群的表示

算符表示

算符表示：对任意群 $G$ ，如果存在一个作用在线性矢量空间 $V$ 上的算符群（也就是线性算符群） $\Gamma_G$ 且群 $G$ 与 $\Gamma_G$ 间存在同态映射，即

$f: g\in G \mapsto \Gamma _g \in \Gamma_G,\qquad \Gamma_{g_i} \Gamma_{g_j} = \Gamma_{g_ig_j}$

那么称算符群 $\Gamma_G$ 为群 $G$ 的一个表示，线性矢量空间 $V$ 的维数称为该表示的维数。
如果这个同态同时也是同构，则该表示称为忠实表示，否则为非忠实表示

原像是群 $G$ ，像是算符群 $\Gamma_G$ ，映射是同态映射

矩阵表示

但线性算符的表示也不方便，因此我们需要找到一组基，进一步将线性算符表示为矩阵。这样，我们就跳过了中间商线性算符，直接将群 $G$ 的元素映射为矩阵，操作如下：

选定一组基 ${\bm{e}_i}$ ，当线性算符 $\Gamma_g$ 作用于基矢 $\bm{e}_i$ 时，有

$\Gamma_g \bm{e}_i = \sum_j \bm{e}_j D_{ji}(g)$

因为 $\Gamma_g \bm{e}_{\color{red}{i}} = \sum_j \bm{e}_j D_{j\color{red}{i}}(g)$ ， $D$ 的第 $i$ 个基 $\bm{e}_i$ 常称为第 $i$ 列基。

可以证明

$D\left(g_i\right)D\left(g_j\right)=D\left(g_ig_j\right)$

矩阵表示：因此 $G$ 到 $D\left(G\right)$ 也是一个同态映射。我们将 $D\left(G\right)$ 称为群 $G$ 的矩阵表示，简称表示。 ${\bm{e}_i}$ 为该表示的基，矩阵的维数 $d$ 即为表示的维数。这样，我们就用可以用一个具体的矩阵群表示一个抽象群。

称群 $G$ 的表示矩阵的迹为群 $G$ 的特征标

$\chi(g) = \mathrm{Tr} \left(D\left(g\right)\right)=\sum^d_{i=1}D_{ii}\left(gg\right)\qquad \forall g \in G$

任何群都有一个特殊表示：每个群元都映射到 $1$ 上（恒等表示）

$D\left(g\right)=1 \qquad \forall g \in G$

在别的定义中可能会出现奇异的表示矩阵，但我们今后只研究非奇异表示矩阵

不等价不可约幺正表示

表示矩阵取决于基的选择，这说明一个群的表示有无穷多个，接下来我们研究几个特殊的表示

幺正表示

幺正表示：如果表示 $D\left(g\right)$ 中的每个矩阵都是幺正矩阵 $D^{-1}\left(g\right)=D^\dagger\left(g\right)$ 的话，则该表示称为幺正表示。

等价表示

等价表示：设 $D\left(G\right)$ 和 $D'\left(G\right)$ 都是群 $G$ 的 $d$ 维表示，且存在一个 $d$ 维的非奇异矩阵 $S$ 使得对 $\forall g \in G$ 都有

$D'\left(g\right)=S^{-1}D\left(g\right) S$

则称 $D\left(G\right)$ 和 $D'\left(G\right)$ 互为等价表示

张成同一表示空间的两组基 $\{\bm{e}_i\}$ 和 $\{\bm{e}'_i\}$ 荷载的两个表示等价：虽然两个表示在矩阵形式上发生了变化，但依旧等价（例如选取不同基矢的旋转矩阵相互等价）

$S$ 是基矢的变换矩阵，对所有表示群元 $S$ 都保持不变，因此可以写为 $D'=S^{-1}DS$

例：设哈密顿算符作用在两个不同表象下的完备基 $\bra{n}$ 和 $\bra{m}$ 下可分别写为（在量子力学中基一般取右矢，为了对应群论内容，这里改成了左矢）

$\hat{H}\bra{n}=\bra{n}H_1 \qquad \hat{H}\bra{m}=\bra{m}H_2$

其中 $H_1$ 和 $H_2$ 分别是哈密顿量在两个基矢下的矩阵形式。有 $\bra{n}$ 到 $\bra{m}$ 的变换：

$\bra{m}=\bra{n} S$

两边同时右乘 $S^{-1}$ 可得到 $\bra{m}$ 到 $\bra{n}$ 的变换：

$\bra{n}=\bra{m} S^{-1}$

将 $\bra{n}$ 的哈密顿算符作用式中 $\bra{n}$ 替换为 $\bra{m}$

$\hat{H}\bra{m}S^{-1}=\bra{m}S^{-1}H_1$

两边同时右乘 $S$

$\hat{H}\bra{m}=\bra{m}S^{-1}H_1 S$

对比 $\bra{m}$ 的哈密顿算符作用式，有

$H_2=S^{-1}H_1S$

关于等价和幺正的几个定理

定理：有限群 $G$ 的任何（非奇异）矩阵表示 $D\left(G\right)$ 都有等价的幺正表示

也就是说任何表示都可以通过相似（基）变换为一个幺正表示

证明用到了线性代数中一个定理：任何厄米或幺正矩阵都可以通过适当的幺正矩阵相似于对角矩阵

这样，对于任意一个非幺正的表示，我们都可以找到它的等价幺正表示，我们只需关心幺正表示。

定理：两个等价的幺正变换总可以通过幺正相似变换联系起来

可约表示

可约表示：如果群的表示 $D\left(G\right)$ 可以通过同一相似变换化为如下形式

$D\left(g\right)= \begin{pmatrix} D_1\left(g\right) & R\left(g\right) \\ 0 & D_2\left(g\right) \end{pmatrix} \qquad \forall g \in G$

则 $D\left(G\right)$ 称为可约表示。如果矩阵 $R\left(g\right)=0$ 则称之为完全可约表示。如果表示 $D\left(G\right)$ 无法通过相似变换化为上述方块上三角的形式，则称其为不可约表示。

可约表示不一定是块对角形式，只要其与可约表示等价，那就是可约表示

对于完全可约表示 $D\left(g\right)= \begin{pmatrix} D_1\left(g\right) & 0 \\ 0 & D_2\left(g\right) \end{pmatrix},\forall g \in G$ ，则称 $D\left(G\right)$ 是 $D_1\left(G\right)$ 和 $D_2\left(G\right)$ 的直和

$D\left(G\right)=D_1\left(G\right) \oplus D_2\left(G\right)$

基 $\{\bm{e}_i\}$ 张成的表示空间 $V$ 是 $G$ 的不变空间（因为表示 $D$ 作用于基矢 ${\bm{e}_i}$ 后得到的新基矢 $\{\bm{e}'_i\}$ 仍在空间 $V$ 内），如果完全可约，则有

$\Gamma_g\left(\textcolor{red}{\bm{e}_1 \cdots \bm{e}_{d_1}} ,\textcolor{blue}{\bm{e}_{d_1+1} \cdots \bm{e}_{d}} \right)=\left(\textcolor{red}{\bm{e}_1 \cdots \bm{e}_{d_1}} ,\textcolor{blue}{\bm{e}_{d_1+1} \cdots \bm{e}_{d}} \right) \begin{pmatrix} \textcolor{red}{D_1\left(g\right)} & 0 \\ 0 & \textcolor{blue}{D_2\left(g\right)} \end{pmatrix}$

其中 $d$ 为表示的维数 $d=d_1+d_2$ ，在这时 $D_1\left(g\right)$ 只对 $\{\bm{e}_1 \cdots \bm{e}_{d_1}\}$ 作用，而 $D_2\left(g\right)$ 只对 $\{\bm{e}_{d_1+1} \cdots \bm{e}_{d}\}$ 作用

$\begin{align*} \Gamma_g\left(\textcolor{red}{\bm{e}_1 \cdots \bm{e}_{d_1}} \right)&=\left(\textcolor{red}{\bm{e}_1 \cdots \bm{e}_{d_1}}\right)\textcolor{red}{D_1}\left(g\right)\\ \Gamma_g\left(\textcolor{blue}{\bm{e}_{d_1+1} \cdots \bm{e}_{d}} \right)&=\left(\textcolor{blue}{\bm{e}_{d_1+1} \cdots \bm{e}_{d}}\right)\textcolor{red}{D_2}\left(g\right) \end{align*}$

基 $\left(\textcolor{red}{\bm{e}_1 \cdots \bm{e}_{d_1}}\right)$ 和 $\left(\textcolor{blue}{\bm{e}_{d_1+1} \cdots \bm{e}_{d}}\right)$ 分别张成 $G$ 的两个不变子空间 $V_1$ 和 $V_2$ ，即 $V=V_1+V_2$

由于每一个块对角矩阵都可以继续约化直至不可约，因此我们给出可约表示的另一个定义：如果群 $G$ 的一个表示及其等价表示没有非平凡的不变子空间，那么这个表示称为不可约表示，否则为可约表示

平凡的不变子空间：该空间自身、只包含零矢量的空间

定理：对有限群，可约表示一定是完全可约的

舒尔引理

舒尔引理一：与群 $G$ 的不可约表示 $D\left(G\right)$ 中所有矩阵都对易的非零矩阵 $A$ 必为单位矩阵的常数倍

$AD\left(g\right)=D\left(g\right)A \qquad \forall g \in G \quad \Rightarrow \quad A=\lambda I \qquad \lambda \in \mathbb{C}$

推论一：若有非单位矩阵常数倍的非零矩阵 $A$ 与群的某一表示的所有矩阵都对易，那么该表示必为可约表示；反之若表示可约，则必有非单位矩阵常数倍的非零矩阵 $A$ 与该表示的所有矩阵都对易

推论二：若除单位矩阵常数倍外，没有任何非零矩阵 $A$ 与群的某一表示的所有矩阵都对易，那么该表示必为不可约表示

舒尔引理二：设 $D^{(p)}\left(G\right)$ 和 $D^{(q)}\left(G\right)$ 分别是群 $G$ 的两个不可约表示，维数分别是 $d_p$ 和 $d_q$ ，如果存在一个 $d_p \times d_q$ 的矩阵 $M$ 使得

$MD^{(p)}\left(g\right)=D^{(q)}\left(g\right)M, \qquad \forall g \in G$

那么有

若 $d_p \neq d_ q$ ，则 $M=0$
若 $p=q$ ，则或者 $M=0$ 或者 $\mathrm{det}M \ne 0$

如果两个表示的维数相同，则他们等价，那么就存在一个幺正矩阵 $M$ 使得 $D^{(q)}\left(g\right)=M^{-1}D^{(p)}\left(g\right)M$ ，因此 $M$ 可逆。

舒尔引理二相比于舒尔引理一的区别在于，舒尔引理一中 $A$ 是方阵，而舒尔引理二中 $M$ 可以可以是长方阵，且 $D^{(p)}$ 和 $D^{(q)}$ 可以是两个不同的表示，维数可以不同。

正交性定理

表示矩阵元的正交性定理

设 $D^{p}\left(G\right)$ 和 $D^{q}\left(G\right)$ 分别是群 $G$ 的两个不可约表示，维数分别是 $d_p$ 和 $d_q$ ，则有

$\sum_{g \in G} D^{p}\left(g\right)_{\mu\nu}^* D^{q}\left(g\right)_{\mu'\nu'} = \frac{|G|}{d_p} \delta_{pq} \delta_{\mu\mu'} \delta_{\nu\nu'}$

其中 $D^{p}\left(g\right)_{\mu\nu}$ 表示 $D^{p}\left(g\right)$ 的第 $\mu$ 行第 $\nu$ 列的元素， $|G|$ 是群 $G$ 的阶。

注意：此处的 $p$ 和 $q$ 不是前面文定义的两个不同表示的标记，而是表示第 $p$ 个和第 $q$ 个不可约不等价幺正表示。也就是说， $p=q$ 时表示同一个不可约表示； $p\ne q$ 时表示两个不等价不表示。

此处的 $\mu,\nu$ 是固定不变的，是对所有群元矩阵的同一行同一列元素求和。

所有指标相等时才有非零结果

取 $p=q$ ， $\mu=\nu$ ， $\mu'=\nu'$ ，有

$\sum_{g \in G} |D^{p}\left(g\right)_{\mu\nu}|^2 = \frac{|G|}{d_p}$

构造两个矢量

$\begin{align*} \bm{v}^{\left(p,\mu,\nu\right)}&=\frac{d_p}{|G|}\left(D^{p}_{\mu\nu}\left(g_1\right),D^{p}\left(g_2\right)_{\mu\nu},\cdots,D^{p}\left(g_{|G|}\right)_{\mu\nu}\right) \\[5pt] \bm{v}^{\left(q,\mu',\nu'\right)}&=\frac{d_q}{|G|}\left(D^{q}_{\mu'\nu'}\left(g_1\right),D^{q}\left(g_2\right)_{\mu'\nu'},\cdots,D^{q}\left(g_{|G|}\right)_{\mu'\nu'}\right) \end{align*}$

两矢量具有以下性质

$\left(\bm{v}^{\left(p,\mu,\nu\right)*}, \bm{v}^{\left(q,\mu',\nu'\right)}\right)=\bm{v}^{\left(p,\mu,\nu\right)*}\cdot \bm{v}^{\left(q,\mu',\nu'\right)}=\delta_{pq}\delta_{\mu\mu'}\delta_{\nu\nu'}$

设总共有 $r$ 个不等价不可约表示，分别为 $D^{(1)}\left(G\right),D^{(2)}\left(G\right),\cdots,D^{(r)}\left(G\right)$ ，其维数分别为 $d_1,d_2,\cdots,d_r$ ，则 $|G|$ 维矢量 $\bm{v}^{\left(p,\mu,\nu\right)}$ 的个数为

$n_{\bm{v}}=d_1^2+d_2^2+\cdots+d_r^2=\sum^r_{p=1}d_p^2$

总共有 $\sum^r_{p=1}d_p^2$ 个这样的矢量。所有的 $\bm{v}^{\left(p,\mu,\nu\right)}$ 矢量相互正交，必线性无关，又由于这些矢量都是 $|G|$ 维的， $n$ 维空间至多含有 $|G|$ 个线性无关的矢量，因此

$\sum^r_{p=1}d_p^2 \le |G|$

特征标的正交性定理

设 $\mathcal{X}^{(p)}\left(G\right)$ 和 $\mathcal{X}^{(q)}\left(G\right)$ 分别是群 $G$ 的两个不等价不可约表示的特征标，那么有

$\sum_{g \in G} \mathcal{X}^{(p)}\left(G\right)^* \mathcal{X}^{(q)}\left(G\right) = |G| \ \delta_{pq}$

由于相似变换不改变矩阵的迹，那么特征标是类的函数，那么上式可写为

$\sum_{g \in G} \mathcal{X}^{(p)}\left(g\right)^* \mathcal{X}^{(q)}\left(g\right) =\sum_{C} k_c \mathcal{X}^{(p)}\left(C\right)^* \mathcal{X}^{(q)}\left(C\right) =|G| \ \delta_{pq}$

其中 $k_c$ 为共轭类元素的个数。与矩阵元的正交性定理类似，我们同样可以构造矢量

$\bm{v}^{\left(p\right)}=\left(\sqrt{\frac{k_1}{|G|}}\mathcal{X}^{(p)}\left(C_1\right),\sqrt{\frac{k_2}{|G|}}\mathcal{X}^{(p)}\left(C_2\right),\cdots,\sqrt{\frac{k_{n_c}}{|G|}}\mathcal{X}^{(p)}\left(C_{n_c}\right)\right)$

矢量的维数是类的个数 $n_c$ ，不同表示的矢量相互正交

$\left(\bm{v}^{\left(p\right)*}, \bm{v}^{\left(q\right)}\right)=\bm{v}^{\left(p\right)*}\cdot \bm{v}^{\left(q\right)}=\delta_{pq}$

矢量的个数是不等价不可约表示的个数 $r$ ，且矢量之间线性无关，因此

$r \le n_c$

表示的约化

设 $D\left(G\right)$ 是群 $G$ 的一个可约表示， $D\left(G\right)$ 的特征标为 $\mathcal{X}\left(g\right)$ ，则 $D\left(G\right)$ 中第 $p$ 个不等价不可约表示 $D^{(p)}\left(G\right)$ 出现的次数为

$a_p=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \mathcal{X}^{(p)}\left(g\right)^* \mathcal{X}\left(g\right) = \frac{1}{|G|} \sum_{C} k_c \underbrace{\mathcal{X}^{(p)}\left(C\right)^*}_{\text{不可约共轭类}} \underbrace{\mathcal{X}\left(C\right)}_{\text{可约共轭类}}$

式中求和是在约化系数对应表示的共轭类中进行的。根据约化系数表达式，只要知道了所有不等价不可约表示的特征标，就可以知道任何表示约化后的结构及组成，因此，表示 $D\left(G\right)$ 可以约化为不等价不可约表示的直和

$D\left(G\right)=a_1 D^{(1)}\left(G\right) \oplus a_2 D^{(2)}\left(G\right) \oplus \cdots \oplus a_r D^{(r)}\left(G\right)$

等价表示和不可约表示的判据

等价表示的判据定理：群的两个表示等价的充要条件是有相同的特征标

不可约表示的判据定理：群的一个表示不可约的充要条件是其特征标满足

$\sum_{g \in G} |\mathcal{X}\left(g\right)|^2 = |G|$

不可约表示的维数定理

若将 $n$ 阶群 $G$ 中每个元素 $g_i$ 看成一个基矢量 $|g_i\rangle$ ，则这 $n$ 个基矢量构成一个 $n$ 维的线性空间 $V_R$ ，其基为 $\{|g_1\rangle, |g_2\rangle, \dots, |g_n\rangle\}$ 。同时，每个群元 $g_k$ 还可以看作是空间 $V_R$ 上的一个线性变换

$\textcolor{blue}{g_k}|g_{\textcolor{red}{j}} \rangle = |g_k g_j\rangle=\sum_{i=1}^{n}|g_i\rangle D_{i{\textcolor{red}{j}} }^R \left(\textcolor{blue}{g_k}\right)$

线性变换： $\hat{L}\mathbf{a} = \sum_i \left(\hat{L}\mathbf{e}_i\right)a_i = \sum_{i}\left(\sum_{j}\mathbf{e}_j L_{ji}\right)a_i = \sum_j \mathbf{e}_j \left(\sum_i L_{ji}a_i\right)$

可见以 $|g_1\rangle, |g_2\rangle, \dots, |g_n\rangle$ 为基矢可以确定群 $G$ 的一个 $n$ 维表示 $D^R\left(G\right)$ ，其矩阵元为

$D_{ij}^R\left(g_k\right)=\begin{cases} 1, & \text{if } g_i = g_k g_j \left(OR \quad g_ig_j^{-1}=g_k\right)\\ 0, & \text{if } g_i \neq g_k g_j \left(OR \quad g_ig_j^{-1}\neq g_k\right) \end{cases}$

这个表示称为群 $G$ 的正规表示。对于每个正规表示的特征标，有

$\mathcal{X}^R\left(g\right)=\mathrm{Tr}\left(D^R\left(g\right)\right)=\begin{cases} 0, & \text{if } g \neq e \\ n, & \text{if } g = e \end{cases}$

因此所有 $|G|>0$ 的正规表示都是可约表示。正规表示的约化系数为

$a_p=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \mathcal{X}^{(p)}\left(g\right)^* \mathcal{X}^R\left(g\right) = \frac{1}{|G|} \cdot n \cdot \mathcal{X}^{(p)}\left(e\right)^* = d_p$

某一个表示的单位元的特征标等于该表示的维数

所以正规表示的约化系数等于表示的维数，因此 $D^R\left(G\right)$ 中包含每一个不等价不可约表示 $D^{(p)}\left(G\right)$ ，且每一个表示出现的次数等于该表示的维数。

不可约表示的维数定理：有限群的阶等于所有不等价不可约表示的维数的平方和

$|G|=\sum_{p=1}^{r} d_p^2$

完全（完备）性关系

矩阵元的完备性关系

对于给定群元，将其所有不等价不可约幺正表示的矩阵元 $D^{(p)}_{ij}\left(g\right)$ 看作一个矢量

$\begin{align*} \bm{v}_g&=\left(D^{(1)}_{11}\left(g\right),D^{(1)}_{12}\left(g\right),\cdots,D^{(1)}_{d_1 d_1}\left(g\right),D^{(2)}_{11}\left(g\right),\cdots,D^{(r)}_{d_r d_r}\left(g\right)\right) \\[5pt] \bm{v}_{g'}&=\left(D^{(1)}_{11}\left(g'\right),D^{(1)}_{12}\left(g'\right),\cdots,D^{(1)}_{d_1 d_1}\left(g'\right),D^{(2)}_{11}\left(g'\right),\cdots,D^{(r)}_{d_r d_r}\left(g'\right)\right) \end{align*}$

矢量的个数为 $|G|$ ，维数为 $\sum_{p=1}^{r} d_p^2 = |G|$ 。定义内积

$\left(\bm{v}_g, \bm{v}_{g'}\right)=\bm{v}_g^* \cdot \bm{v}_{g'}=\sum_{p=1}^{r} \sum_{i=1}^{d_p} \sum_{j=1}^{d_p} \frac{d_p}{|G|} D^{(p)}_{ij}\left(g\right)^* D^{(p)}_{ij}\left(g'\right)$

经过证明可以得到矩阵元的完全（完备）性关系：

$\left(\bm{v}_g, \bm{v}_{g'}\right)=\sum_{p=1}^{r} \sum_{i=1}^{d_p} \sum_{j=1}^{d_p} \frac{d_p}{|G|} D^{(p)}_{ij}\left(g\right)^* D^{(p)}_{ij}\left(g'\right) = \delta_{gg'}$