光子计数实验

我们如何在实验中区分不同的态，例如相干态和 Fock 态呢？探测器通常探测光强并将其转换成电信号，首先要将探测器内部的光触发结构制备到初态上，然后将捕捉到的光信号转换成电信号并放大，最后再将整个系统重置回初态（重置操作就是探测器不能连续测量的原因）。

例如，HBT\text{HBT} 干涉仪使用两个光电探测器直接将光强相乘后再求平均

I=∣E1+E2∣2I′=∣E1′+E2′∣2⟨I1I2⟩∼{1+ηcos⁡[(k⃗−k⃗′)⋅Δr⃗]}I=|E_{1}+E_{2}|^{2}\\[1em] I^{\prime}=|E_{1}^{\prime}+E_{2}^{\prime}|^{2} \\[1em] \langle I_{1}I_{2}\rangle\sim\left\{1+\eta\cos\left[(\vec{k}-\vec{k}^{\prime})\cdot\Delta\vec{r}\right]\right\}

与通常的干涉叠加不同，HBT\text{HBT} 干涉仪测量的是强度的相关性，不再完全使用如下式所示的光的相干叠加

E=(E1+E2)+(E1′+E2′)I≃I0{1+cos⁡[12(k⃗−k⃗′)⋅Δr⃗]⋅cos⁡[12(k⃗+k⃗′)⋅Δr⃗]}E=(E_{1}+E_{2})+(E_{1}^{\prime}+E_{2}^{\prime}) \\[1em] I\simeq I_{0}\left\{1+\cos\left[\frac{1}{2}(\vec{k}-\vec{k}^{\prime})\cdot\Delta\vec{r}\right]\cdot\cos\left[\frac{1}{2}(\vec{k}+\vec{k}^{\prime})\cdot\Delta\vec{r}\right]\right\}

与之相比，HBT\text{HBT} 干涉仪的优点是消去了快速振荡项 cos⁡[12(k⃗+k⃗′)⋅Δr⃗]\cos\left[\frac{1}{2}(\vec{k}+\vec{k}^{\prime})\cdot\Delta\vec{r}\right]，受噪声干扰更小。但是探测器的数量从单个增加到了两个，那么我们如何处理实验数据并从理论上描述光电流 ⟨I1I2⟩\langle I_{1}I_{2}\rangle 的干涉行为呢？

光相干理论

我们知道平均光强为 I‾=1N∑nIn ∝⟨a^†a^⟩\overline{I}=\frac{1}{N}\sum_nI_n\ \propto\langle\hat{a}^\dagger\hat{a}\rangle，那么两个探测器的光强就应该为 ⟨I1I2⟩=1N∑nI1,nI2,n\langle I_1I_2\rangle=\frac{1}{N}\sum_nI_{1,n}I_{2,n}，我们先直接给出其量子力学描述 ⟨I1I2⟩∼⟨a^1†a^2†a^2a^1⟩\langle I_1I_2\rangle\sim\langle\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_2\hat{a}_1\rangle （相当于求正规序）。

一阶关联函数

先来研究单个探测器的光与原子相互作用，相互作用哈密顿量具有以下形式

V^=−er^⋅E^(x)∼σ^+⋅E^(+)(x)+σ^−⋅E^(−)(x)\begin{aligned} \hat{V} & =-e\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x}) \quad \sim \quad \hat{\sigma}^+\cdot\hat{E}^{(+)}(\mathbf{x})+\hat{\sigma}^-\cdot\hat{E}^{(-)}(\mathbf{x}) \end{aligned}

分别定义电磁场的正频和负频部分为

E^(+)(x)=i∑e^kςℏωk2ε0Va^kς(t)eik⋅x=[E^(−)(x)]†\hat{E}^{(+)}(\mathbf{x})=i\sum\hat{\mathrm{e}}_{\mathbf{k}\boldsymbol{\varsigma}}\sqrt{\frac{\hbar\omega_{k}}{2\varepsilon_{0}V}}\hat{a}_{\mathbf{k}\boldsymbol{\varsigma}}(t)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=\left[\hat{E}^{(-)}(\mathbf{x})\right]^{\dagger}

探测光的过程就是探测原子的激发概率，那么我们需要研究演化过程，相互作用绘景下时间演化算符的泰勒展开为

U≃1−iℏV~dt+o(dt2)U\simeq\mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}\tilde{V}dt+o(dt^2)

那么激发概率应是经过时间演化后的 V^∣Φi⟩\hat{V}|\Phi_i\rangle 在激发态 ∣Φf⟩|\Phi_f\rangle 上的投影

Pgi→ef∝∣⟨Φf∣V^∣Φi⟩∣2∼∣⟨ψf∣E^(+)∣ψi⟩∣2P_{\mathrm{g}i\to\mathrm{e}f}\propto\left|\langle\Phi_f|\hat{V}|\Phi_i\rangle\right|^2\sim\left|\langle\psi_f|\hat{\mathbf{E}}^{(+)}|\psi_i\rangle\right|^2

其中指标 i,fi,f 分别表示光场的初态和末态，且消去了E^(−)\hat{E}^{(-)}，因为 ⟨ψf∣E^(−)∼[a^kς∣ψf⟩]†=0\langle\psi_f|\hat{\mathbf{E}}^{(-)}\sim\left[\hat{a}_{\mathbf{k}\boldsymbol{\varsigma}}|\psi_f\rangle\right]^\dagger=0

光场含有多种模式，总的激发概率可以通过对所有末态光场求和得到

Pg→e=∑fPgi→ef=∑f⟨ψi∣E^(−)(x,t)∣ψf⟩⟨ψf∣E^(+)(x,t)∣ψi⟩=⟨ψi∣E^(−)(x,t)E^(+)(x,t)∣ψi⟩\begin{aligned} P_{\mathrm{g\to e}}=\sum_{f}P_{\mathrm{g}i\to\mathrm{e}f}&=\sum_f\langle\psi_i|\hat{E}^{(-)}(\mathbf{x},t)|\psi_f\rangle\langle\psi_f|\hat{E}^{(+)}(\mathbf{x},t)|\psi_i\rangle \\[1em] &=\langle\psi_{i}|\hat{E}^{(-)}(\mathbf{x},t)\hat{E}^{(+)}(\mathbf{x},t)|\psi_{i}\rangle \end{aligned}

到这时候，激发概率为 E^(−)(x,t)E^(+)(x,t)\hat{E}^{(-)}(\mathbf{x},t)\hat{E}^{(+)}(\mathbf{x},t) 在初态下的期望值，只与光场有关而与原子无关，而初态正是我们想要检测的目标光场态。由于∣ψi⟩\ket{\psi_i} 只是一个纯态，我们将上式推广到一个空间不相同的更一般的密度态，并定义一阶关联函数

G(1)(rt;r′t′):=⟨E^(−)(rt)E^(+)(r′t′)⟩=tr[ρ⋅E^(−)(rt)E^(+)(r′t′)]G^{(1)}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}^{\prime}t^{\prime}):=\langle\hat{E}^{(-)}(\mathbf{r}t)\hat{E}^{(+)}(\mathbf{r}^{\prime}t^{\prime})\rangle=\mathrm{tr}\left[\rho\cdot\hat{E}^{(-)}(\mathbf{r}t)\hat{E}^{(+)}(\mathbf{r}^{\prime}t^{\prime})\right]

二阶关联函数

类似地，考虑两个探测器同时探测光强的过程，也就是具有两个二能级系统，相互作用哈密顿量为

V^=−er^1⋅E^(x1)−er^2⋅E^(x2)\hat{V}=-e\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x}_1)-e\hat{\mathbf{r}}_2\cdot\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{x}_2)

我们研究的目标过程也就成了 ∣g1g2⟩⊗∣Ψi⟩→∣e1e2⟩⊗∣Ψf⟩|\mathrm{g}_1\mathrm{g}_2\rangle\otimes|\Psi_i\rangle\to|\mathrm{e}_1\mathrm{e}_2\rangle\otimes|\Psi_f\rangle，由于现在有两二能级系统，那么演化算符需要保留至二阶

U=1−iℏ∫0tdsV~(s)−1ℏ2∫0tds1∫0s1ds2V~(s1)V~(s2)+…U=\mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}\int_0^tds\tilde{V}(s)-\frac{1}{\hbar^2}\int_0^tds_1\int_0^{s_1}ds_2\tilde{V}(s_1)\tilde{V}(s_2)+\ldots

那么激发概率为

Pgg→ee=∑fPggi→eef∼∑f⟨Ψi∣E^(−)(x1)E^(−)(x2)∣Ψf⟩⟨Ψf∣E^(+)(x2)E^(+)(x1)∣Ψi⟩=⟨Ψi∣E^(−)(x1)E^(−)(x2)E^(+)(x2)E^(+)(x1)∣Ψi⟩\begin{aligned} P_{\mathrm{gg\to ee}}&=\sum_{f}P_{\mathrm{gg}i\to\mathrm{ee}f} \\[1em] & \sim\sum_{f}\langle\Psi_{i}|\hat{E}^{(-)}(x_{1})\hat{E}^{(-)}(x_{2})|\Psi_{f}\rangle\langle\Psi_{f}|\hat{E}^{(+)}(x_{2})\hat{E}^{(+)}(x_{1})|\Psi_{i}\rangle \\[1em] & =\langle\Psi_{i}|\hat{E}^{(-)}(x_{1})\hat{E}^{(-)}(x_{2})\hat{E}^{(+)}(x_{2})\hat{E}^{(+)}(x_{1})|\Psi_{i}\rangle \end{aligned}

同样地，我们将上式推广到一个更一般的密度态，并定义二阶关联函数

G(2)(x1x2;x2′x1′):=⟨E^(−)(x1)E^(−)(x2)E^(+)(x2′)E^(+)(x1′)⟩G^{(2)}(x_1x_2;x_2^{\prime}x_1^{\prime}):=\langle\hat{E}^{(-)}(x_1)\hat{E}^{(-)}(x_2)\hat{E}^{(+)}(x_2^{\prime})\hat{E}^{(+)}(x_1^{\prime})\rangle

其中 xi:=(ri,ti)x_i:=(\mathbf{r}_i,t_i)。因此，两个探测器的光强相关性为

⟨I1I2⟩∝G(2)(x1x2;x2x1)\langle I_1I_2\rangle\propto G^{(2)}(x_1x_2;x_2x_1)

我们也可以从 PP 函数得到关联函数。在经典中，涨落来源于随机性，光强可以看作是电磁场上的几率分布，电磁场的相位也是随机的，因为电场的相位和幅度都是随机的，所以得到一个二重积分

⟨I1(E~)I2(E~)⟩=∫d2E~P(E~)⋅I1(E~)I2(E~)\begin{aligned} \langle I_{1}(\tilde{E})I_{2}(\tilde{E})\rangle & =\int d^2\tilde{E}P(\tilde{E})\cdot I_1(\tilde{E})I_2(\tilde{E}) \end{aligned}

我们将上式推广至量子力学，由于 PP 函数是连接经典和量子的桥梁，认为上式中的 PP 就是量子力学中的 PP 函数

⟨I1(E~)I2(E~)⟩=∫d2E~P(E~)⋅I1(E~)I2(E~)=⟨:I^1(α)I^2(α):⟩∼⟨a^1†a^2†a^2a^1⟩\begin{aligned} \langle I_{1}(\tilde{E})I_{2}(\tilde{E})\rangle & =\int d^2\tilde{E}P(\tilde{E})\cdot I_1(\tilde{E})I_2(\tilde{E}) \\[1em] & =\langle:\hat{I}_1(\alpha)\hat{I}_2(\alpha):\rangle\quad\sim\quad\langle\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_2\hat{a}_1\rangle \end{aligned}

这正好和我们之前从光与原子相互作用中得到的结果是一致的。因此我们得到结论

G(2)(x1x2;x2′x1′):=⟨E^(−)(x1)E^(−)(x2)E^(+)(x2′)E^(+)(x1′)⟩G^{(2)}(x_1x_2;x_2^{\prime}x_1^{\prime}):=\langle\hat{E}^{(-)}(x_1)\hat{E}^{(-)}(x_2)\hat{E}^{(+)}(x_2^{\prime})\hat{E}^{(+)}(x_1^{\prime})\rangle

在单模情况下可以写为

G(2)(x1x2;x2x1)∼⟨a^1†a^2†a^2a^1⟩G^{(2)}(x_1x_2;x_2x_1)\sim\langle\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_2\hat{a}_1\rangle

且其中的伴随（非伴随）算符内部是可以互换的

[E^(−)(x),E^(−)(x′)]=[E^(+)(x),E^(+)(x′)]=0[\hat{E}^{(-)}(x),\hat{E}^{(-)}(x^{\prime})]=[\hat{E}^{(+)}(x),\hat{E}^{(+)}(x^{\prime})]=0

相干函数

我们可以分别定义一阶和二阶的相干性函数

g(1)(x,x′)=G(1)(x,x′)[G(1)(x,x)G(1)(x′,x′)]12g(2)(x1x2;x2′x1′)=G(2)(x1x2;x2′x1′)[∏z=x1,2(′)G(1)(z,z)]12\begin{aligned} g^{(1)}(x,x^{\prime})=\frac{G^{(1)}(x,x^{\prime})}{[G^{(1)}(x,x)G^{(1)}(x^{\prime},x^{\prime})]^{\frac{1}{2}}} \\[1em] g^{(2)}(x_{1}x_{2};x_{2}^{\prime}x_{1}^{\prime})=\frac{G^{(2)}(x_{1}x_{2};x_{2}^{\prime}x_{1}^{\prime})}{\left[\prod_{z=x_{1,2}^{(\prime)}}G^{(1)}(z,z)\right]^{\frac{1}{2}}} \end{aligned}

相当于分别对一阶和二阶关联函数进行了归一化形式的处理。可以证明

0≤∣g(1)(x1,x2)∣≤10≤∣g(2)∣<∞0\leq \begin{vmatrix} g^{(1)}(x_1,x_2) \end{vmatrix}\leq1\quad0\leq|g^{(2)}|<\infty

在单模下，二阶相干性函数可以写为

g(2)(x1x2;x2x1)=G(2)(x1x2;x2x1)G(1)(x1,x1)G(1)(x2,x2)∼⟨a^1†a^2†a^2a^1⟩⟨a^1†a^1⟩⟨a^2†a^2⟩g^{(2)}(x_1x_2;x_2x_1)=\frac{G^{(2)}(x_1x_2;x_2x_1)}{G^{(1)}(x_1,x_1)G^{(1)}(x_2,x_2)}\sim\frac{\langle\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_2\hat{a}_1\rangle}{\langle\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_1\rangle\langle\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_2\rangle}

光的高阶相干性

杨氏双缝干涉

在杨氏双缝干涉实验中，探测器接受到的叠加光为 E^(+)=E^1(+)+E^2(+)\hat{E}^{(+)}=\hat{E}_1^{(+)}+\hat{E}_2^{(+)}，其中两个光源为点光源，

E^i(+)(rt)=i∑kzˉka^keik⋅(r−ri)−iωkt∣r−ri∣\hat{E}_i^{(+)}(\mathbf{r}t)=i\sum_\mathbf{k}\bar{z}_k\hat{a}_\mathbf{k}\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)-i\omega_kt}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|}

得到探测器的一阶关联函数为

⟨E^(−)E^(+)⟩=⟨E^1(−)E^1(+)⟩+⟨E^2(−)E^2(+)⟩+[⟨E^1(−)E^2(+)⟩+⟨E^2(−)E^1(+)⟩]=G(1)(x1,x1)+G(1)(x2,x2)+2Re[G(1)(x1,x2)]\begin{aligned} \langle\hat{E}^{(-)}\hat{E}^{(+)}\rangle&=\langle\hat{E}_{1}^{(-)}\hat{E}_{1}^{(+)}\rangle+\langle\hat{E}_{2}^{(-)}\hat{E}_{2}^{(+)}\rangle+[\langle\hat{E}_{1}^{(-)}\hat{E}_{2}^{(+)}\rangle+\langle\hat{E}_{2}^{(-)}\hat{E}_{1}^{(+)}\rangle] \\ &=G^{(1)}(x_{1},x_{1})+G^{(1)}(x_{2},x_{2})+2\mathrm{Re}\left[G^{(1)}(x_{1},x_{2})\right] \end{aligned}

代入点光源的表达式，得到

G(1)(x1,x2)≃∑kqZˉkZˉqR2ei(qs2−ks1)−i(ωq−ωk)t⟨a^k†a^q⟩G^{(1)}(x_{1},x_{2})\simeq\sum_{\mathbf{kq}}\frac{\bar{Z}_{k}\bar{Z}_{q}}{R^{2}}e^{i(qs_{2}-ks_{1})-i(\omega_{q}-\omega_{k})t}\langle\hat{a}_{\mathbf{k}}^{\dagger}\hat{a}_{\mathbf{q}}\rangle

只有当 k=qk=q 时，才有非零贡献，因此

G(1)(x1,x2)∼∑keik⋅Δs∣αk∣2G^{(1)}(x_{1},x_{2}) \sim\sum_ke^{ik\cdot\Delta s}|\alpha_k|^2

在连续情况下，上述求和可写为一个积分

G(1)(x1,x2)=∣E∣2∫dω2π2γ(ω−Ω)2+γ2eiωc⋅Δs=∣E∣2eiΩc⋅Δse−γ⋅∣Δs∣cG^{(1)}(x_1,x_2)=|E|^2\int\frac{d\omega}{2\pi}\boxed{\frac{2\gamma}{(\omega-\Omega)^2+\gamma^2}}e^{i\frac{\omega}{c}\cdot\Delta s}=|E|^2e^{i\frac{\Omega}{c}\cdot\Delta s}e^{-\gamma\cdot\frac{|\Delta s|}{c}}

框中部分表示光源的频谱分布，如下图所示，γ\gamma 为线宽，Ω\Omega 为中心频率。对洛伦兹谱应用留数定理，就得到了上式最右边，里面存在一个指数衰减因子 e−γ⋅∣Δs∣ce^{-\gamma\cdot\frac{|\Delta s|}{c}}，路径差 Δs=s2−s1\Delta s=s_2-s_1 越大，关联函数的衰减越快。

光场密度谱

因此一阶相干性函数为

g(1)(x1,x2)=eikΩΔse−γ∣Δs∣/cg^{(1)}(x_1,x_2)=e^{ik_\Omega\Delta s}e^{-\gamma|\Delta s|/c}

这其实代表了杨氏双缝干涉条纹的清晰程度，由于光场存在线宽 γ\gamma，那么路径差增大时，条纹就会逐渐消失，如下图所示，这就是我们看到的杨氏双缝干涉条纹都不标准的原因。

杨氏干涉条纹清晰度

我们可以说 g(1)g^{(1)} 描述了杨氏双缝干涉中相干性的质量。

光相干性理论

若是两探测器与光源的距离不等，那么接受光信号也存在一个时间间隔 τ\tau，当时间间隔很大时，两光强相干性消失，相当于两个独立事件

⟨:I1(t)I2(t+τ):⟩⟶⁡τ→∞⟨I1(t)⟩⟨I2(t+τ)⟩\langle:I_1(t)I_2(t+\tau):\rangle\overset{\tau\to\infty}{\operatorname*{\longrightarrow}}\langle I_1(t)\rangle\langle I_2(t+\tau)\rangle

g(2)(τ)=⟨E^1(−)(t)E^2(−)(t+τ)E^2(+)(t+τ)E^1(+)(t)⟩⟨E^1(−)(t)E^1(+)(t)⟩⟨E^2(−)(t+τ)E^2(+)(t+τ)⟩⟶⁡τ→∞1g^{(2)}(\tau)=\frac{\langle\hat{E}_1^{(-)}(t)\hat{E}_2^{(-)}(t+\tau)\hat{E}_2^{(+)}(t+\tau)\hat{E}_1^{(+)}(t)\rangle}{\langle\hat{E}_1^{(-)}(t)\hat{E}_1^{(+)}(t)\rangle\langle\hat{E}_2^{(-)}(t+\tau)\hat{E}_2^{(+)}(t+\tau)\rangle}\overset{\tau\to\infty}{\operatorname*{\longrightarrow}}1

当 τ=0\tau=0 时，对于单模场，g(2)(0)g^{(2)}(0) 为

g(2)(0)∼⟨a^†a^†a^a^⟩⟨a^†a^⟩⟨a^†a^⟩=⟨n^2−n^⟩⟨n^⟩2=1+⟨δn2⟩⟨n⟩2−1⟨n⟩\mathrm{g}^{(2)}(0)\sim\frac{\langle\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}\rangle}{\langle\hat{a}^\dagger\hat{a}\rangle\langle\hat{a}^\dagger\hat{a}\rangle}=\frac{\langle\hat{n}^2-\hat{n}\rangle}{\langle\hat{n}\rangle^2}=1+\frac{\langle\delta n^2\rangle}{\langle n\rangle^2}-\frac{1}{\langle n\rangle}

  • 当光子数为经典分布时，⟨δn2⟩>⟨n⟩\langle \delta n^2 \rangle > \langle n\rangle，有

g(2)(0)>1g^{(2)}(0)>1

  • 当光子数为泊松分布时，⟨δn2⟩=⟨n⟩\langle \delta n^2 \rangle = \langle n\rangle，有

g(2)(0)=1g^{(2)}(0)=1

  • 当光子数为亚泊松分布时（非经典的充分不必要条件），⟨δn2⟩<⟨n⟩\langle \delta n^2 \rangle < \langle n\rangle，有

g(2)(0)<1g^{(2)}(0)<1

我们给出上面三种光的 g(2)(τ)g^{\left(2\right)}\left(\tau\right) 随时间延迟 τ\tau 变化的示意图

二阶关联函数随间隔的变化

若是一个 nn 阶的相干函数可以等于 11

∣g(n)(x1…xn;x1′…xn′)∣=1\left|g^{(n)}(x_1\ldots x_n;x_1^{\prime}\ldots x_n^{\prime})\right|=1

说明其具有 nn 阶相干性，因为只有相干态满足此条件，若是高阶相干函数等于 11，说明其最好地重复出了平面波的形式（相干态就满足平面波的要求）。

聚束和反聚束

当两个探测器同时探测到光子的概率大于分别探测到的概率时

g(2)(0)>g(2)(τ)g^{(2)}(0)>g^{(2)}(\tau)

光子趋向于成群出现，称为聚束现象。

反之，当两个探测器同时探测到光子的概率小于分别探测到的概率时

g(2)(0)<g(2)(τ)g^{(2)}(0)<g^{(2)}(\tau)

光子趋向于单独出现，称为反聚束现象。

若是两个光子同时到达的概率等于分别到达的概率时

g(2)(0)=g(2)(τ)=1g^{(2)}(0)=g^{(2)}(\tau)=1

光子没有聚束或反聚束现象，称为泊松分布。

对于热光，gth(2)=2g_{\mathrm{th}}^{(2)}=2；对于 Fock\text{Fock} 态，Fock state:g∣n⟩(2)=1−1n\text{Fock state:}\quad g_{|n\rangle}^{(2)}=1-\frac{1}{n}。

二阶相干函数的应用

鬼成像：鬼成像是一种特殊的非直接成像方式，利用光场的二阶乃至高阶关联性质，间接重构出图像。不同于普通成像中照明光场经成像物体后直接由面阵探测采集的方式，鬼成像将照明光场分为两路，一路经过物体后用没有空间分辨率的桶探测器收集（只有投射后的总光强信息），另一路不与物体接触，直接由面阵探测器采集（含有光强的空间分布），两路测量结果再经关联计算重构出物体图像。由于这两路结果中的任一路都无法单独重构图像，而关联后就能得到正确结果，这种出人意料的成像方式因之得名“鬼成像”。

HOM\text{HOM} 干涉：如下图所示，从左边和上方入射的两个光子的出射情况只可能有三种：都从右边出射、都从下方出射、一个从右边一个从下方出射。而量子力学给出的结果只有两种可能：要么都从右边出射，要么都从下方出射。

HOM干涉

在经典下，我们分别定义透射光和反射光

∣ER∣2=R∣Ein∣2∣ET∣2=T∣Ein∣2|E_{\mathrm{R}}|^{2}=R|E_{\mathrm{in}}|^{2}\\[1em] |E_{\mathrm{T}}|^{2}=T|E_{\mathrm{in}}|^{2}

由于具有半波损失，那么

[E1E2]=12[1ii1][E1(in)E2(in)]\begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1^{(\mathrm{in})} \\ E_2^{(\mathrm{in})} \end{bmatrix}

量子化后的单模情况为

[b^1b^2]=12[1ii1][a^1a^2]\left.\left[ \begin{array} {c}\hat{b}_1 \\ \hat{b}_2 \end{array}\right.\right]=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_1 \\ \hat{a}_2 \end{bmatrix}

我们要求找到一个幺正变换 UU，能够实现下面的功能

a^1→12[a^1+ia^2]≡Ua^1U†a^2→12[ia^1+a^2]≡Ua^2U†\hat{a}_{1}\rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\hat{a}_{1}+i\hat{a}_{2}\right]\equiv U\hat{a}_{1}U^{\dagger}\\[1em] \hat{a}_{2}\rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\left[i\hat{a}_{1}+\hat{a}_{2}\right]\equiv U\hat{a}_{2}U^{\dagger}

这样就和矩阵形式对应，可以求得满足上述要求的幺正变换为

U=exp⁡[−iπ4(a^1†a^2+a^2†a^1)]U=\exp\left[-i\frac{\pi}{4}(\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2+\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_1)\right]

那么量子态的变换应该为

∣Ψout⟩=U∣Ψin⟩ρout=UρinU†|\Psi_\mathrm{out}\rangle=U|\Psi_\mathrm{in}\rangle\qquad\rho_\mathrm{out}=U\rho_\mathrm{in}U^\dagger

考虑初态为 ∣Ψin⟩=∣1⟩1∣1⟩2=a^1†a^2†∣0⟩1∣0⟩2|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle=|1\rangle_1|1\rangle_2=\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger|0\rangle_1|0\rangle_2，那么 UU 作用后的结果为

U∣1⟩1∣1⟩2=Ua^1†a^2†U†⋅U∣0⟩=Ua^1†U†⋅Ua^2†U†⋅U∣0⟩=12(a^1†−ia^2†)(−ia^1†+a^2†)∣0⟩=−i2(∣2⟩1∣0⟩2+∣0⟩1∣2⟩2)\begin{aligned} U|1\rangle_1|1\rangle_2&=U\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2^\dagger U^\dagger\cdot U|\mathbf{0}\rangle= U\hat{a}_1^\dagger U^\dagger\cdot U \hat{a}_2^\dagger U^\dagger\cdot U|\mathbf{0}\rangle\\ & =\frac{1}{2}(\hat{a}_{1}^{\dagger}-i\hat{a}_{2}^{\dagger})(-i\hat{a}_{1}^{\dagger}+\hat{a}_{2}^{\dagger})|\mathbf{0}\rangle=\frac{-i}{\sqrt{2}}\left(|2\rangle_{1}|0\rangle_{2}+|0\rangle_{1}|2\rangle_{2}\right) \end{aligned}

这表明了一种干涉相消，我们在两个出射端放置探测器，进行复合测量，得到的相干函数如下图所示

HOM干涉的相干函数

若是时间差为零时，两个光子总是一起从同一个输出端口出射，探测器不会同时探测到两个光子，复合探测结果 ⟨:I1I2:⟩=0\langle:I_1I_2:\rangle=0，当时间差增大时，两个光子变得可区分，复合探测结果逐渐增大，最终达到 ⟨:I1I2:⟩=⟨I1⟩⟨I2⟩=1\langle:I_1I_2:\rangle=\langle I_1\rangle\langle I_2\rangle=1。