李群的概念

李群的定义

设 $G$ 是一个连续群，其群元 $g(\boldsymbol{\alpha})$ 是 $r$ 个连续可变参数 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 的函数，习惯将 $r$ 个参数写成一个 $r$ 维矢量的形式

$\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r) \qquad g(\boldsymbol{\alpha}) = g(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r)$

为方便，通常选取适当的参数使得单位元的参数为 $\mathbf{0}$ ： $\textcolor{red}{e = g(\mathbf{0})}$ ， $g(\boldsymbol{\alpha})$ 的逆元的参数记为 $\bar{\boldsymbol{\alpha}}$ ： $\textcolor{red}{g(\bar{\boldsymbol{\alpha}}) = g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}}$ （这只是记号上的约定）

群乘关系可通过一个 “组合函数” $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 来描述：

$\textcolor{blue}{g(\boldsymbol{\alpha})g(\boldsymbol{\beta}) = g(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}))}, \qquad \boldsymbol{f} = (f_1, f_2, \cdots, f_r)$

受到群的四个条件限制，组合函数应该满足

$\begin{aligned} g(\boldsymbol{\alpha})g(\boldsymbol{\beta}) \in G \qquad &\Rightarrow \qquad \exists f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) \text{ s.t. } g(\boldsymbol{\alpha})g(\boldsymbol{\beta}) = g(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})) \\[1em] [g(\boldsymbol{\alpha})g(\boldsymbol{\beta})]g(\boldsymbol{\gamma}) = g(\boldsymbol{\alpha})[g(\boldsymbol{\beta})g(\boldsymbol{\gamma})] \qquad &\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{f(f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}), \boldsymbol{\gamma}) = f(\boldsymbol{\alpha}, f(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}))} \\[1em] g(\mathbf{0})g(\boldsymbol{\alpha}) = g(\boldsymbol{\alpha})g(\mathbf{0}) = g(\boldsymbol{\alpha}) \qquad &\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{f(\mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}) = f(\boldsymbol{\alpha}, \mathbf{0}) = \boldsymbol{\alpha}} \\[1em] g(\boldsymbol{\alpha})g(\bar{\boldsymbol{\alpha}}) = g(\bar{\boldsymbol{\alpha}})g(\boldsymbol{\alpha}) = g(\mathbf{0}) = e \qquad &\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{f(\boldsymbol{\alpha}, \bar{\boldsymbol{\alpha}}) = f(\bar{\boldsymbol{\alpha}}, \boldsymbol{\alpha}) = \mathbf{0}} \end{aligned}$

组合函数对群参数连续可微 (解析) 的连续群称为李 (Lie) 群
李群独立参数的数目 $r$ 称为李群的维数 (有的书称阶、秩)
群元参数在有限闭区间内取值的李群称为紧致李群 $\alpha_i \in [a, b]$
否则为非紧致李群 $\alpha_i \in [a, b) \text{ or } (a, b] \text{ or } (a, b)$

选取连续群中数学性质较好的群作为李群。

若群参数空间中任意两点可通过一条完全在参数空间内的线连接起来，则称该群是连通的，连通的李群称为简单李群，否则称为混合李群。简单李群中，两点间连线无法通过连续变化而重合的所有连线的最大组数称为其连通度，连通度为 1 时称为单连通。

如在第三图中为正交矩阵 $Det{R}=\pm 1$ ，参数空间无法连续变化连接起来，只能固定在一个参数空间中，就是不连通。

数学上已证明，对任一个 $n$ 度连通的简单李群 $G$ ，一定存在一个
单连通的简单李群 $G'$ ，使得 $G' \to G$ 间存在 $n:1$ 的同态映射，且
该单连通李群 $G'$ 称为李群 $G$ 的覆盖群。例 $\text{SU}(2)$ 是 $\text{SO}(3)$ 的覆盖
群， $\text{SU}(2)$ 到 $\text{SO}(3)$ 间存在二对一的同态。

李群举例

仅对很简单的李群才能给出组合函数的具体形式，一般情况下则很难得到，组合函数一般只在理论分析时用到。

一般线性变换群 ${\color{red} \text{GL}(n,C)}$ 和 ${\color{red} \text{GL}(n,R)}$

$\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad M(\boldsymbol{\alpha}) = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \cdots & \alpha_{nn} \end{pmatrix}, \quad \begin{aligned} &\boldsymbol{x}' = M(\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{x} \\[0.5em] &\det M(\boldsymbol{\alpha}) \neq0\end{aligned}$

这表示一个线性变换矩阵，且作为一个群元，我们要求其具有逆元，所以要求矩阵行列式不为零。

若 $\alpha_{ij} \in \mathbb{C}$ ，则所有 $M(\boldsymbol{\alpha})$ 构成 $\text{GL}(n, \mathbb{C})$ ，具有 ${\color{red} 2n^2}$ 个实参数
若 $\alpha_{ij} \in \mathbb{R}$ ，则所有 $M(\boldsymbol{\alpha})$ 构成 $\text{GL}(n, \mathbb{R})$ ，具有 ${\color{red} n^2}$ 个实参数

若限定 $\det M(\boldsymbol{\alpha}) = 1$ ，则构成特殊线性变换群 $\text{SL}(n,C)$ 和 $\text{SL}(n,R)$
$\text{SL}(n,C)$ 有 ${\color{red} 2n^2 - 2}$ 个实参数， $\text{SL}(n,R)$ 有 ${\color{red} n^2 - 1}$ 个实参数
幺正线性变换(矩阵)的群体构成幺正群 $\color{red} \text{U(n,C) = \text{U}(n)}$

$\boldsymbol{z} = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix},\qquad \begin{aligned} &\boldsymbol{z}' = U(\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{z} \\[0.5em] &U(\boldsymbol{\alpha})U(\boldsymbol{\alpha})^+ = I \\[0.5em] &U(\boldsymbol{\alpha})^+U(\boldsymbol{\alpha}) = I \end{aligned} \quad \begin{aligned} \qquad &|\det U(\boldsymbol{\alpha})|^2 = 1 \\[0.5em] &\det U(\boldsymbol{\alpha}) = e^{i\delta} \end{aligned}$

$(UU^+)_{ij}=\sum_{k=1}^nU_{ik}U_{kj}^+=\sum_{k=1}^nU_{ik}U_{jk}^*=\delta_{ij}$
- $i = j$ 时 $\sum_k |U_{ik}|^2 = 1, \quad i=1,2,\cdots,n$ 给出 $n$ 个实约束方程
这要求对于每个群元都有 $U_{ik}\le1$
- $i < j$ 时 $\sum_k U_{ik} U_{jk}^* = 0$ , 给出 $n(n-1)/2$ 个复约束方程，相当于 $n(n-1)$ 个实约束方程
- $i > j$ 时给出的约束方程与 $i < j$ 时相同
总共 $n(n-1) + n = n^2$ 个约束方程，跟 $\text{GL}(n,C)$ 比较，可得 $\text{U}(n)$ 的独立参数为 $2n^2 - n^2 = \textcolor{red}{n^2}$ 个。

根据幺正矩阵的定义，可知 $U\left(n\right)$ 是保持复 $n$ 维空间向量模长不变的变换群，为紧致李群：

$(U\mathbf{z})^+(U\mathbf{z})=\mathbf{z}^+U^+U\mathbf{z}=\mathbf{z}^+\mathbf{z}=|z_1|^2+|z_2|^2+\cdots+|z_n|^2$
特殊幺正群 ${\color{red} \text{SU}(n)}$

在 $\text{U}(n)$ 的基础上，加上限制 $\det U(\boldsymbol{\alpha}) = e^{i\delta} = 1$ ，便得到了 $\text{SU}(n)$ 群，约束条件 $\delta = 0$ 使独立参数减少一个，为 $\textcolor{red}{n^2 - 1}$ 个。
实正交群 ${\color{red} \text{O}(n,R)= \text{O}(n)}$

所有 $n\times n$ 的实正交矩阵构成 $\text{O}(n)$ 实正交群，满足

$x' = R(\boldsymbol{\alpha})x, \quad R(\boldsymbol{\alpha})R(\boldsymbol{\alpha})^T = R(\boldsymbol{\alpha})^TR(\boldsymbol{\alpha}) = I \quad \Rightarrow \det R(\boldsymbol{\alpha}) \quad = \pm 1$

$(RR^T)_{ij}=\sum_kR_{ik}R_{kj}^T=\sum_kR_{ik}R_{jk}=\delta_{ij}\quad \begin{cases} i=j\text{ 时 }\quad n\text{ 个限制} \\[1em] i\neq j\text{ 时 }\quad n(n-1)/2\text{ 个限制} & \end{cases}$

独立参数的个数为 $n^2 - [n + n(n-1)/2] = \textcolor{red}{n(n-1)/2}$ 个。

$\text{O}(n)$ 群为实 $n$ 维空间的转动，保持向量长度不变：

$(R\boldsymbol{x})^T(R\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^TR^TR\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$

实正交群 $O(n)$ 是幺正群 $U(n)$ 的子群，也就是说，正交矩阵是幺正矩阵在实数域上的特例
特殊实正交群 ${\color{red} \text{SO}(n)}$

在 $\text{O}(n)$ 的基础上，加上限制 $\det R(\boldsymbol{\alpha}) = 1$ ，便得到了 $\text{SO}(n)$ 群，但该限制条件并不减少独立参数的个数，所以 $\text{SO}(n)$ 群的独立参数仍为 $\textcolor{red}{n(n-1)/2}$ 个。

连续变化的参数个数并没有减少，只是变化的范围变小了。
保持 $x_1^2+\cdots+x_p^2-\left(x_{p+1}^2+\cdots+x_{p+q}^2\right)$ 不变的变换构成 $\textcolor{red}{\text{O}(p,q)}$ 群，再加一个限制条件行列式为 $1$ 则成为 $\textcolor{red}{\text{SO}(p,q)}$ 群，他们是非紧致的。

无穷小生成元

无穷小生成元的定义

设群 $G$ 是一个 $r$ 参数李群

$g(\boldsymbol{\alpha})\in G,\quad\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r})\in\mathrm{R}^{r}$

因 $g(\boldsymbol{\alpha})$ 关于参数 $\boldsymbol{\alpha}$ 是解析函数，可对其求导，取参数使
$g(\mathbf{0}) = e = I$ ，则 $g(\boldsymbol{\alpha})$ 关于 $\boldsymbol{\alpha}$ 的一阶导数称为无穷小生成元

$\color{red}{X_i = \left. \frac{\partial g(\boldsymbol{\alpha})}{\partial \alpha_i} \right|_{\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}} \quad (i = 1, 2, \cdots, r)}$

单位元的参数在哪就求哪的偏导数

有了导数之后，我们对群元进行泰勒展开

$g(\boldsymbol{\alpha})=g(0)+\sum_{i=1}^r\frac{\partial g(\boldsymbol{\alpha})}{\partial\alpha_i}\bigg|_{\alpha=0}\alpha_i+O(\alpha^2)=I+\sum_{i=1}^r\alpha_iX_i+O(\alpha^2)$

有 $r$ 个参数自然就会有 $r$ 个无穷小生成元 $X_i$ ，它们每一个都是与参数无关的常量，对矩阵群而言，每个 $X_i$ 都是一个确定的 $n\times n$ 矩阵。

可以证明， $\left\{X_i\right\}$ 满足对易关系

$\boxed{[X_i, X_j] = \sum_{k=1}^{r} c_{ij}^k X_k}$

也就是说，任意两个无穷小生成元的对易子仍然可以表示为无穷小生成元的线性组合，系数 $c_{ij}^k$ 是与参数 $\boldsymbol{\alpha}$ 无关的常数，称为李群的结构常数，

李群的结构常数 $c_{ij}^k$ 与参数 $\boldsymbol{\alpha}$ 无关，且必然满足如下性质

$\boxed{c_{ij}^k=-c_{ji}^k}$

$\boxed{\sum_{\textcolor{red}p=1}^{r} \left( c_{\color{blue}i\color{blue}j}^{\color{red}p} c_{\color{red}p \color{blue}k}^{q} + c_{\color{blue}j\color{blue}k}^{\color{red}p} c_{\color{red}p \color{blue}i}^{q} + c_{\color{blue}k\color{blue}i}^{\color{red}p} c_{\color{red}p \color{blue}j}^{q} \right) = 0}$

无穷小生成元的简便计算

我们刚刚是在已知群元关于参数的解析表达式的情况下，直接求导得到无穷小生成元 $X_i$ 。但有时候，我们只知道群元的物理作用而不知道群元的表达式，这时该如何计算无穷小生成元呢？

以 $\text{SO}(2)$ 群为例，设一无穷小转动为 $g=I+\varepsilon$ ，其中 $\varepsilon$ 为小量，由正交性

$g^T g = I \quad \Rightarrow \quad (I + \varepsilon)^T (I + \varepsilon) = I + \varepsilon^T + \varepsilon + O(\varepsilon^2) = I$

保留至一阶小量，那么有 $\varepsilon^T=-\varepsilon$ ，即正交性要求小量 $\varepsilon$ 应是一个反对称矩阵。又因为正交矩阵都是实矩阵，所以一个 $2\times 2$ 的反对称矩阵只有一个可变参数，即

$\varepsilon = \begin{pmatrix} 0 & -\alpha \\[0.5em] \alpha & 0 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[0.5em] 1 & 0 \end{pmatrix} = \alpha X$

对于多参数群元 $\varepsilon = \sum_{i=1}^r \alpha_i X_i$

无穷小生成元的作用：

由无穷小生成元可以得到和单位元连通的群元的一般表达式
或者说简单李群中任意群元可以用无穷小生成元生成

若是混合李群，则只能生成和单位元连通的那部分群元

一般地，对于一个 $r$ 参数李群 $G$ ，当参数 $\delta \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}/N$ 很小时，有

$g(\delta\boldsymbol{\alpha})=g\left(\frac{\boldsymbol{\alpha}}{N}\right)=I+\sum_{i=1}^r\delta\alpha_iX_i=I+\sum_{i=1}^r\frac{\alpha_i}{N}X_i$

再根据 $\text{SO}(2)$ 转动操作的连乘性质 $g(\alpha)=\left[g\left(\dfrac{\alpha}{N}\right)\right]^N$

$\boxed{\quad g(\alpha)=\lim_{N\to\infty}\left[g\left(\frac{\alpha}{N}\right)\right]^N=\lim_{N\to\infty}\left[I+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^r\alpha_iX_i\right]^N=\exp\left(\sum_{i=1}^r\alpha_iX_i\right)}$

但是，这是在 $\text{SO}(2)$ 群转动操作具有连乘性质的前提下成立的，也就是“参数在同一方向上的两群元相乘所得群元的参数等于二者参数相加，即组合函数满足 $f\left(x\boldsymbol{\alpha}, y\boldsymbol{\alpha} \right)= \left(x+y\right) \boldsymbol{\alpha}$ ，其中 $x, y$ 为任意实数”。但是，对于一个复杂的李群，当给定确定的参数化形式后，未必满足上述条件，所以，对给定参数化形式的李群，上式未必成立！但是，如果只是给定无穷小生成元，我们总是可以假定上述条件成立，于是总是存在该李群的一种参数化形式使得式成立。

也就是说，同一个李群的不同的参数化形式可以有完全相同的一组无穷小生成元，但是上式确定的参数化形式却只是其中满足条件的一种参数化形式（满足蓝字部分）。

幺模（行列式为 1）群的无穷小生成元都是无迹的

无穷小算符

李群群元对 $n$ 维坐标空间中的坐标矢量变换 $x^{\prime}=g(\boldsymbol{\alpha})x$ ，会导致对函数空间的变换 $\begin{aligned} F^{\prime}(x) & =\hat{\Gamma}(\alpha)F(x) =F[g(\alpha)^{-1}x] \end{aligned}$ 。

当 $\boldsymbol{\alpha}$ 无穷小时 $g\left(\boldsymbol{\alpha}\right)^{-1}$ 为无穷小群元（无穷接近单位元），令

$g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x} \quad \Rightarrow \quad F(g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}\boldsymbol{x})=F(\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x})=F(\boldsymbol{x})+dF(\boldsymbol{x})$

函数出现的变化 $dF(\boldsymbol{x})$ 由小参量 $\boldsymbol{\alpha}$ 引起，若我们设 $dF(\boldsymbol{x})$ 是由一个算符作用引起的，即 $dF(\boldsymbol{x})=\hat{X}(\boldsymbol{\alpha})F(\boldsymbol{x})$ ，则算符 $\hat{X}(\boldsymbol{\alpha})$ 应是怎样的呢？

根据全微分

$dF(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial F(x)}{\partial x_i}dx_i$

我们首先计算 $d\boldsymbol{x}$ ：

$d\boldsymbol{x}=g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}=\left(I-\sum_{\lambda=1}^r\alpha_\lambda X_\lambda\right)\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}=-\sum_{\lambda=1}^r\alpha_\lambda X_\lambda \boldsymbol{x}$

那么每个分量为

$dx_i = \textcolor{red}{-} \sum_{\lambda=1}^{r} \alpha_\lambda \textcolor{red}{(X_\lambda x)_i} = \sum_{\lambda=1}^{r} \textcolor{red}{U_{\lambda,i}(x)} \alpha_\lambda$

代入全微分中得到

$\begin{aligned} dF(\boldsymbol{x}) &= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial F(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} \sum_{\lambda=1}^{r} U_{\lambda,i}(\boldsymbol{x}) \alpha_\lambda = \sum_{\lambda=1}^{r} \alpha_\lambda \textcolor{red}{\left[ \sum_{i=1}^{n} U_{\lambda,i}(\boldsymbol{x}) \frac {\partial}{\partial x_i} \right]} F(\boldsymbol{x}) \\[1em] &=\sum_{\lambda=1}^r\alpha_\lambda\textcolor{red}{\hat{X}_\lambda} F(\boldsymbol{x})=\hat{X}(\alpha)F(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$

又因为我们定义了

$U_{\lambda,i}(\boldsymbol{x})\equiv(-X_\lambda \boldsymbol{x})_i=-\sum_{j=1}^nX_{\lambda,ij}x_j$

所以我们定义无穷小算符 $\hat{X}_\lambda$ （和徐书定义不同）

$\boxed{\hat{X}_\lambda=\sum_{i=1}^nU_{\lambda,i}(\boldsymbol{x})\frac{\partial}{\partial x_i}=-\sum_{i,j=1}^nx_jX_{\lambda,ij}\frac{\partial}{\partial x_i}\quad(\lambda=1,2,\cdots,r)}$

注意： $\hat{X}_\lambda$ 是作用在函数上的无穷小算符，而 $X_\lambda$ 第 $\lambda$ 个参数的无穷小生成元，是一个 $r\times r$ 矩阵

由上式可以看出，第 $\lambda$ 个无穷小算符 $\hat{X}_\lambda$ 依赖于第 $\lambda$ 个无穷小生成元 $X_\lambda$ 。若 $\alpha$ 中只有 $\alpha_\lambda$ 分量不为零，其他分量全为零，记此时群元为 $g(\alpha_\lambda)$ ，则由该无穷小群元引起的函数变化为 $dF(\boldsymbol{x})=\alpha_\lambda\hat{X}_\lambda F(\boldsymbol{x})$

$\hat{X}_\lambda$ 的含义：第 $\lambda$ 个参量的单位变化所引起的函数变化 $dF(\boldsymbol{x})=\hat{X}_\lambda F(\boldsymbol{x})$ 。（若不为单位变化，则乘以该参量的变化值即可 $dF(\boldsymbol{x})=\alpha_\lambda\hat{X}_\lambda F(\boldsymbol{x})$ ）

把上面讨论的参数 $\boldsymbol{\alpha}$ 替换为 $\delta \boldsymbol{\alpha}$ ，则引起的函数变化为

$F[g(\delta\boldsymbol{\alpha})^{-1}\boldsymbol{x}]=F[g(\delta\bar{\boldsymbol{\alpha}})\boldsymbol{x}]=F(\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x})=F(\boldsymbol{x})+dF(\boldsymbol{x})=\left(1+\sum_{\lambda}\delta\alpha_{\lambda}\hat{X}_{\lambda}\right)F(\boldsymbol{x})$

对于有限大小的参数 $\boldsymbol{\alpha}$ ，可以设置 $\delta\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}/N$ 为小参数，应用上式得到

$F\left[g\left(\frac{\overline{\boldsymbol{\alpha}}}{N}\right)g\left(\frac{\overline{\boldsymbol{\alpha}}}{N}\right)\boldsymbol{x}\right]\approx\left(1+\sum_\lambda\frac{\alpha_\lambda}{N}\hat{X}_\lambda\right)F\left[g\left(\frac{\overline{\boldsymbol{\alpha}}}{N}\right)\boldsymbol{x}\right]=\left(1+\sum_\lambda\frac{\alpha_\lambda}{N}\hat{X}_\lambda\right)^2F(\boldsymbol{x}) \\[1em] F\left[g\left(\frac{\overline{\boldsymbol{\alpha}}}{N}\right)^N\boldsymbol{x}\right]=F\left[g\left(\frac{\overline{\boldsymbol{\alpha}}}{N}\right)\cdotp\cdotp\cdotp g\left(\frac{\overline{\boldsymbol{\alpha}}}{N}\right)\boldsymbol{x}\right]\approx\left(1+\sum_\lambda\frac{\alpha_\lambda}{N}\hat{X}_\lambda\right)^NF(\boldsymbol{x})$

在特定情况下有

$F\left[g\left(\frac{\overline{\alpha}}{N}\cdot N\right)\boldsymbol{x}\right]=F\left[g\left(\frac{\overline{\alpha}}{N}\right)^N\boldsymbol{x}\right]\approx\left(1+\sum_\lambda\frac{\alpha_\lambda}{N}\hat{X}_\lambda\right)^NF(\boldsymbol{x})$

取极限 $N\to\infty$ ，则有

$F[g(\bar{\boldsymbol{\alpha}})\boldsymbol{x}]=\lim_{N\to\infty}\left(1+\frac{1}{N}\sum_{\lambda}\alpha_{\lambda}\hat{X}_{\lambda}\right)^{N}F(\boldsymbol{x})=\exp\left(\sum_{\lambda}\alpha_{\lambda}\hat{X}_{\lambda}\right)F(\boldsymbol{x})$

最后可以得到李群群元对函数空间的变换为

$\boxed{\hat{\Gamma}(\alpha)F(x)=F[g(\overline{\alpha})x]=F\left[\exp\left(-\sum_\lambda\alpha_\lambda X_\lambda\right)x\right]=\exp\left(\sum_\lambda\alpha_\lambda \hat{X}_\lambda\right)F(x)}$

和用无穷小生成元构造群元的表达式类似

$\quad g(\alpha)=\exp\left(\sum_{i=1}^r\alpha_iX_i\right)$

只是一个指数部分是无穷小算符 $\hat{X}_\lambda$ ，一个是无穷小生成元 $X_\lambda$ 。可以证明两个无穷小算符的对易

$\boxed{[\hat{X}_\mu,\hat{X}_\nu]=\sum_\lambda c_{\mu\nu}^\lambda\hat{X}_\lambda}$

对比无穷小生成元的对易关系

$\begin{bmatrix} X_\mu,X_\nu \end{bmatrix}=\sum_\lambda c_{\mu\nu}^\lambda X_\lambda$

可见无穷小算符和无穷小生成元满足相同的对易关系，因而给出相同的结构常数，后面将指出它们满足相同的李代数。

总结

无穷小生成元可以生成无穷小群元

$g(\varepsilon)=I+\sum_\lambda\varepsilon_\lambda X_\lambda$

无穷小生成元可以生成和单位元连通的任意群元

$g(\boldsymbol{\alpha})=\exp\left(\sum_\lambda\alpha_\lambda X_\lambda\right),\quad g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}=g(\overline{\boldsymbol{\alpha}})=g(-\boldsymbol{\alpha})$

每一个无穷小生成元 $X_\lambda$ 都一一对应一个无穷小算符 $\hat{X}_\lambda$ ，它们满足相同的对易关系

$\hat{X}_\lambda=-\sum_{i,j=1}^nx_jX_{\lambda,ij}\frac{\partial}{\partial x_i}$

无穷小算符可以生成和单位算符连通的任意算符

$\hat{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha})F(\boldsymbol{x})=F[g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}\boldsymbol{x}]=\exp\left(\sum_\lambda\alpha_\lambda\hat{X}_\lambda\right)F(\boldsymbol{x}) \\[1em] \Rightarrow \quad \textcolor{red}{\hat{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha})=\exp\left(\sum_\lambda\alpha_\lambda\hat{X}_\lambda\right)}$

无穷小算符可用矩阵写成更简洁的形式

$\begin{aligned} \hat{X}_{\lambda} & =-\sum_{i,j=1}^nx_jX_{\lambda,ij}\frac{\partial}{\partial x_i}=-\sum_{i,j=1}^nx_j(X_\lambda^T)_{ji}\frac{\partial}{\partial x_i}=-(x_1,x_2,\cdots,x_n)X_\lambda^T \begin{pmatrix} \partial/\partial x_1 \\ \partial/\partial x_2 \\ \vdots \\ \partial/\partial x_n \end{pmatrix} \\ & =-\boldsymbol{x}^T\cdot X_\lambda^T\cdot\nabla_x \end{aligned}$

可见，如果体系在某种对称群的变换下保持不变，那么该体系必存在相应的某个守恒量。对称性与守恒量的这一关系通常称为诺特 (Noether) 定理。

一个群必存在恒等表示，相应的基在所有群元作用下不变。若体系在所有群元作用下不变，必存在与体系相关的某个量可作为恒等表示的基。

群上的不变积分

不变积分的定义

对有限群 $G$ 的群元 $g$ 的函数 $F(g)$ 有重排定理

$\sum_{g\in G}F(g)=\sum_{g\in G}F(g^{\prime}g)=\sum_{g\in G}F(gg^{\prime}),\quad\forall g^{\prime}\in G$

但是对于无限群，求和可能发散，这时便失去了意义。对群元函数的求和推广到连续群 $G$ ，求和变为积分，应有

$\begin{aligned} \int_GF(g)d\tau_g =\int F[g(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)]\rho(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)d\alpha_1\cdots d\alpha_r =\int F[g(\alpha)]\rho(\alpha)d\alpha \end{aligned}$

其中 $d\tau_g=\rho(\boldsymbol{\alpha})d\boldsymbol{\alpha}$ 为积分测度（参数空间的体积元）， $\rho(\boldsymbol{\alpha})$ 为权函数或密度函数。

这个可以类比 $dV=dxdydz$ 和 $dV=r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$ 的关系， $\rho(\boldsymbol{\alpha})$ 的作用就类似于 $r^2\sin\theta$ 。

若对 $\forall g^{\prime}\in G$ ，都有

$\int F(g^{\prime}g)d_L\tau_g=\int_GF(g)d_L\tau_g$

则称之为左不变积分， $\rho_L(\boldsymbol{\alpha})$ 为左不变权函数。再做积分哑元替换

$\int_GF(g)d_L\tau_g=\int_GF(g^{\prime}g)d_L\tau_{g^{\prime}g}$

那么应该有

$d_L\tau_g=d_L\tau_{g^{\prime}g}\quad \Rightarrow \quad\rho_L(\alpha)d\alpha=\rho_L(\gamma)d\gamma$

其中 $\gamma$ 为 $g^{\prime}g$ 的参数。

同理若对 $\forall g^{\prime}\in G$ ，都有

$\int F(gg^{\prime})d_R\tau_g=\int_GF(g)d_R\tau_g=\int_GF(gg^{\prime})d_R\tau_{gg^{\prime}}$

则称之为右不变积分， $\rho_R(\boldsymbol{\alpha})$ 为右不变权函数，且同样有

$d_R\tau_g=d_R\tau_{gg^{\prime}}\quad\rho_R(\alpha)d\alpha=\rho_R(\gamma^{\prime})d\gamma^{\prime}$

其中 $\gamma^{\prime}$ 为 $gg^{\prime}$ 的参数。

若积分既是左不变的又是右不变的，即对 $\forall g^{\prime}\in G$ ，都有

$\int F(g^{\prime}g)d\tau_g=\int F(gg^{\prime})d\tau_g=\int_GF(g)d\tau_g$

若将上式的积分替换为求和，则得到了有限群的情况。但是对于连续群以及李群，这样的不变积分未必存在

则积分是不变的，有不变测度 $d\tau_g$ ，满足 $d\tau_g=d\tau_{gg^{\prime}}=d\tau_{g^{\prime}g}$ ，进一步还有

$\rho(\alpha)d\alpha=\rho(\gamma)d\gamma=\rho(\gamma^{\prime})d\gamma^{\prime}$

可见不论积分是左不变、右不变还是不变，任意群元的积分测度都相等。

不变权函数的计算

设 $g^{\prime}=g(\beta),g^{\prime}g=g(\gamma)$ ，则有 $\boldsymbol{\gamma}=f(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})$ ， $\boldsymbol{f}$ 为组合函数。对易给定的 $g^{\prime}$ （即 $\boldsymbol{\beta}$ ），测度不变要求 $\rho(\boldsymbol{\alpha})d\boldsymbol{\alpha}=\rho(\boldsymbol{\gamma})d\boldsymbol{\gamma}$ ，那么

$\begin{aligned} & \boxed{\rho(\boldsymbol{\alpha})}d\boldsymbol{\alpha}=\rho(\boldsymbol{\gamma})d\boldsymbol{\gamma}=\rho(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}))d\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})=\boxed{\rho(f(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}))\textcolor{red}{\left|\frac{\partial(f_1,f_2,\cdots,f_r)}{\partial(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)}\right|}}d\boldsymbol{\alpha} \\[1em] & \Rightarrow\quad\rho(\boldsymbol{\alpha})=\rho(f(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}))\textcolor{red}{|J(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})|} \end{aligned}$

其中 $J(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})$ 为雅可比行列式

$J(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})=\frac{\partial(f_1(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}),\cdots,f_r(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}))}{\partial(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)}= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial\alpha_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial\alpha_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial\alpha_r} \\[1em] \dfrac{\partial f_2}{\partial\alpha_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial\alpha_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_2}{\partial\alpha_r} \\[1em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1em] \dfrac{\partial f_r}{\partial\alpha_1} & \dfrac{\partial f_r}{\partial\alpha_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_r}{\partial\alpha_r} \end{vmatrix}$

既然 $\boldsymbol{\beta}$ 是任意的，那么我们取 $\boldsymbol{\beta}=\overline{\boldsymbol{\alpha}}$ ，得到权函数的计算公式

$\boxed{\rho(\boldsymbol{\alpha})=\rho(f(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha}))|J(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})|=|J(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})|\rho(0)}$

可通过 $g^{-1}\partial g/\partial\alpha_i$ 按无穷小生成元展开来计算不变权函数 $\rho(\boldsymbol{\alpha})$ ：

任取一群元 $g(\boldsymbol{\beta})$ ，则有

$g(\boldsymbol{\beta})\frac{\partial g(\boldsymbol{\alpha})}{\partial\alpha_i}=\frac{\partial g(\boldsymbol{\beta})g(\boldsymbol{\alpha})}{\partial\alpha_i}=\frac{\partial g(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}))}{\partial\alpha_i}=\sum_j\frac{\partial g(\boldsymbol{f})}{\partial f_j}\frac{\partial f_j(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})}{\partial\alpha_i}$

取 $\boldsymbol{\beta}=\overline{\boldsymbol{\alpha}}$ ，则有 $f(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})=f(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})=0,g(\boldsymbol{\beta})=g(\overline{\boldsymbol{\alpha}})=g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}$ 代入上式，得到

$g(\boldsymbol{\alpha})^{-1}\frac{\partial g(\boldsymbol{\alpha})}{\partial\alpha_i}=\sum_j\frac{\partial g(\boldsymbol{f})}{\partial f_j}|_{f=\boldsymbol{0}}\frac{\partial f_j(\bar{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})}{\partial\alpha_i}=\sum_jX_j\frac{\partial f_j(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})}{\partial\alpha_i}=\sum_jX_jA_{ji}(\boldsymbol{\alpha})$

其中 $|\det A(\boldsymbol{\alpha})|$ 的定义与雅各比行列式相同 $|J(\overline{\alpha},\alpha)|=\rho(\alpha)/\rho(0)$ ，于是有

$\boxed{\frac{\rho(\boldsymbol{\alpha})}{\rho(0)}=|J(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})|=|\det A(\boldsymbol{\alpha})|,\quad g^{-1}\frac{\partial g}{\partial\alpha_i}=\sum_jX_jA_{ji}(\boldsymbol{\alpha})}$

现在已知雅各比行列式了，要计算权函数 $\rho(\boldsymbol{\alpha})$ ，还需要知道 $\rho(\boldsymbol{0})$ 的值，可用群空间体积为 $1$ （归一化）来确定 $\rho(\boldsymbol{0})$ ：

$\int_Gd\tau_g=\int_G\rho(\boldsymbol{\alpha})d\boldsymbol{\alpha}=\int_G|J(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})|\rho(\boldsymbol{0})d\boldsymbol{\alpha}=1\quad \Rightarrow \quad \rho(0)=\left[\int_G|J(\overline{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\alpha})|d\boldsymbol{\alpha}\right]^{-1}$