ⃗ \vec{c} c 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ b ⃗ \vec{b} b c ⃗ \vec{c} c 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
∣ [ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] ψ − [ E ( a ⃗ , c ⃗ ) ] ψ ∣ = ∣ − a ⃗ ⋅ b ⃗ + a ⃗ ⋅ c ⃗ ∣ = 1 1 + [ E ( b ⃗ , c ⃗ ) ] ψ = 1 2 \begin{array}
{rcl}|[E(\vec{a},\vec{b})]_{\psi}-[E(\vec{a},\vec{c})]_{\psi}| & = & |-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}|=1 \\[1em]
1+[E(\vec{b},\vec{c})]_{\psi} & = & \frac{1}{2}
\end{array} ∣ [ E ( a , b ) ] ψ − [ E ( a , c ) ] ψ ∣ 1 + [ E ( b , c ) ] ψ = = ∣ − a ⋅ b + a ⋅ c ∣ = 1 2 1
隐变量理论和量子力学的预测结果不一致，隐变量理论被实验否定。
我们介绍的隐变量理论只是很多隐变量理论中的一种，还有很多其他的隐变量理论，相应的贝尔不等式仍待探索。
贝尔不等式说明了量子关联的局域性限制
贝尔不等式给出了量子力学是否是一个局域性和实在性理论的实验判据。
CHSH 不等式
上述可观测量的贝尔不等式仍存在缺点：测量结果只会是 ± 1 \pm1 ± 1 100 % 100\% 100% + 1 , − 1 , 0 +1,-1,0 + 1 , − 1 , 0
A ( a ⃗ , λ ) = 0 , ± 1 , B ( b ⃗ , λ ) = 0 , ± 1 A(\vec{a},\lambda)=0,\pm1,B(\vec{b},\lambda)=0,\pm1
A ( a , λ ) = 0 , ± 1 , B ( b , λ ) = 0 , ± 1
相比贝尔不等式的推导，我们接下来需要用到四个测量方向 a ⃗ , a ⃗ ′ , b ⃗ , b ⃗ ′ \vec{a},\vec{a}',\vec{b},\vec{b}' a , a ′ , b , b ′
[ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] λ − [ E ( a ⃗ , b ⃗ ′ ) ] λ = ∫ Λ [ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) − A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ ′ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) [ 1 ± A ( a ⃗ ′ , λ ) B ( b ⃗ ′ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ − ∫ Λ A ( a ⃗ , λ ) B ( b ⃗ ′ , λ ) [ 1 ± A ( a ⃗ ′ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ \begin{aligned}
[E(\vec{a},\vec{b})]_{\lambda}-[E(\vec{a},\vec{b}^{\prime})]_{\lambda} & =\int_{\Lambda}[A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)-A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b}^{\prime},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda \\
& =\int_{\Lambda}A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)[1\pm A(\vec{a}^{\prime},\lambda)B(\vec{b}^{\prime},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda \\
&\quad -\int_{\Lambda}A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b}^{\prime},\lambda)[1\pm A(\vec{a}^{\prime},\lambda)B(\vec{b},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda
\end{aligned} [ E ( a , b ) ] λ − [ E ( a , b ′ ) ] λ = ∫ Λ [ A ( a , λ ) B ( b , λ ) − A ( a , λ ) B ( b ′ , λ )] ρ ( λ ) d λ = ∫ Λ A ( a , λ ) B ( b , λ ) [ 1 ± A ( a ′ , λ ) B ( b ′ , λ )] ρ ( λ ) d λ − ∫ Λ A ( a , λ ) B ( b ′ , λ ) [ 1 ± A ( a ′ , λ ) B ( b , λ )] ρ ( λ ) d λ
对两边同时取绝对值，得到一个缩放
∣ [ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] λ − [ E ( a ⃗ , b ⃗ ′ ) ] λ ∣ ≤ ∫ Λ [ 1 ± A ( a ⃗ ′ , λ ) B ( b ⃗ ′ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ + ∫ Λ [ 1 ± A ( a ⃗ ′ , λ ) B ( b ⃗ , λ ) ] ρ ( λ ) d λ = 2 ± ( [ E ( a ⃗ ′ , b ⃗ ′ ) ] λ + [ E ( a ⃗ ′ , b ⃗ ) ] λ ) \begin{aligned}
|[E(\vec{a},\vec{b})]_{\lambda}-[E(\vec{a},\vec{b}^{\prime})]_{\lambda}| & \leq\quad\int_{\Lambda}[1\pm A(\vec{a}^{\prime},\lambda)B(\vec{b}^{\prime},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda \\
& \qquad+\int_{\Lambda}[1\pm A(\vec{a}^{\prime},\lambda)B(\vec{b},\lambda)]\rho(\lambda)d\lambda \\
& =\quad2\pm([E(\vec{a}^{\prime},\vec{b}^{\prime})]_{\lambda}+[E(\vec{a}^{\prime},\vec{b})]_{\lambda})
\end{aligned} ∣ [ E ( a , b ) ] λ − [ E ( a , b ′ ) ] λ ∣ ≤ ∫ Λ [ 1 ± A ( a ′ , λ ) B ( b ′ , λ )] ρ ( λ ) d λ + ∫ Λ [ 1 ± A ( a ′ , λ ) B ( b , λ )] ρ ( λ ) d λ = 2 ± ([ E ( a ′ , b ′ ) ] λ + [ E ( a ′ , b ) ] λ )
最终得到一个不等式
− 2 ≤ [ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] λ − [ E ( a ⃗ , b ⃗ ′ ) ] λ + [ E ( a ⃗ ′ , b ⃗ ) ] λ + [ E ( a ⃗ ′ , b ⃗ ′ ) ] λ ≤ 2 -2\leq[E(\vec{a},\vec{b})]_{\lambda}-[E(\vec{a},\vec{b}^{\prime})]_{\lambda}+[E(\vec{a}^{\prime},\vec{b})]_{\lambda}+[E(\vec{a}^{\prime},\vec{b}^{\prime})]_{\lambda}\leq2
− 2 ≤ [ E ( a , b ) ] λ − [ E ( a , b ′ ) ] λ + [ E ( a ′ , b ) ] λ + [ E ( a ′ , b ′ ) ] λ ≤ 2
如果隐变量理论是正确的，以上不等式应该成立，称为 CHSH \text{CHSH} CHSH
在量子力学中，当探测效率总小于 1 1 1
[ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] ψ = − C a ⃗ ⋅ b ⃗ , 0 ≤ C ≤ 1 [E(\vec{a},\vec{b})]_\psi=-C\vec{a}\cdot\vec{b},0\leq C\leq1
[ E ( a , b ) ] ψ = − C a ⋅ b , 0 ≤ C ≤ 1
我们取 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ , a ⃗ ′ , b ⃗ ′ \vec{b},\vec{a}',\vec{b}' b , a ′ , b ′ 45 ∘ , 90 ∘ , 135 ∘ 45^\circ,90^\circ,135^\circ 4 5 ∘ , 9 0 ∘ , 13 5 ∘
[ E ( a ⃗ , b ⃗ ) ] ψ − [ E ( a ⃗ , b ⃗ ′ ) ] ψ + [ E ( a ⃗ ′ , b ⃗ ) ] ψ + [ E ( a ⃗ ′ , b ⃗ ′ ) ] ψ = ± 2 2 C [E(\vec{a},\vec{b})]_\psi-[E(\vec{a},\vec{b}^{\prime})]_\psi+[E(\vec{a}^{\prime},\vec{b})]_\psi+[E(\vec{a}^{\prime},\vec{b}^{\prime})]_\psi=\pm2\sqrt{2}C
[ E ( a , b ) ] ψ − [ E ( a , b ′ ) ] ψ + [ E ( a ′ , b ) ] ψ + [ E ( a ′ , b ′ ) ] ψ = ± 2 2 C
贝尔不等式仍然被违反，量子力学和隐变量理论存在矛盾，而实验结果支持量子力学的预测。
可分离态的判据
贝尔不等式不仅可用于检验局域性，还是经典关联和量子关联的判据：只有违反贝尔不等式的情况才是量子关联。
判定一个纯态是否为可分离态的充要条件是存在的。
两体纯态可分离的判据
施密特分解 ：如果 ∣ ψ ⟩ ∈ H A ⊗ H B |\psi\rangle\in\mathcal{H}_{A}\otimes\mathcal{H}_{B} ∣ ψ ⟩ ∈ H A ⊗ H B H A \mathcal{H}_{A} H A H B \mathcal{H}_{B} H B ∣ e i A ⟩ \ket{e^A_i} ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩ \ket{h^B_i} ∣ h i B ⟩
∣ ψ ⟩ = ∑ i λ i ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩ |\psi\rangle=\sum_i\lambda_i|e_i^A\rangle|h_i^B\rangle
∣ ψ ⟩ = i ∑ λ i ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩
其中 λ i ≥ 0 , ∑ i λ i 2 = 1 \lambda_i\geq0,\sum_i\lambda_i^2=1 λ i ≥ 0 , ∑ i λ i 2 = 1 ∣ e i A ⟩ \ket{e_i^A} ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩ \ket{h_i^B} ∣ h i B ⟩ λ i \lambda_i λ i λ i \lambda_i λ i
证明：设一个需要双重求和指标的一般态 ∣ ψ ⟩ = ∑ i j a i j ∣ e i A ⟩ ∣ f j B ⟩ |\psi\rangle=\sum_{ij}a_{ij}|e_i^A\rangle|f_j^B\rangle ∣ ψ ⟩ = ∑ ij a ij ∣ e i A ⟩ ∣ f j B ⟩
其中 ∣ e i A ⟩ |e_i^A\rangle ∣ e i A ⟩ ∣ f j B ⟩ |f_j^B\rangle ∣ f j B ⟩ H A \mathcal{H}_A H A H B \mathcal{H}_B H B ∣ e i A ⟩ \ket{e_i^A} ∣ e i A ⟩ H A \mathcal{H}_A H A
ρ A = T r B [ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ] = ∑ i λ i ′ ∣ e i A ⟩ ⟨ e i A ∣ \rho_A=\mathrm{Tr}_B[|\psi\rangle\langle\psi|]=\sum_i\lambda_i^{\prime}|e_i^A\rangle\langle e_i^A|
ρ A = Tr B [ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ] = i ∑ λ i ′ ∣ e i A ⟩ ⟨ e i A ∣
我们令
∣ f ~ i B ⟩ = ∑ j a i j ∣ f j B ⟩ ⇒ ∣ ψ ⟩ = ∑ i ∣ e i A ⟩ ∣ f ~ i B ⟩ |\tilde{f}_{i}^{B}\rangle=\sum_{j}a_{ij}|f_{j}^{B}\rangle\Rightarrow|\psi\rangle=\sum_{i}|e_{i}^{A}\rangle|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle
∣ f ~ i B ⟩ = j ∑ a ij ∣ f j B ⟩ ⇒ ∣ ψ ⟩ = i ∑ ∣ e i A ⟩ ∣ f ~ i B ⟩
那么系统 A A A
ρ A = T r B [ ∑ i j ∣ e i A ⟩ ∣ f ~ i B ⟩ ⟨ e j A ∣ ⟨ f ~ j B ∣ ] = ∑ i j ∣ e i A ⟩ ⟨ e j A ∣ T r B [ ∣ f ~ i B ⟩ ⟨ f ~ j B ∣ ] = ∑ i j ∣ e i A ⟩ ⟨ e j A ∣ ⟨ f ~ j B ∣ f ~ i B ⟩ \begin{aligned}
\rho_{A} & =\mathrm{Tr}_{B}[\sum_{ij}|e_{i}^{A}\rangle|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle\langle e_{j}^{A}|\langle\tilde{f}_{j}^{B}|]=\sum_{ij}|e_{i}^{A}\rangle\langle e_{j}^{A}|\mathrm{Tr}_{B}[|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle\langle\tilde{f}_{j}^{B}|] \\
& =\sum_{ij}|e_{i}^{A}\rangle\langle e_{j}^{A}|\langle\tilde{f}_{j}^{B}|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle
\end{aligned} ρ A = Tr B [ ij ∑ ∣ e i A ⟩ ∣ f ~ i B ⟩ ⟨ e j A ∣ ⟨ f ~ j B ∣ ] = ij ∑ ∣ e i A ⟩ ⟨ e j A ∣ Tr B [ ∣ f ~ i B ⟩ ⟨ f ~ j B ∣ ] = ij ∑ ∣ e i A ⟩ ⟨ e j A ∣ ⟨ f ~ j B ∣ f ~ i B ⟩
对比 ρ A = ∑ i λ i ′ ∣ e i A ⟩ ⟨ e i A ∣ \rho_A=\sum_i\lambda_i^{\prime}|e_i^A\rangle\langle e_i^A| ρ A = ∑ i λ i ′ ∣ e i A ⟩ ⟨ e i A ∣
⟨ f ~ j B ∣ f ~ i B ⟩ = δ i j λ i ′ \langle\tilde{f}_{j}^{B}|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle=\delta_{ij}\lambda_{i}^{\prime}
⟨ f ~ j B ∣ f ~ i B ⟩ = δ ij λ i ′
这意味着 ∣ f ~ i B ⟩ |\tilde{f}_{i}^{B}\rangle ∣ f ~ i B ⟩
∣ ψ ⟩ = ∑ i ∣ e i A ⟩ ∣ f ~ i B ⟩ = ∑ i λ i ′ ∣ e i A ⟩ ∣ f ~ i B ⟩ λ i ′ ≡ ∑ i λ i ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩ \begin{aligned}
|\psi\rangle & =\sum_{i}|e_{i}^{A}\rangle|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle=\sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}^{\prime}}|e_{i}^{A}\rangle\frac{|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle}{\sqrt{\lambda_{i}^{\prime}}} \\
& \equiv\sum_{i}\lambda_{i}|e_{i}^{A}\rangle|h_{i}^{B}\rangle
\end{aligned} ∣ ψ ⟩ = i ∑ ∣ e i A ⟩ ∣ f ~ i B ⟩ = i ∑ λ i ′ ∣ e i A ⟩ λ i ′ ∣ f ~ i B ⟩ ≡ i ∑ λ i ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩
其中 λ i = λ i ′ \lambda_{i}=\sqrt{\lambda_{i}^{\prime}} λ i = λ i ′ ∣ h i B ⟩ = ∣ f ~ i B ⟩ / λ i ′ |h_{i}^{B}\rangle=|\tilde{f}_{i}^{B}\rangle/\sqrt{\lambda_{i}^{\prime}} ∣ h i B ⟩ = ∣ f ~ i B ⟩ / λ i ′ H B \mathcal{H}_{B} H B
也就是先将其中一个约化密度矩阵对角化并得到本征值 λ ′ \lambda' λ ′ λ ′ \lambda' λ ′
实际上。无论是对 ρ A \rho_A ρ A ρ B \rho_B ρ B ∣ e i A ⟩ |e_i^A\rangle ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩ |h_i^B\rangle ∣ h i B ⟩ ρ A \rho_A ρ A ρ B \rho_B ρ B λ i 2 \lambda_i^2 λ i 2
ρ A = T r B [ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ] = ∑ i λ i 2 ∣ e i A ⟩ ⟨ e i A ∣ ρ B = T r A [ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ] = ∑ i λ i 2 ∣ h i B ⟩ ⟨ h i B ∣ \rho_{A}=\mathrm{Tr}_{B}[|\psi\rangle\langle\psi|]=\sum_{i}\lambda_{i}^{2}|e_{i}^{A}\rangle\langle e_{i}^{A}|\\[1em]
\rho_{B}=\mathrm{Tr}_{A}[|\psi\rangle\langle\psi|]=\sum_{i}\lambda_{i}^{2}|h_{i}^{B}\rangle\langle h_{i}^{B}| ρ A = Tr B [ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ] = i ∑ λ i 2 ∣ e i A ⟩ ⟨ e i A ∣ ρ B = Tr A [ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ] = i ∑ λ i 2 ∣ h i B ⟩ ⟨ h i B ∣
这样就可以相同的 λ i \lambda_i λ i ∣ ψ ⟩ = ∑ i λ i ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩ |\psi\rangle=\sum_{i}\lambda_{i}|e_{i}^{A}\rangle|h_{i}^{B}\rangle ∣ ψ ⟩ = ∑ i λ i ∣ e i A ⟩ ∣ h i B ⟩
两体纯态可分离的判据（充要条件） ：如果两体纯态 ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩ 1 1 1 ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩ 1 1 1 ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩
施密特分解只对两体问题有效，超过两个系统，简单的施密特分解不成立。
纯态密度矩阵可分离的判据
我们可以将上述态的可分离判据推广至密度矩阵
如果 ρ ∈ H A ⊗ H B \rho\in\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B ρ ∈ H A ⊗ H B ρ = ρ A ⊗ ρ B \rho=\rho_A \otimes \rho_B ρ = ρ A ⊗ ρ B ρ \rho ρ
上述结论可以推广至多体纯态密度矩阵：如果 ρ ∈ H 1 ⊗ H 2 ⊗ ⋯ ⊗ H n \rho\in\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_n ρ ∈ H 1 ⊗ H 2 ⊗ ⋯ ⊗ H n ρ = ρ 1 ⊗ ρ 2 ⊗ ⋯ ⊗ ρ n \rho=\rho_1\otimes\rho_2\otimes\cdots\otimes\rho_n ρ = ρ 1 ⊗ ρ 2 ⊗ ⋯ ⊗ ρ n ρ \rho ρ ρ i \rho_i ρ i i i i ρ 1 = T r 2 , 3 , ⋯ , n [ ρ ] , ρ 2 = T r 1 , 3 , ⋯ , n [ ρ ] \rho_{1}=\mathrm{Tr}_{2,3,\cdots,n}[\rho],\rho_{2}=\mathrm{Tr}_{1,3,\cdots,n}[\rho] ρ 1 = Tr 2 , 3 , ⋯ , n [ ρ ] , ρ 2 = Tr 1 , 3 , ⋯ , n [ ρ ]
混态是否可分的判据远比纯态复杂得多，目前还没有一种通用的、可计算的判据。
纠缠的度量
在自然界中，纠缠态才是普遍的状态，可分离态是一个重要的特例。设 S S S R R R E : S → R E:S\rightarrow R E : S → R E E E
E E E 0 0 0 1 1 1 对于一个局域幺正操作，E E E E ( ρ ) = E ( U 1 ⊗ U 2 ρ U 1 † ⊗ U 2 † ) E(\rho)=E\left(U_{1}\otimes U_{2}\rho U_{1}^{\dagger}\otimes U_{2}^{\dagger}\right) E ( ρ ) = E ( U 1 ⊗ U 2 ρ U 1 † ⊗ U 2 † )
对于局域测量和经典通信（LOCC \text{LOCC} LOCC E E E
这里我们只关心两体系统的纠缠度，由于多体系统十分复杂，对于多体系统的纠缠度量目前还没有很好的定义。
对于两体系统，如果存在两种不同的纠缠度量 E α E_\alpha E α E β E_\beta E β ( ∀ ρ , E α ( ρ ) = E β ( ρ ) ) (\forall\rho,E_\alpha(\rho)=E_\beta(\rho)) ( ∀ ρ , E α ( ρ ) = E β ( ρ )) ( ∃ ρ 1 , ρ 2 , E α ( ρ 1 ) > E α ( ρ 2 ) (\exists\rho_1,\rho_2,E_\alpha(\rho_1)>E_\alpha(\rho_2) ( ∃ ρ 1 , ρ 2 , E α ( ρ 1 ) > E α ( ρ 2 ) E β ( ρ 1 ) < E β ( ρ 2 ) ) E_\beta(\rho_1)<E_\beta(\rho_2)) E β ( ρ 1 ) < E β ( ρ 2 ))
换句话说，如果 E α E_\alpha E α E β E_\beta E β
对于一个纯态 ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩
E ( ρ A B ) = S ( ρ A ) = − T r [ ρ A ln ρ A ] = S ( ρ B ) = − T r [ ρ B ln ρ B ] \begin{aligned}
E(\rho_{AB}) & = S(\rho_A)=-\mathrm{Tr}[\rho_A\ln\rho_A] \\[1em]
& = S(\rho_B)=-\mathrm{Tr}[\rho_B\ln\rho_B]
\end{aligned} E ( ρ A B ) = S ( ρ A ) = − Tr [ ρ A ln ρ A ] = S ( ρ B ) = − Tr [ ρ B ln ρ B ]
且 S ( ρ A ) S(\rho_A) S ( ρ A ) S ( ρ B ) S(\rho_B) S ( ρ B ) A A A B B B E ( ρ A B ) = S ( ρ A ) = S ( ρ B ) E(\rho_{AB})=S(\rho_A)=S(\rho_B) E ( ρ A B ) = S ( ρ A ) = S ( ρ B )
混态的纠缠度量有许多种思想，我们在此不做过多介绍。
