量子光学笔记（九）：开放量子系统

开放量子系统

对于一个开放量子系统，环境的作用主要包括三种

• 输入/激励：例如输入驱动场
• 输出/响应：例如激光输出
• 耗散和退相干：例如自发辐射

当一个量子系统和环境发生相互作用时，经典力学给出的方程不满足对易关系

$$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0 \qquad \Longrightarrow \qquad [x,p]=[x,p]|_{t=0}\cdot e^{-\gamma t}$$

为什么会失败呢？在经典理论中，阻尼项 $\gamma\dot{x}$ 的引入使得简谐振子的动力学方程由 $\ddot{x}+\omega^{2}x=0\ \longrightarrow \ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^{2}x=0$，这个阻尼项意味着将能量简单地去掉了。实际上，谐振子损失的能量应该转移到了环境中，而不是凭空消失。我们可以引入一个环境对系统的作用——涨落力 $F(t)$，从而起到一个衰减源的作用。

$$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=F(t)/m$$

在经典布朗运动的标准理论框架下，阻尼项来源于快速涨落力 $F(t)$ 的平均效应 $\langle F(t)\rangle=0$，这就是经典系统不用考虑衰减源的原因，最关键的观点是：耗散是源自环境的涨落力的平均效应。那么在量子情形下，我们必须将环境也纳入量子系统，并研究其与目标系统的相互作用。

最简单的系统与环境相互作用的量子模型就是两个耦合谐振子。我们令谐振子 $a$ 代表系统，谐振子 $b$ 代表环境（热库），它们的哈密顿量为

$$H=\omega a^\dagger a+\omega b^\dagger b+\kappa(a^\dagger b+ab^\dagger)$$

前两项分别是系统和环境的孤立哈密顿量（为简单起见，我们令它们的频率相同），第三项是他们之间的能量交换项，其中 $\kappa$ 是耦合强度。算符 $\left(a^\dagger b\right)$ 表示系统向环境传递一个能量量子，而算符 $\left(ab^\dagger\right)$ 则表示环境向系统传递一个能量量子。

两个谐振子湮灭算符的海森堡方程为

$$\dot{a}=i[H,a]=-i\omega a-i\kappa b \\[1em] \dot{b}=i[H,b]=-i\omega b-i\kappa a$$

解得

$$a(t)=e^{-i\omega t}[a(0)\cos(\kappa t)-ib(0)\sin(\kappa t)] \\[1em] b(t)=e^{-i\omega t}[b(0)\cos(\kappa t)-ia(0)\sin(\kappa t)]$$

着两个方程描述了两个谐振子之间以由 $\kappa$ 决定的频率进行的相干、可逆的能量交换。可以证明，算符 $a(t)$ 和 $a^\dagger(t)$ 满足对易关系

$$[a(t),a^\dagger(t)]=1$$

此时对易关系得以保持，谐振子 $a$ 的能量可以衰减，因为衰减的能量被转移到了谐振子 $b$ 中。我们可以推广至耦合多个谐振子的情形，环境由一组谐振子 $\{b_k\}$ 组成，哈密顿量为

$$\begin{aligned} H&=\omega a^\dagger a+\omega_1b_1^\dagger b_1+\omega_2b_2^\dagger b_2+\kappa(a^\dagger b_1+ab_1^\dagger)+\kappa(a^\dagger b_2+ab_2^\dagger) \\[1em] H&=\omega a^\dagger a+\omega_1b_1^\dagger b_1+\omega_2b_2^\dagger b_2+\omega_3b_3^\dagger b_3+\kappa(a^\dagger b_1+ab_1^\dagger)+\kappa(a^\dagger b_2+ab_2^\dagger)+\kappa(a^\dagger b_3+ab_3^\dagger)\end{aligned}$$

此时对易关系 $[a(t),a^\dagger(t)]=1$ 仍然成立。我们推广至无限个谐振子情形下，总体的哈密顿量可以写成

$$\begin{aligned} &H=H_{\mathrm{sys}}+H_{\mathrm{bath}}+H_{\mathrm{int}} \\[1em] &H_{\mathrm{sys}}=\omega_{s}a^{\dagger}a+\cdots \\[1em] &H_{\mathrm{bath}}=\sum_{-\infty}^{+\infty}\omega_{i}b^{\dagger}(\omega_{i})b(\omega_{i})=\int_{-\infty}^{+\infty}\omega b^{\dagger}(\omega)b(\omega)d\omega \\[1em] &H_{\mathrm{int}}=\sum_{-\infty}^{+\infty}\kappa(\omega_{i})b^{\dagger}(\omega_{i})a+b(\omega_{i})a^{\dagger}=\int_{-\infty}^{+\infty}\kappa(\omega)[b^{\dagger}(\omega)a+b(\omega)a^{\dagger}]d\omega \end{aligned}$$

虽然这个双振子模型过于简化，无法描述真正的不可逆性（能量会重新振荡回到 $a$ 中），但它包含了完整解的种子。为了模拟真实的耗散和退相干过程，我们必须将系统与一系列连续的环境谐振子耦合，这样能量就会传播到一个巨大蓄水池中永不返回，类似于不可逆过程。这是我们后续学习内容的基础，能够导出著名的林德布拉德主方程。

对象	封闭系统	开放系统
算符	海森堡方程	量子朗之万方程
状态（密度矩阵）	薛定谔方程	林德布拉德方程

与热库耦合的腔输入输出理论

模型哈密顿量

利用上述框架，我们来描述一个与外部电磁场耦合的单模光学腔。腔用谐振子 $a$ 来描述，外部电磁场视为热库。我们的目标是导出输入和输出的关系，从而描述腔体如何处理输入的量子场。

总的哈密顿量为

$$H=H_{\mathrm{sys}}+H_{\mathrm{bath}}+H_{\mathrm{int}}$$

其中 $H_{\mathrm{sys}}=f(a,a^\dagger)$ 是 $a$ 和 $a^\dagger$ 的函数，具体形式未知，表示腔的孤立哈密顿量；

$H_{\mathrm{bath}}$ 代表由无数个简谐振子组成的连续系统。一般情况下，对 $\omega$ 的求和应包括所有具有相同频率 $\omega(\mathbf{k})=\omega$ 的空间模式 $\mathbf{k}$ 的求和。在这里为了简化推导且不失一般性，我们假设态密度 $D(\omega)=1$，这意味着在频率 $\omega$ 处无简并，每个频率只有一个模式。无简并情况下，热库哈密顿量为

$$H_{\mathrm{bath}}=\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\omega b^{\dagger}(\omega)b(\omega)$$

$H_{\text{int}}$ 代表系统和热库的相互作用。在 $D(\omega)=1$ 下

$$H_{\mathrm{int}}=\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega[b^\dagger(\omega)a+b(\omega)a^\dagger]\kappa(\omega)$$

我们将会在海森堡绘景下推导热库算符 $b(\omega)$ 和腔模算符 $a$ 的运动方程。总体原则是对于任意的算符 $O$，其运动方程满足海森堡方程 $\dot{O}=i[H,O]$（为简单起见略去 $\hbar$ ）。

我们将会用到以下数学知识

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega t}dt=2\pi\delta(\omega)$$

$$\begin{aligned} [a,a^{\dagger}]=1,\quad[a,b(\omega)]=0 \\[1em] [b(\omega),b(\omega^{\prime})^{\dagger}]=\delta(\omega-\omega^{\prime}) \end{aligned}$$

热库算符的运动方程

由于热库的哈密顿量已知，我们先研究热库算符，热库算符 $b(\omega)$ 的运动方程为

$$\begin{aligned} \dot{b}(\omega,t) & =i[H,b(\omega)] \\[1em] & =i[H_{\mathrm{sys}}+H_{\mathrm{bath}}+H_{\mathrm{int}},b(\omega)] \\[1em] & =i[H_{\mathrm{sys}},b(\omega)]+i[H_{\mathrm{bath}},b(\omega)]+i[H_{\mathrm{int}},b(\omega)] \\[1em] & =0+i[H_{\mathsf{bath}},b(\omega)]+i[H_{\mathsf{int}},b(\omega)] \end{aligned}$$

我们假设腔模和热库模最初是未纠缠的，那么系统哈密顿量与热库算符 $b(\omega)$ 相互独立，所以对易，第一项为零。虽然这一假设在现实情境中不一定总是成立，但它已经极大简化了分析，我们能够从中获得一些非常有用的结果。

将上式两个对易子展开，最后可以得到

$$\begin{aligned} \dot{b}(\omega,t) & =i[H_{\mathsf{bath}},b(\omega)]+i[H_{\mathsf{int}},b(\omega)] \\[1em] & =i[\int d\omega\omega b^\dagger(\omega)b(\omega),b(\omega)]+i[\int d\omega\left(b^\dagger(\omega)a+b(\omega)a^\dagger\right)\kappa(\omega),b(\omega)] \\[1em] & =-i\omega b(\omega,t)-i\kappa(\omega)a(t) \end{aligned}$$

这是一个线性微分方程，我们可以求得形式解。考虑从初始时间 $t_0$ 到时间 $t$ 的演化，我们解得输出场

$$b(\omega,t)=b(\omega,t=t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}-i\kappa(\omega)\int_{t_0}^tdt^{\prime}a(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}$$

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上述微分方程的求解过程：
构造 $b(\omega,t)=B(t)e^{-i\omega t}$，那么 $B(t)=b(\omega,t)e^{i\omega t}$，$B\left(t\right)$ 的时间导数为

$$\dot{B(t)}=-i\kappa(\omega)ae^{i\omega t}$$

对上式从 $t_0$ 到 $t$ 积分，得到

$$B(t)=B(t_0)-i\kappa(\omega)\int_{t_0}^ta(t^{\prime})e^{i\omega t^{\prime}}dt^{\prime}$$

将上式中的 $B(t)$ 替换为 $b(\omega,t)e^{i\omega t}$，得到

$$b(\omega,t)e^{i\omega t}=b(\omega,t_0)e^{i\omega t_0}-i\kappa(\omega)\int_{t_0}^ta(t^{\prime})e^{i\omega t^{\prime}}dt^{\prime}$$

两边同时乘以 $e^{-i\omega t}$，得到解为

$$b(\omega,t)=b(\omega,t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}-i\kappa(\omega)\int_{t_0}^ta(t^{\prime})e^{i\omega(t^{\prime}-t)}dt^{\prime}$$

腔模的量子微分方程（马尔可夫近似）

我们再次利用海森堡方程来求解腔模算符 $a$ 的运动方程

$$\begin{aligned} \mathrm{a} & =i[H_{\mathrm{sys}}+H_{\mathrm{bath}}+H_{\mathrm{int}},a] \\[1em] & =i[H_{\mathrm{sys}},a]+i[H_{\mathrm{bath}},a]+i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)[b^{\dagger}(\omega)a+b(\omega)a^{\dagger},a] \\[1em] & =i[H_{\mathrm{s}},a(t)]-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega,\kappa(\omega),b(\omega,t) \end{aligned}$$

这表明内部场 $a(t)$ 的演化由所有热库算符 $b(\omega,t)$ 的叠加驱动，为了找到 $a(t)$ 的自洽方程，我们将之前确定的热库算符动力学 $b(\omega,t)$ 代入上式第二项，得到

$$\begin{aligned} & -i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t) \\[1em] & \begin{aligned} =-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)[b(\omega,t=t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}-i\kappa(\omega)\int_{t_0}^tdt^{\prime}a(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}] \end{aligned} \\[1em] & \textcolor{red}{=-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t=t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}}\textcolor{blue}{-\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa^2(\omega)\int_{t_0}^ta(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}dt^{\prime}} \end{aligned}$$

这就将热库的影响分解为两部分物理贡献：

1. 第一项取决于热库的初始状态 $b(\omega,t=t_0)$，它代表了输出场对腔模的驱动作用
2. 第二项取决于腔场自身 $a(t')$ 在过去时间内的演化，它代表了延迟反馈或记忆效应。

然后我们将在特定假设下计算这些积分，然后推导出著名的量子朗之万方程。为了向可解的 $a(t)$ 方程迈进，我们必须引入一些在物理上合理的近似，这在开放量子系统理论中是核心内容。

腔体与热库之间的耦合强度在腔体共振频率 $\omega_c$ 附近的宽频率范围内大致保持不变，这就是马尔可夫近似，意味着在系统动力学的时间尺度上，环境没有“记忆”。在这个假设下，我们可以将腔衰减率 $\gamma$ 定义为

$$\frac{\gamma}{2\pi}=\kappa(\omega)^2$$

其中的 $2\pi$ 因子用于简化后续的积分。这样，$\kappa(\omega)$ 本来是依赖于外场频率 $\omega$ 的函数，但在马尔可夫近似下，所有热库谐振子的耦合强度可以视为相同的常数 $\kappa$。

我们还需要用到狄拉克 $\delta$ 函数的积分性质

$$\int_{t_0}^tdt^{\prime}c(t^{\prime})\delta(t-t^{\prime})=\int_t^{t_f}dt^{\prime}c(t^{\prime})\delta(t-t^{\prime})=\frac{1}{2}c(t)$$

相比于积分区域为无穷的情况下，这里的积分上限或下限和 $\delta$ 函数中的变量是相同的，因此积分结果多了一个 $\frac{1}{2}$ 因子。这是因为 $\delta$ 函数的中心刚好处于积分边界，积分只取了 $\delta$ 函数的一半区域。

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现在，我们将马尔可夫近似应用到动力学方程第二项中的记忆核积分

$$\begin{aligned} -\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa^2(\omega)\int_{t_0}^ta(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}dt^{\prime} & =-\frac{\gamma}{2\pi}\int_{t_0}^t\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega e^{-i\omega(t-t^{\prime})}a(t^{\prime})dt^{\prime} \\[1em] & =-\frac{\gamma}{2\pi}\int_{t_0}^t2\pi\delta(t-t^{\prime})a(t^{\prime})dt^{\prime} \\ & =-\frac{\gamma}{2}a(t) \end{aligned}$$

这是一项深刻的结果，第二项原本表示腔场对自身过去状态的复杂依赖反馈，但在马尔可夫近似下，它简化为一个简单的瞬时阻尼项 $-\frac{\gamma}{2}a(t)$。

物理解释：与宽连续的热库模的相互作用造成了腔场幅度以 $\gamma/2$ 的速率指数衰减，这就是腔线宽或光子损失率的量子力学起源。因子 $\frac{1}{2}$ 的出现是因为 $\gamma$ 通常被定义为能量衰减速率 $(d\langle a^\dagger a\rangle/dt\propto-\gamma\langle a^\dagger a\rangle)$，而这项控制振幅的衰减，振幅和能量之间存在平方关系。

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同样地，再将马尔可夫近似应用到动力学方程第一项的热库驱动力，这一项描述了热库从 $t_0$ 到 $t$ 对腔体的影响，这源自自由传播到 $t$ 时刻和热库算符 $b(\omega,t_0)$ 的初始状态。

$$-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t=t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}=-i\sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega b(\omega,t=t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}$$

由于上式右边与腔模 $a$ 无关，现在我们可以定义输入输出理论的核心对象：输入场算符 $A_{\text{in}}$，这个算符代表在 $t$ 时刻入射腔体的量子噪声（例如，真空涨落、热涨落或相干驱动）

$$A_{\mathrm{in}}(t)\equiv\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega b(\omega,t_{0})e^{-i\omega(t-t_{0})}$$

这样，第一项就可以优雅地简化为

$$\mathrm{Term}1=-\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}}(t)$$

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再回忆一下腔模的运动方程 $a\left(t\right)$ ，将其中的积分结果代入，得到量子朗之万方程

$$\boxed{\dot{a}(t)=-i[a(t),H_\mathrm{s}]-\frac{\gamma}{2}a(t)-\sqrt{\gamma}A_\mathrm{in}(t)}$$

这是量子光学中的基本结果，其各部分的物理意义如下：

(1) $i[a(t),H_\mathrm{s}]$：由腔模自身内部哈密顿量驱动的相干幺正演化。

(2) $-\frac{\gamma}{2}a(t)$：热库的平均阻尼效应，造成腔模幅度以 $\gamma/2$ 的速率指数衰减，能量衰减至热库中。

(3) $-\sqrt{\gamma}A_\mathrm{in}(t)$：驱动腔模的量子噪声项。这个算符保证了 $a(t)$ 和 $a^\dagger(t)$ 的对易关系在时间演化中得以保持（前面已经得到）。是经典布朗运动中朗之万随机力的量子对应。热库可以通过输入场 $A_{\mathrm{in}}(t)$ 向腔模注入能量从而驱动腔模。

该方程是一个随机方程，因为 $A_{\text{in}}(t)$ 是一个算子值噪声源。为了解决这个问题，我们必须指定 $A_{\mathrm{in}}(t)$ 的统计性质（例如，其对易子和期望值），那么这就取决于热库的初始状态（例如，真空与热平衡）。

腔体的输出场

在推导了腔内场 $a(t)$ 的量子朗之万方程之后，我们现在转向一个对实验同样重要的问题：离开腔的输出场是什么？这个输出场 $A_{\text{out}}(t)$ 承载着可以实际测得的系统信息，因此它的定义至关重要。

方法就是用两种不同的方式表达热库算符 $b(\omega,t)$

输入场表述

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若选择基于时刻 $t_0 < t$ 的初始条件进行求解（即输入），则解可表示为：

$$b(\omega,t)=b(\omega,t=t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}-i\kappa(\omega)\int_{t_0}^tdt^{\prime}a(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}$$

输出场表述

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若选择基于时刻 $t_f > t$ 的终止条件进行求解（即输出），则解可表示为：

$$b(\omega,t)=b(\omega,t=t_{\mathbf{f}})e^{-i\omega(t-t_{\mathbf{f}})}+i\kappa(\omega)\int_{t}^{t_{\mathbf{f}}}dt^{\prime}a(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}$$

第二种形式和第一种同样有效。第二种形式表示在中间时刻 $t$ 的输出场，可以看作最终场的自由演化加上腔体在时间 $t$ 到 $t_f$ 内辐射到环境的场。

我们现在使用输出场表述来导出腔模 $a(t)$ 的运动方程。我们将 $b(\omega,t)$ 的输出场表述代入腔模一般方程中的第二项，同样得到

$$\begin{aligned} -i\int d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t) & =-i\int d\omega\kappa(\omega)\left[b(\omega,t_{f})e^{-i\omega(t-t_{f})}+i\kappa(\omega)\int_{t}^{t_{f}}dt^{\prime}a(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}\right] \\[1em] & =\underbrace{-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t_{f})e^{-i\omega(t-t_{f})}}_{\mathrm{Term~A}} +\underbrace{\int-\infty^{+\infty}d\omega\kappa^2(\omega)\int_t^{t_f}dt^{\prime}a(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})}}_{\mathrm{Term~B}} \end{aligned}$$

在马尔可夫近似下同样有

$$\text{Term~B} =\frac{\gamma}{2}a(t)$$

$$\text{Term~A} =-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t=t_{\mathrm{f}})e^{-i\omega(t-t_{f})}=-\sqrt{\gamma}A_{out}(t)$$

其中 $A_{\text{out}}(t)$ 是输出场算符，定义为终止热库条件下的自由演化，这和输入场算符相似。输出场算符表示在时刻 $t$ 已离开腔体并正在向外传播的场。然后我们得到输出场的量子随机微分方程：

$$\boxed{\dot{a}=-i[a,H_{\mathrm{sys}}]+\frac{\gamma}{2}a-\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{out}}(t)}$$

这给出了量子朗之万方程的第二种形式。为了比较，让我们将两种形式并排放置：

• 输入场表述：

$$\dot{a}(t) = -i[a, H_{\mathrm{s}}] - \frac{\gamma}{2} a(t) - \sqrt{\gamma} A_{\mathrm{in}}(t)$$

• 输出场表述：

$$\dot{a}(t) = -i[a, H_{\mathrm{s}}] + \frac{\gamma}{2} a(t) - \sqrt{\gamma} A_{\mathrm{out}}(t)$$

由于它们描述了相同算符 $a(t)$ 的相同物理演化，那么这两个表达式必须相等，就可以推导出三种场：进入腔体的场、腔内场和离开腔体的场的基本输入输出关系。

$$\boxed{A_{\mathrm{out}}-A_{\mathrm{in}}=\sqrt{\gamma}a}$$

输入和输出场的差值等于留在腔内的能量。当我们已知系统的初态 $t_0$ 时，就选择 $A_{\mathrm{in}}$ 来表征系统；当我们不清楚系统的过去状态时，而通过测量得到系统的末态 $t_f$ 时，就选择 $A_{\mathrm{out}}$ 来表征系统。

$A_{\mathrm{in}}$ 和 $A_{\mathrm{out}}$ 的区别

$$\begin{aligned} & -\sqrt{\gamma}A_{in}(t)=-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t=t_{0})e^{-i\omega(t-t_{0})} \\[1em] & -\sqrt{\gamma}A_{out}(t)=-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t=t_{\mathrm{f}})e^{-i\omega(t-t_{f})} \end{aligned}$$

腔体的驱动输入场（相干情形）

我们现在将量子朗之万形式应用于量子光学中的一个基本问题：使用相干激光场驱动光学腔。这将使得我们能够推导腔体的响应函数，并了解它如何过滤输入光。

我们先考虑一个空腔的哈密顿量

$$H_{\mathrm{sys}}=\omega_ca^\dagger a$$

其中 $\omega_c$ 是腔模的共振频率。假设输入场是相干态，那么可近似为频率 $\omega$ 的经典单色驱动，在这种情况下，算符 $A_{\mathrm{in}}(t)$ 可以被视为一个表示相干振幅的复数，我们将其写为 $A_{\mathrm{in}}(t)=\mathcal{A}_{\mathrm{in}}e^{-i\omega t}$，其中 $\mathcal{A}_{\mathrm{in}}$ 是输入驱动的常复数振幅。

将其代入输入表示下的量子朗之万方程得到：

$$\begin{aligned} \dot{a} & =i[a,H_{\mathrm{s}}]-\frac{\gamma}{2}a-\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}}(t) \\[1em] & =i[a,\omega_{c}a^{\dagger}a]-\frac{\gamma}{2}a-\sqrt{\gamma}\mathcal{A}_{\mathrm{in}}e^{-i\omega t} \\[1em] &=-i\omega_{c}a(t)-\frac{\gamma}{2}a(t)-\sqrt{\gamma}\mathcal{A}_{\mathrm{in}}e^{-i\omega t} \end{aligned}$$

这是一个线性微分方程，为了找到稳态解，我们假设腔模算符 $a(t)$ 也以驱动频率 $\omega$ 进行振荡，其中 $\bar{a}$ 是一个待确定的常数复振幅，那么上式变为

$$\frac{d}{dt}\left(\bar{a}e^{-i\omega t}\right)=(-i\omega_{c}-\frac{\gamma}{2})\bar{a}e^{-i\omega t}-\sqrt{\gamma}\mathcal{A}_{\mathrm{in}}e^{-i\omega t}$$

解得 $\bar{a}$ 为

$$\bar{a}=\frac{-\sqrt{\gamma}\mathcal{A}\mathrm{in}}{-i(\omega-\omega_{c})+\frac{\gamma}{2}}$$

因此，腔内场的完整时间依赖解为：

$$a(t)=\frac{-\sqrt{\gamma}}{-i(\omega-\omega_{c})+\frac{\gamma}{2}}\mathcal{A}_{\mathrm{in}}e^{-i\omega t}$$

这表明，当外部输入场频率等于腔体频率 $\omega=\omega_c$ 时，能够最有效地将能量输入到腔体中，而 $\gamma$ 则决定了允许的失谐宽度，即腔体的线宽，也就是洛伦兹线宽。通过输入输出关系，我们可以得到输出场算符

$$A_{\mathrm{out}}(t)=\left[1-\frac{\gamma}{-i(\omega-\omega_c)+\frac{\gamma}{2}}\right]A_{\mathrm{in}}e^{-i\omega t}$$

广义量子朗之万方程

我们已经为腔模算符 $a$ 建立了一套完整的动力学方程，这个推导方法可以被推广到描述系统任意算符的演化，从而导出强大的广义量子朗之万方程。

我们从任意系统算符的海森堡方程开始

$$\begin{aligned} \dot{c}=i[H,c]&=i[H_{\mathrm{sys}},c]+i[H_{\mathrm{bath}},c]+i[H_{\mathrm{int}},c] \\[1em] &=i[H_{\mathbf{sys}},c]+i[H_{\mathbf{bath}},c]+i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)[b^\dagger(\omega)a+a^\dagger b(\omega),c] \end{aligned}$$

第一项未知，暂且保留；第二项的热库哈密顿量与系统算符 $c$ 对易，因此为零；第三项相互作用项包含两项，因此

$$\begin{aligned} \dot{c} =i[H_{\mathbf{sys}},c]-i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t)^\dagger[a,c]+i\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\kappa(\omega)[a^\dagger,c]b(\omega,t) \end{aligned}$$

将腔体的输入场表示

$$\begin{aligned} b(\omega,t)=b(\omega,t=t_0)e^{-i\omega(t-t_0)}-i\kappa(\omega)\int_{t_0}^tdt^{\prime}a(t^{\prime})e^{-i\omega(t-t^{\prime})} \end{aligned}$$

代入，再根据之前得结论得到

$$i\int d\omega\kappa(\omega)b(\omega,t)[a^{\dagger},c]\quad \to \quad \left(\frac{\gamma}{2}a+\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}}(t)\right)[a^{\dagger},c]\\[1em] i\int d\omega\kappa(\omega)b^{\dagger}(\omega,t)[a,c]\quad \to \quad[a,c]\left(\frac{\gamma}{2}a^{\dagger}+\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}}^{\dagger}(t)\right)$$

那么就得到了腔内系统任意算符 $c$ 的广义量子朗之万方程

$$\boxed{\dot{c}=i[H_{\mathbf{sys}},c]-(\frac{\gamma}{2}a^\dagger+\sqrt{\gamma}A_{\mathbf{in}}^\dagger)[a,c]+[a^\dagger,c](\frac{\gamma}{2}a+\sqrt{\gamma}A_{\mathbf{in}})}$$

这个方程

• 包含了衰减
• 考虑了输入和输出
• $\frac{\gamma}{2}a+\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}}$，与所有系统算符对易，因为它们是热库的算符 $\int b(\omega)d\omega=\frac{\gamma}{2}a+\sqrt{\gamma}A_\mathrm{in}$

若取 $c=a$，就能重新得到之前的量子朗之万方程

$$\begin{aligned} \dot{a} & =i[H_{\mathrm{sys}},a]-(\frac{\gamma}{2}a^{\dagger}+\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}}^{\dagger})[a,a]+[a^{\dagger},a](\frac{\gamma}{2}a+\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}}) \\ & =i[H_{\mathrm{sys}},a]-\frac{\gamma}{2}a-\sqrt{\gamma}A_{\mathrm{in}} \end{aligned}$$