电磁场的哈密顿量严格地说是源自拉格朗日量，这是如何推导出的？矢势 $\bf{A}$ 为什么是比 $\bf{E}$ 和 $\bf{B}$ 更根本的物理量？本章将简单介绍电磁场的拉格朗日表述、相对论协变表述。

协变矢量和逆变矢量

伽利略变换中，空间几何关系不变，长度完全不变

$\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2=\mathrm{d}x'^2+\mathrm{d}y'^2+\mathrm{d}z'^2$

狭义相对论指出：所有物理规律在不同惯性系下具有相同的数学形式。光速不变原理使得我们不能使用伽利略变换，需要使用洛伦兹变换。若两个参考系沿 $x$ 方向相对移动，洛伦兹变换具有以下形式

$\begin{align*} \mathrm{c}t'&=\gamma\left(\mathrm{c}t-\frac{v}{\mathrm{c}}\cdot x\right)\\ x'&=\gamma\left(x-\frac{v}{\mathrm{c}}\cdot \mathrm{c}t\right) \\ y'&=y \\ z'&=z \end{align*}$

和伽利略变换相同，相对论在任何参考系也具有以下不变性：

$\mathrm{d}s^2=-\mathrm{c}^2\mathrm{d}t^2+\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2$

我们称 $s$ 为固有时（proper time），常规矢量只有三项而上式有四项，为了得到上式，我们构造两个含时的4-矢量

$\begin{align*} \text{逆变 $4$ -矢量} \qquad x^\mu&=\left(ct,x^1,x^2,x^3\right)^T \\[3pt] \text{协变 $4$ -矢量} \qquad x_\mu&=\left(-ct,x_1,x_2,x_3\right)^T \end{align*}$

那么逆变 $4$ -矢量和协变 $4$ -矢量的洛伦兹变换分别是

$(x')^\mu=\Lambda_\nu^\mu x^\nu \\[3pt] (x')_\mu=\bar{\Lambda}_\nu^\mu x_\nu \\[3pt]$

若将 $\Lambda_\nu^\mu$ 和 $\bar{\Lambda}_\nu^\mu$ 写成洛伦兹矩阵形式（上标为行，下标为列），则有

$\begin{bmatrix} \mathrm{c}t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma v/c & & \\ -\gamma v/c & \gamma & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{c}t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} \\[1em] \begin{bmatrix} -\mathrm{c}t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma & \gamma v/c & & \\ \gamma v/c & \gamma & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\mathrm{c}t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

任何一个满足上式变换的量都是相对论协变的 $4$ -矢量。且两个洛伦兹矩阵互为逆矩阵

$\Lambda^\mu_\alpha \bar{\Lambda}^\nu_\mu=\delta^\nu_\alpha=[\bm{1}]_{4\times4}$

$\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}(x')^\mu \mathrm{d}(x')_\mu=\mathrm{d}x^\nu \Lambda _\nu^\mu \bar{\Lambda}_\mu^\nu \mathrm{d}x_\nu=\mathrm{d}x^\nu \mathrm{d}x_\nu$

4-动量具有如下形式：

$p^u=m_0 \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}s}=m_0 \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d} \tau }=\left(\frac{E}{c},\bf{p}\right)$

其中 $\tau$ 表示静止参考系的时间， $E=m_0c^2\gamma=m_0c^2\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}$ ，再根据 $E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$

$p^\mu p_\mu=-\frac{E^2}{c^2}+p^2=-m_0^2c^2=\mathrm{constant}$

在任意坐标系下， $p^\mu p_\mu$ 始终为一常数，和 $\mathrm{d}s^2$ 一样是不变量。我们说内积始终是一个不变量：

$\left(A'\right)^\mu \left(B'\right)_\mu=\Lambda _\alpha^\mu A^\alpha \bar{\Lambda} ^\beta_\mu B_\beta=A^\alpha B_\alpha$

说明满足相对论协变的 $A^\alpha B_\alpha$ ，在任何惯性系下都是完全不变的

逆变矢量：矢量的变换方式和基矢的变换相同
协变矢量：矢量的变换方式和基矢的变换相反

4-矢量的偏导数

对4-矢量 $x^\mu$ 直接求偏导或利用链式法则间接求偏导可分别写为

$\frac{\partial }{\partial x^\mu} = \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \frac{\partial}{\partial x_3} \right) = \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)$

$\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}\frac{\partial }{\partial x^\nu}=\bar{\Lambda} ^\nu_\mu\frac{\partial }{\partial x^\nu}$

上式利用了 $\bar{\Lambda} ^\nu_\mu$ 和 $\Lambda _\nu^\mu$ 互为逆矩阵。观察第二式我们发现：对逆变矢量求偏导符合协变矢量的变换规则！因此我们将逆变矢量的偏导定义为协变形式，同理将协变矢量的偏导定义为逆变形式

$\begin{align*} \frac{\partial }{\partial x^\mu} &\coloneqq \partial_\mu=\left(\frac{1}{c}\partial_t,\partial _\mathbf{x} \right) \\ \frac{\partial }{\partial x_\mu} &\coloneqq \partial^\mu=\left(-\frac{1}{c}\partial_t,\partial _\mathbf{x} \right) \end{align*}$

对 $\partial _\mu$ 和 $\partial ^\mu$ 做内积得到

$\partial _\mu \partial ^\mu=\frac{1}{c^2}\partial ^2_t + \nabla^2 \coloneqq \Box$

$\Box$ 就是达朗贝尔算符，是一个不变的标量。

度规张量
逆变矢量和协变矢量之间可用度规张量联系

$g^{\mu \nu}=g_{\mu \nu}= \begin{bmatrix} -1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{bmatrix}$

$A_\alpha=g_{\alpha\beta} A^\beta \\ \varLambda^\mu=g^{\mu\nu} \varLambda_\nu$

4-矢量下的物理描述

流密度的4-矢量为 $J^\mu=\left(c\rho,\mathbf{J}\right)$ ，则流守恒为

$\partial_t \rho +\nabla \cdot \mathbf{J}=\partial \mu J^\mu =0$

洛伦兹规范下，有达朗贝尔方程

$\left(\frac{1}{c^2}\partial_t^2- \nabla^2 \right)\mathbf{A}=\mu_0 \mathbf{J}$

取 $\mathbf{A}$ 的4-矢量 $\mathbf{A}^\mu =\left(\phi/c,\mathbf{A}\right)$ ，再结合 $\mathbf{J}$ 的4-矢量，达朗贝尔方程为

$\partial _\mu \partial ^\mu A^\nu=-\mu_0 J^\nu$

定义法拉第张量为

$F_{\mu\nu} \coloneqq \partial\mu A_\nu - \partial\nu A_\mu=-F_{\nu\mu}$

$F_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{c}E_x & \frac{1}{c}E_y & \frac{1}{c}E_z \\ -\frac{1}{c}E_x & 0 & B_z & -B_y \\ -\frac{1}{c}E_y & -B_z & 0 & B_x \\ -\frac{1}{c}E_z & B_y & -B_x & 0 \end{bmatrix}$

法拉第张量为一个反对称矩阵。当 $i,j,k=1,2,3$ 时，由法拉第张量可得

$\begin{align*} F_{0i}&=\partial_0 A_i - \partial_i A_0=-\mathbf{E}_i/c \\ F_{ij}&=\partial_i A_j - \partial_j A_i=\varepsilon_{ijk} \mathbf{B}_k \end{align*}$

法拉第张量的洛伦兹变换为

$F_{\mu\nu}=\bar{\Lambda} _\mu^\alpha \bar{\Lambda}_\nu^\beta F_{\alpha \beta}$

电场和磁场是三维矢量，不能直接做洛伦兹变换，但是法拉第张量内部含有电场和磁场且满足洛伦兹变换，经过洛伦兹变换后的法拉第张量能够间接读取新参考系下的电场和磁场。通过法拉第矢量，可以看到Maxwell方程也能写为协变形式

$\begin{align*} \begin{cases} \nabla\cdot\mathbf{E} = {\rho}/{\varepsilon_0} \\[6pt] \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \left(\mathbf{J}+\varepsilon_0\partial_t \mathbf{E}\right) \end{cases} \quad \Longleftrightarrow\quad \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu \\[3em] \begin{cases} \nabla\times\mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{B} \\[6pt] \nabla\cdot\mathbf{B} = 0 \end{cases} \quad \Longleftrightarrow\quad \partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 \end{align*}$

协变形式的第二式源自法拉第张量的恒等式

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k$ ，其中 $\varepsilon_{ijk}$ 遵循轮换规则 $\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=-\varepsilon_{jik}$ 且 $\varepsilon_{123}=1$

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}$

爱因斯坦求和规则：当一个希腊字母指标在乘积中重复出现，就默认求和

$\begin{aligned} (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}))_i = (\delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm}) \partial_j \partial_m A_n = \partial_j (\partial_i A_j) - \partial_j \partial_j A_i = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} \end{aligned}$

电磁场的拉格朗日量

欧拉-拉格朗日方程

拉格朗日密度如下，可以看出它是一个相对论不变量

$\mathscr{L} = -\frac{1}{4\mu_0} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} - J_\mu A^\mu$

最小作用量原理

$\delta S = \delta \int \mathscr{L}\left[A_\nu,\partial_\mu A_\nu \right] \, d^4x =0$

解得欧拉-拉格朗日方程为

$\frac{\partial }{\partial x^\mu} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu A_\nu)} -\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu} = 0$

联立上式与拉格朗日密度和法拉第张量的定义，得到

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu} = -J^\nu, \qquad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu A_\nu)} = -\frac{1}{\mu_0} F^{\mu\nu}$

最终得到了Maxwell方程协变式的第一式

$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$

协变形式的第二式源自法拉第张量的恒等式

动量密度为拉氏密度的正则动量密度

$\Pi^\mu =\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{A}_\mu}=\frac{1}{c}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_0 A_\mu)}$

分别求动量密度的第 $0$ 个分量和第 ${1,2,3}$ 个分量

$\Pi^0 = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_0 A_0)} = 0$

$\Pi^i =\frac{1}{c} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_0 A_i)} = \frac{1}{\mu_0c} \left(\partial^iA^0-\partial^0A^i \right)= \frac{1}{\mu_0c} F_{i0} = -\varepsilon_0 E_i$

对于电磁场而言，电场 $\mathbf{E}$ 就相当于正则动量，矢势 $\mathbf{A}$ 就相当于正则坐标。

哈密顿密度（协变形式）

在无源真空场中且取 $\phi=0$ 时，拉氏密度可进一步写为分量形式

$\mathscr{L} = -\frac{1}{4\mu_0} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} =-\left(\partial_0 A_i - \partial_i A_0 \right)^2+ \left(\partial_i A_j - \partial_j A_i \right)^2 =\frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathbf{E}^2 - \frac{1}{2\mu_0} \mathbf{B}^2$