目前，针对开放量子系统，我们有了以下工具

系统-热库模型，用于理解耗散
输入-输出体系，描述了腔如何处理量子场，以及腔向热库的泄露过程。
林德布拉德主方程，模拟腔光子的衰减以及原子向热库的自发辐射

它们热库描述为量子场，此时物理图像还是单纯的“原子+热库”。但若我们特意用光照射某种物质，并且想知道它的响应呢？这时候物理图像就变成了“原子+驱动场+热库”，驱动场可用麦克斯韦方程组描述，而热库仍然用量子场描述，这两者之间的桥梁便是麦克斯韦-布洛赫方程。

麦克斯韦方程

整个经典电磁学理论都由麦克斯韦方程组控制，对于介质有

$\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J}+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbf{D} &= \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \quad \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{H} \quad \mathbf{J} &= \sigma \mathbf{E} \end{aligned}$

其中 $\mathbf{P}$ 是介质的宏观极化强度，描述了材料如何对电场作出响应， $\mathbf{J}$ 是电流密度， $\sigma$ 是电导率。

对于大多数光学问题，例如纯水或玻璃，我们只考虑没有自由电荷 ( $\rho = 0$ ) 和自由电流 ( $\mathbf{J} = 0$ ) 的介电介质，在这些情况下，方程简化为：

$\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{H} &=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{D} &= 0 \end{aligned}$

我们可以证明

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=-\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{P}}{\partial t^2}$

宏观极化强度

上一节推导出的波动方程中的一项 $-\mu_0 \dfrac{\partial^2 \mathbf{P}}{\partial t^2}$ ，将宏观极化强度 $\mathbf{P}$ 确定为介质内部电磁场的源，但在微观的、量子力学的视角下， $\mathbf{P}$ 究竟是什么？本节将展示 $\mathbf{P}$ 是如何由材料中原子的量子态所决定的。

极化强度 $P$ 是材料对外加电场的响应，从微观角度看，其为单位体积内的总电偶极矩。

$\mathbf{P}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\sum_{i}\mathbf{p}_{i}}{\Delta V}=n\langle\mathbf{p}\rangle$

其中 $n$ 是原子或分子数密度， $\mathbf{p}_i$ 是单个组成单元（成分）的电偶极矩， $\langle \mathbf{p} \rangle$ 平均单电偶极矩。

对于一个简单系统，电偶极矩定义为

$\mathbf{p}=e\mathbf{x}$

其中 $\mathbf{x}$ 是从正电荷中心指向负电荷中心的矢量。在量子力学中，偶极矩变成了一个算符，其对于单个原子的期望值为

$\langle\mathbf{p}\rangle=\mathrm{Tr}(\mathbf{p}\rho)=\mathrm{Tr}(\rho\mathbf{p})$

其中 $\rho$ 是单原子密度矩阵，因此对于一个数密度为 $n$ 的系综，极化强度为

$\mathbf{P}=n\operatorname{Tr}(\mathbf{p}\rho)=n\operatorname{Tr}(e\mathbf{x}\rho)=ne\langle\mathbf{x}\rangle$

这是一个重要结论：宏观极化强度与位移算符的期望值直接成正比。该期望值是对原子的量子态求平均得到的

由于二能级原子是量子光学中的主要模型，我们将目光聚焦于其，其状态由密度矩阵描述

$\rho= \begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12} \\[1em] \rho_{21} & \rho_{22} \end{pmatrix}$

位移算符 $\hat{x}$ 必须在相同的基底 $|1\rangle, |2\rangle$ 中表示为一个矩阵

$\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} \\[1em] x_{21} & x_{22} \end{bmatrix}$

若其中 $\phi_1$ 是态 $|1\rangle$ 的波函数，那么有

$x_{11}=\langle1|x|1\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}x\phi_1\phi_1^*dx$

由于波函数 $\phi_1(x)$ 和 $\phi_2(x)$ 在空间上通常是对称（偶宇称）或反对称（奇宇称）的，所以概率密度 $|\phi_n(x)|^2$ 始终是一个偶函数。又因为位置算符 $x$ 是一个奇函数，所以积分 $\int x|\phi_n(x)|^2 d^3x$ 必然等于零。因此，在这种情况下，对角矩阵元消失（即为零）：

$\begin{aligned} x_{11} &= \langle 1 | \hat{x} | 1 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x |\phi_1(x)|^2 dx = 0 \\[1em] x_{22} &= \langle 2 | \hat{x} | 2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x |\phi_2(x)|^2 dx = 0 \end{aligned}$

这在物理上意味着：处于确定的能量本征态（基态或激发态）的原子没有永久偶极矩。只有当原子处于这两个态的叠加态时，才会产生振荡的偶极矩。

因此，位移算符仅具有非对角元素

$\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 0 & x_{12} \\[1em] x_{21} & 0 \end{bmatrix}$

其中 $x_{21}$ 和 $x_{12}$ 需要通过实验测定。我们已经知道

$\sigma_{22}= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 \end{bmatrix}\qquad\sigma_{12}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 0 \end{bmatrix}\qquad\sigma_{21}= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\[0.5em] 1 & 0 \end{bmatrix}$

那么位移算符又可以写成

$\mathbf{x}=x_{12}\sigma_{12}+x_{21}\sigma_{21}$

为了计算 $\langle \mathbf{p} \rangle$ ，我们还需要计算 $\rho$

布洛赫方程

现在，我们准备好了导出最终方程所需的所有零件，这些方程描述了一个受经典激光场驱动并与耗散环境耦合的二能级原子的演化。这就是著名的光学布洛赫方程。

一个与经典单色激光场相互作用的二能级原子的总哈密顿量，是原子哈密顿量与光-物质相互作用哈密顿量之和

$H=H_{\mathrm{atom}}+H_{\mathrm{int}}$

薛定谔绘景中的原子哈密顿量为

$H_{\mathrm{atom}}=\omega_2|2\rangle\langle2|=\omega_2\sigma_{22}$

其中 $\omega_2$ 是激发态 $|2\rangle$ 的频率。在偶极近似下，相互作用哈密顿量为 $H_{\text{int}} = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{E}(t)$ 。对于沿 $\hat{x}$ 方向偏振的相干激光场 $\mathbf{E}(t) = E_0 \cos(\omega t)\hat{x}$ ，利用我们的偶极算符表达式 $\mathbf{p} = e x_{12} \hat{\sigma}_{12} + e x_{21} \hat{\sigma}_{21}$ ，上式变为

$\begin{gathered} H_{\mathrm{int}}=-(ex_{12}\sigma_{12}+ex_{21}\sigma_{21})\cdot E_{0}\cos(\omega t) =-E_{0}\cos(\omega t)(p_{12}\sigma_{12}+p_{21}\sigma_{21}) \end{gathered}$

为简单起见，我们取一维平行情况。利用欧拉公式，上式为

$H_{\mathrm{int}}=-\frac{E_0ex_{21}}{2}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right)\sigma_{21}-\frac{E_0ex_{12}}{2}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right)\sigma_{12}$

$H_{\text{int}}$ 中的显式时间依赖项很难处理，但可以转入一个以激光频率 $\omega$ 旋转的参考系来消除它，该幺正变换为 $R(t) = e^{i\omega t \sigma_{22}}$ 。在经过该变换并使用旋转波近似后，旋转参考系中的有效哈密顿量变为与时间无关的

$H=\Delta\sigma_{22}+\Omega\sigma_{21}+\Omega^*\sigma_{12}$

在上式中定义了两个关键参数：失谐量 $\Delta = \omega_2 - \omega$ （原子频率与激光频率之差）和拉比频率： $\Omega = E_0 e x_{21}/2$ （一个代表驱动场强度的实数）。

原始的系统-热库模型已经为我们提供了描述开放量子系统动力学的林德布拉德主方程：

$\frac{d}{dt}\rho=-i[H,\rho]+\sum_m\frac{\gamma_m}{2}\cdot(2c_m\rho c_m^\dagger-c_m^\dagger c_m\rho-\rho c_m^\dagger c_m)$

损耗项代表通往环境的衰减或退相干通道。现在考虑我们只有一个损耗通道，即自发辐射。由于原子通过形式为 $\sigma_{12}b^\dagger_{\text{bath}} + \sigma_{21}b_{\text{bath}}$ 的相互作用项损失能量，这意味着在 Lindblad 方程中，我们可以取 $c_m$ 为 $\sigma_{12}$ 和 $\sigma_{21}$ ：

$\frac{d}{dt}\rho=-i[H,\rho]+\frac{\gamma}{2}\cdot(2\sigma_{12}\rho\sigma_{21}-\sigma_{21}\sigma_{12}\rho-\rho\sigma_{21}\sigma_{12})$

利用上式计算各个矩阵元 $\rho_{11}, \rho_{22}, \rho_{12}, \rho_{21}$ 的动力学方程，我们得到光学布洛赫方程

$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\rho_{11} &= \textcolor{blue}{i\Omega\rho_{12}-i\Omega^{*}\rho_{21}} \textcolor{red}{+\gamma\rho_{22}} \\ \frac{d}{dt}\rho_{12} &= \textcolor{blue}{i\Delta\rho_{12}+i\Omega^{*}\rho_{11}-i\Omega^{*}\rho_{22}} \textcolor{red}{-\frac{\gamma}{2}\rho_{12}} \\ \frac{d}{dt}\rho_{21} &= \textcolor{blue}{-i\Delta\rho_{21}-i\Omega\rho_{11}+i\Omega\rho_{22}} \textcolor{red}{-\frac{\gamma}{2}\rho_{21}} \\ \frac{d}{dt}\rho_{22} &= \textcolor{blue}{-i\Omega\rho_{12}+i\Omega^{*}\rho_{21}} \textcolor{red}{-\gamma\rho_{22}} \end{aligned}$

其中蓝色项代表相干项 (来自 $H$ )，红色项代表耗散项 (来自 $\gamma$ )。此外还有迹守恒条件

$\rho_{11}+\rho_{22}=1$

退相干：实际上，频率总是存在涨落，因此是随着时间变化的， $e^{iw_{2}t}$ 应该改写成积分形式

$e^{iw_{2}t}=e^{-i\int_{0}^{t}w_{2}(t')\cdot dt'}=e^{iw_{20}t}\cdot e^{i\int_{0}^{t}\delta(\omega') dt}$

其中 $\delta(\omega')=w_{2}(t)-w_{20}$ 是频率的随机涨落部分。若上式右边的积分式范围足够大，就会导致退相干。

虽然上述模型包含了自发辐射的能量耗散。但是，原子也可能经历另一种过程：相位上的退相干，即基态和激发态之间的相位相干性丢失，但不伴随能量损失（即布居数不发生改变）。在固态系统中，这是一个普遍过程，通常源于与声子或其他涨落的环境力的相互作用。我们使用 $\sigma_{22}$ （不会产生跃迁）作为用于退相干的 Lindblad 算符 $c_m$ ：

$\frac{d}{dt}\rho=-i[H,\rho]+\frac{\gamma_d}{2}\cdot(2\sigma_{22}\rho\sigma_{22}-\sigma_{22}\sigma_{22}\rho-\rho\sigma_{22}\sigma_{22})$

其中 $\gamma_d$ 是退相干速率。同理我们可以得到退相干的光学布洛赫方程

$\begin{aligned} & \frac{d}{dt}\rho_{11}=i\Omega\rho_{12}-i\Omega^{*}\rho_{21} \\[1em] & \frac{d}{dt}\rho_{12}=(i\Delta-\frac{\gamma_{d}}{2})\rho_{12}+i\Omega^{*}\rho_{11}-i\Omega^{*}\rho_{22} \\[1em] & \frac{d}{dt}\rho_{21}=(-i\Delta-\frac{\gamma_{d}}{2})\rho_{21}-i\Omega\rho_{11}+i\Omega\rho_{22} \\[1em] & \frac{d}{dt}\rho_{22}=-i\Omega\rho_{12}+i\Omega^{*}\rho_{21} \end{aligned}$

这些方程揭示了一个重要的物理现象：

布居数 ( $\rho_{11}, \rho_{22}$ ) 仅通过自发辐射（速率 $\gamma$ ）衰减。
相干项 ( $\rho_{12}, \rho_{21}$ ) 在同时考虑自发辐射和退相干效应时，以更快的速率 $\Gamma = \gamma/2 + \gamma_d$ 衰减。

这个完整的模型为现实世界的量子系统提供了更完备的描述，在这些系统中，能量弛豫和纯退相干过程通常是同时存在的。回想一下前一节的内容，宏观极化强度 $P$ 为： $P =n(\rho_{12}ex_{21} + \rho_{21}ex_{12})$ ，因此相干项 $\rho_{12}$ 和 $\rho_{21}$ 的布洛赫方程直接决定了介质的光学响应。通过求解这些方程，我们可以求出 $P$ 并将其代入之前推导的麦克斯韦波动方程中。麦克斯韦方程组与光学布洛赫方程的自洽解构成了完整的麦克斯韦-布洛赫模型，这是半经典激光理论的基石。

麦克斯韦-布洛赫方程

我们现在就差最后一步：将经典电磁波动方程与原子的量子力学演化结合起来，形成了麦克斯韦-布洛赫方程组，这个强大的半经典框架使我们能够预测介质如何重塑在其中传播的光。

从由麦克斯韦方程组推导而来、带源项的电磁波动方程出发

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=-\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{P}}{\partial t^2}$

场的源项是介质的宏观极化强度 $\mathbf{P}$ ，而极化强度 $\mathbf{P}$ 也并非一个独立变量，它是由介质内部原子的量子态（即密度矩阵）所决定的。

$\begin{aligned} & \mathbf{P}=n\mathbf{p} \\[1em] & \mathbf{p}=\mathrm{Tr}[\rho ex]=\rho_{12}ex_{21}e^{i\omega t}+\rho_{21}ex_{12}e^{-i\omega t} \\[1em] & \frac{d}{dt}\rho_{12}=(i\Delta-\frac{\Gamma}{2})\rho_{12}+i\Omega^{*}(\rho_{11}-\rho_{22}) \\[1em] & \frac{d}{dt}\rho_{21}=(-i\Delta-\frac{\Gamma}{2})\rho_{21}-i\Omega(\rho_{11}-\rho_{22}) \\[1em] & \frac{d}{dt}\rho_{22}=-i\Omega\rho_{12}+i\Omega^{*}\rho_{21}-\gamma\rho_{22} \\[1em] & \Omega=|\mathbf{E}|\cdot e\cdot x_{21} \end{aligned}$

其中 $\Gamma = \gamma + \gamma_d$ 是能量弛豫和纯退相干的总速率； $\mathbf{p}$ 中的指数项 $e^{\pm i \omega t}$ 来自旋转框架的幺正算符。由 $E$ 的方程与 $\rho$ 的布洛赫方程组成的自洽方程组，构成了完整的麦克斯韦-布洛赫模型。场 $E$ 驱动原子 ( $\rho$ )，而原子反过来产生极化强度 $P$ ，充当场 $E$ 的源。

我们经常在弱驱动（低激光强度）的假设下寻找稳态解 ( $d\rho/dt = 0$ )，此时布居数主要处于基态 ( $\rho_{11} - \rho_{22} \approx 1$ )，这就是线性光学区域。根据 $d\rho_{12}/dt = 0$ 的第一个布洛赫方程，我们得到

$\rho_{12}=\frac{i\Omega^*(\rho_{11}-\rho_{22})}{-i\delta+\frac{\Gamma}{2}}$

代入 $\Omega = E e x_{12}/\hbar$ 并定义偶极矩阵元 $d_{12} = e x_{12} = (e x_{21})^*$ ，我们得到

$\begin{aligned} \langle p\rangle & =\rho_{12}x_{21}+\rho_{21}x_{12} \\[1em] & =\frac{i\Omega^{*}d_{12}(\rho_{11}-\rho_{22})}{\hbar(-i\delta+\frac{\Gamma}{2})}+\mathrm{c.c.} \\[1em] & =\left[\dfrac{Ed_{12}^{2}\delta}{\hbar(\delta^{2}+\frac{\Gamma^{2}}{4})}+\dfrac{iEd_{12}^{2}\frac{\Gamma}{2}}{\hbar(\delta^{2}+\frac{\Gamma^{2}}{4})}\right](\rho_{11} - \rho_{22})e^{i\omega t}+\mathrm{c.c.} \end{aligned}$

我们也知道，极化强度 $P$ 可以用电极化率 $\chi$ 来表征：

$P=n\langle p\rangle=\epsilon_0\chi E$

将上式代入，我们得到介质的电极化率（弱激发下 $\rho_{11}-\rho_{22}\approx1$ ）

$\chi=\frac{ne^{2}d_{12}^{2}}{\epsilon_{0}\hbar}\frac{i(\rho_{11}-\rho_{22})}{-i\delta+\dfrac{\Gamma}{2}}\approx\frac{ne^2d_{12}^2}{\epsilon_0\hbar}\frac{i}{-i\delta+\dfrac{\Gamma}{2}}$

那么 $\chi$ 的实部和虚部分别为

$\mathrm{Re}\chi\propto\frac{\delta}{\delta^2+\dfrac{\Gamma^2}{4}} \qquad \qquad \mathrm{Im}\chi\propto\dfrac{\dfrac{\Gamma}{2}}{\delta^2+\dfrac{\Gamma^2}{4}}$

复极化率 $\chi = \chi' + i\chi''$ 编码了介质的所有线性光学性质：

虚部 ( $\chi''$ )：吸收

$\begin{aligned} \chi'' \propto \frac{\Gamma/2}{\delta^2 + (\Gamma/2)^2} \end{aligned}$

这是一个以 $\Delta = 0$ 为中心的洛伦兹线型，代表了原子对光的吸收，吸收在共振时 ( $\Delta = 0$ ) 达到最大，半高全宽为 $\Gamma$ 。
实部 ( $\chi'$ )：色散

$\chi' \propto \frac{\Delta}{\Delta^2 + (\Gamma/2)^2}$

这是一个色散线型，表示因原子存在导致的折射率变化。其在共振时为零，对于蓝失谐 ( $\Delta > 0$ ) 为正，对于红失谐 ( $\Delta < 0$ ) 为负。这一项修正了光在介质中的相速度，有效地改变了折射率 $n_{\text{ref}}$ 。