Trivial

本章主要介绍了二次量子化。首先引入了全同粒子，并讨论了全同粒子的波函数以及置换算符；然后介绍了二次量子化的基本概念，包括费米子的反对称态以及占据数态，从反对称态到占据数态的表象变换过程就是二次量子化，并通过费米子的产生和湮灭算符推导出了单体算符和双体算符在占据数表象下的表达式；最后介绍了单体和双体算符分别在不同表象下的表示，先是能量基下的单体算符，然后介绍了坐标基和动量基下的单体和双体算符。

本章主要介绍了量子力学中的三种对称性。首先介绍了晶格平移对称性，求解了紧束缚模型下的能量本征态，并推导了布洛赫定理，还分别得出了无限晶格和有限晶格下的能谱；然后介绍了空间反演对称性，引入了宇称算符，并简单介绍了宇称不守恒定理和对称性自发破缺；最后是时间反演对称性，通过经典和量子中的时间反演，确定了时间反演算符是一个反幺正算符，其对波函数的作用就是取复共轭，还讨论了自旋下的时间反演算符的具体形式及作用。

本章主要介绍了带电粒子与电磁场的相互作用。首先在非相对论情况下讨论了坐标的海森堡运动方程，还得到了电磁场中带电粒子的波函数运动方程，并验证了连续性方程；然后讨论了规范 U(1) 阿贝尔情况下的规范不变性，尤其是局域规范不变性；接着讨论了均匀静磁场中的带电粒子，得出了朗道能级，还介绍了著名的 AB 效应；最后讨论含时哈密顿量在绝热近似下的态演化，得出了 berry 相位。

本章主要介绍了一些基础理论。首先介绍了亥姆霍兹分解，任意场都可以表示为散度和旋度的组合；然后介绍了傅里叶变换，并给出了两个具体的案例；最后引入了线性响应理论，给出了色散关系。

本章主要介绍了 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ 群的不可约表示。首先通过构造基函数并使用 SU(2) 群元进行变换得到了 SU(2) 群的表示矩阵，还分别证明了该表示的幺正性、不可约性以及完备性，且给出了 SU(2) 群的分类方法及特征标计算式；然后说明了 $SO(3)$ 群的不可约表示为 SU(2) 群的不可约表示中的一部分，那么就和 SU(2) 群的表示矩阵性质相同，都是不等价不可约幺正表示，并引入了双群的概念，SO(3) 的双群能够和 SU(2) 群一一对应，属于同构，还使用双群描述了自旋空间的旋转。

本章主要介绍了量子轨迹法。首先引入了Lindblad主方程确定性和量子力学随机性的矛盾，指出了整体和单体之间的差异；然后利用一阶蒙特卡洛波函数方法给出了量子轨迹的基本计算步骤，并对多个单条量子轨迹求平均，复原了Lindblad主方程的系综解，并给出了具体的二能级系统代码验证这一过程；最后证明了了量子轨迹法和Lindblad主方程在数学上是等价的。

本章主要介绍了矢量算符。首先给出了矢量算符的局域定义和全局定义；然后给出了球谐坐标基下的转动，也定义球谐坐标下的矢量算符，还介绍了算符空间；最后扩展了矢量算符，给出了张量算符的定义。

本章主要介绍了自旋 1/2 转动算符和角动量的合成。首先针对单个的自旋 1/2 转动，通过 SU(2) 群及其与 SO(3) 群的关系，得到自旋转动算符，且推导了自旋共振中的拉比公式，描述了转动坐标系下的拉比振荡物理图像。然后介绍了角动量的合成，先例举了自旋轨道耦合和自旋耦合，然后针对一般的情况，给出了角动量的叠加性质，再之后引入了两种基矢之间的变换和 C-G 系数，最后再细化到 L-S 耦合，计算了 C-G 系数和两个子空间的投影算符。