群

群的条件

  1. 封闭性：∀ gi, gj∈G,gigj=G\forall\ g_i, \ g_j \in G,\quad g_i g_j=G
  2. 结合律：∀ gi, gj, gk∈G,\forall\ g_i, \ g_j, \ g_k \in G,\quad (gigj)gk=gi(gjgk)\left( g_ig_j \right)g_k=g_i\left( g_jg_k \right)
  3. 存在单位元（幺元）：∃ e∈G\exists \ e \in G，使得 egi=gie=gieg_i=g_ie=gi 对 ∀ gi, gj∈G\forall\ g_i, \ g_j \in G 成立
  4. 存在逆元： ∀gi∈G,∃gi−1∈G,\forall g_i \in G, \exists g_i^{-1} \in G, 使得 gi−1gi=gigi−1=eg_i^{-1}g_i=g_ig_i^{-1}=e 成立

群的性质

  1. 有限群 GG 的元素的个数称为有限群的阶，可记为 ∣G∣\left|G\right|
  2. 群中单位元是唯一的
  3. 群中每个元素的逆元是唯一的
  4. 群元 aa 的阶是满足 an=ea^n=e 的最小正整数 nn
  5. 如果由群 GG 的一个最小的群元集合及其乘法关系可以构造出整个群 GG，则这个最小集合中的群元就称为生成元

重排定理

对任意群元 g∈Gg \in G，有

gG = Gg = GgG \ = \ Gg \ =\ G

其中 gG={  ggi∣gi∈G  }gG = \{\; gg_i \mid g_i \in G \;\}，Gg={gig∣gi∈G}Gg=\{g_ig \mid g_i \in G\}

群中的元素没有发生变化，但元素的顺序发生了变化，因此称为重排定理

子群与陪集

子群

子群的定义

  1. 群 GG 的子集 HH 如果在群 GG 的乘法规则下也构成群，那么称群 HH 为 GG 的子群
  2. 一阶群 EE 与 GG 是 GG 的两个平庸子群。除此之外的子群成为 GG 的非平庸子群
  3. 若 H  ≠GH \; \neq G 则称 HH 为 GG 的真子群或固有子群

子群的判别条件

  1. 设 HH 是群 GG 的非空有限子集，那么若 HH 在 GG 的群乘下是封闭的，则 HH 是 GG 的子群
  2. 设 HH 是群 GG 的非空子集，那么若对 ∀hi,hj∈H\forall h_i,h_j \in H，有 hihj−1∈Hh_ih_j^{-1} \in H，则 HH 是 GG 的子群

陪集

陪集的定义

设 HH 是群 GG 的子群，任取 gi∈Gg_i \in G ，则集合

giH={gih∣h∈H}Hgi={hgi∣h∈H}g_iH=\{g_ih \mid h \in H\}\qquad Hg_i=\{hg_i \mid h \in H\}

分别称为子群 HH 的左陪集和右陪集

一般情况下 giH≠Hgig_iH \neq Hg_i

定理

子群 HH 的两个左（右）陪集要么完全相同，要么完全不同（没有相同元素）

  1. 陪集中元素的个数与子群 HH 的阶相等
  2. 除子群 HH 以外的陪集不是子群
  3. 陪集中任意元素都能构造出该陪集

只有在平凡群（阶数为1）中才存在零元，群中的元素不相同，意味着 agi≠agjag_i \neq ag_j

Lagrange定理

有限群 GG 的阶 nn 一定能够被其子群 HH 的阶 nHn_H 整除，即 n/nH=ln/n_H=l ， ll 称为子群 HH 的指数

nn 阶循环群中的每个元素都由 GG 中的元素生成，因此 nn 阶循环群是 GG 的子群，又根据Lagrange定理，nn 阶循环群的阶（群元的阶 nn）只能是 ∣G∣\left|G\right| 的约数

一个群可按照子群的陪集进行分解：

{G=g1H+g2H+g3H+⋯+glHG=Hg1+Hg2+Hg3+⋯+Hgl\left\{ \begin{aligned} & G = g_1H + g_2H + g_3H + \cdots + g_lH \\ & G = H g_1 + H g_2 + H g_3 + \cdots + H g_l \end{aligned} \right.

上面的 gig_i 称为陪集代表元

共轭子群

HH 是 GG 的子群，对任意 g∈Gg\in G ，gHg−1gHg^{-1} 称为 HH 的共轭子群。若

gHg−1=H或gH=HggHg^{-1}=H \quad\text{或} \quad gH=Hg

也就是左陪集 = 右陪集

则称子群 HH 为 GG 的正规子群或不变子群

G/H={H,g2H,g3H,⋯ ,glH}G/H=\{H,g_2H,g_3H,\cdots,g_lH\}

构成群，称为 GG 关于不变子群 HH 的商群，商群中的元素是陪集

共轭元与共轭类

等价关系

用 g1⋈g2g_1 \bowtie g_2 表示两个元素的关系，如果这个关系 ⋈\bowtie 满足以下三个要求，则称之为等价关系

  • 反身性   gi⋈gig_i \bowtie g_i
  • 对称性   gi⋈gj⇒gj⋈gig_i \bowtie g_j \quad \Rightarrow \quad g_j \bowtie g_i
  • 传递性   gi⋈gj  &  gj⋈gk⇒gi⋈gkg_i \bowtie g_j \; \& \; g_j \bowtie g_k \quad \Rightarrow \quad g_i \bowtie g_k

共轭元素与共轭类

对群 GG 中任意元素 gi,gjg_i,g_j ，如果存在 GG 中另一元素 gg 使得

ggig−1=gjgg_ig^{-1}=g_j

则称 gig_i 和 gjg_j 是共轭的（互为共轭元素），记为 gi∼gjg_i \sim g_j

共轭关系是一种等价关系

群 GG 中所有彼此共轭的元素组成的几何称为共轭类，简称类

对一个不变的 gig_i 遍历 g∈Gg \in G ，可以得到不同的 gjg_j

通常用 [ gg ] 表示元素 gg 所在的类中元素的集合，类中元素的个数有时称为类的阶。

类的基本性质

  1. ∀g∈G,gCg−1=C\forall g \in G,\quad gCg^{-1}=C，其中 CC 为群 GG 的一个类
  2. 单位元自成一类
  3. 除单位元外，类不是子群
  4. 不同类中没有共同元素
  5. Abel 群中每个元素自成一类
  6. 同类元素具有相同的阶
  7. 对于矩阵群，同类元素互为相似矩阵，迹相同

不变子群：∀g∈G,gHg−1=H\forall g \in G,\quad gHg^{-1}=H
类\qquad\quad：∀g∈G,gCg−1=C\forall g \in G,\quad gCg^{-1}=C
不变子群和类都满足这个形式

类中的所有元素相互共轭，且一个类中必须包含所有共轭元，不能缺漏

定理一：若 XX 为若干完整类的集合 X=C1+C2+⋯=∑kCkX=C_1+C_2+\cdots=\sum_kC_k，gg 是群 GG 中任意元素，则有 gXg−1=XgXg^{-1}=X 成立。反之，若有 GG 的子集 XX 满足 gXg−1=XgXg^{-1}=X ，则集合 XX 必包含若干完整的类。

推论：不变子群必然包含若干完整的类；反之，包含若干完整类的子群必是不变子群。
也就是说，不变子群是若干类的无交并，这些类完全覆盖不变子群，没有遗漏任何元素。

不变子群和类的关系：不变子群是群，满足封闭性和单位元等；类是等价关系，满足传递性等，并且全体元素互相共轭。

定理二：有限群 GG 的阶 nn 能被其中任意一个类的阶 ncn_c 整除。

证明封闭性的方法：所有元素满足群乘定义

群的同态与同构

同态与同构的定义

设存在一个从群 GG 到群 G′G' 的满映射 f:G→G′f:G \rightarrow G' ，即对 ∀g∈G\forall g\in G 其像 f(g)∈G′f\left(g\right)\in G'，且对 ∀g1,g2∈G\forall g_1,g_2 \in G 满足如下关系

f(g1)f(g2)=f(g1g2)f\left(g_1\right)f\left(g_2\right)=f\left(g_1g_2\right)

那么这个映射就叫做从群 GG 到群 G′G' 的一个同态。如果这个映射还是个双射（一对一且无遗漏），则称之为同构，记为 G≅G′G \cong G'。

  1. 按照定义，映射不可能是多对一
  2. 若记群 GG 的群乘标记为 ∗*，群 G′G' 的群乘标记为 ∘\circ，则同态的定义应该写为

f(g1)∘f(g2)=f(g1∗g2)f\left(g_1\right)\circ f\left(g_2\right)=f\left(g_1 * g_2\right)

  1. 同构是等价关系，同态是非等价关系

如下图所示，若 D3={e,a,b,c,d,f}D_3=\left\{e,a,b,c,d,f\right\}，G2={E,A}G_2=\left\{E,A\right\}，则 {a,b,c}↦A\{a,b,c\} \mapsto A，{e,d,f}↦E\{e,d,f\} \mapsto E，定义域的阶∣G∣>\left|G\right|> 值域的阶 ∣G′∣\left|G'\right|，体现了多对一的特点

同态

同态的多对一是均匀的

同态核

同态核：群 GG 到 G′G' 的同态 ff 中，群 GG 中被映射到 G′G'中单位元的那些元素的集合，称为该同态的核，简称同态核，数学定义为 {g∣g∈G&f(g)=E∈G′}\{g \mid g \in G \quad \& \quad f\left(g\right)=E \in G'\}

  • 群 GG 中的单位元 ee 一定在同态核中
  • 在同态中，逆元的像等于像的逆元

同态定理

同态定理：设 f:G→G′f:G \rightarrow G' 是群 GG 到群 G′G' 的同态，则其同态核 KK 构成 GG 的不变子群，且商群 G/KG/K 与群 G′G' 同构：G/K≅G′G/K \cong G'

Cayley定理

Cayley定理：任意 nn 阶群都同构于置换群 SnS_n 的某个子群

任意 nn 阶矩阵都可通过在左边和上方加一行一列全为 00 的元素扩充为 n+1n+1 阶矩阵，det(n+1)=0\mathrm{det} \left(n+1\right)=0，若不为零的矩阵块为单位矩阵，则 n+1n+1 阶矩阵与自身相乘后得到的还是自身。

群的直积

直积

直积（外直积）：设 G1G_1 和 G2G_2 是两个群，则群的直积 定义为

G1⊗G2={(g1,g2)∣g1∈G1,g2∈G2}G_1 \otimes G_2 = \{(g_1,g_2) \mid g_1 \in G_1, g_2 \in G_2 \}

其群乘定义为

gg′=(g1,g2)(g1′,g2′)=(g1g1′,g2g2′)gg'=(g_1,g_2)(g_1',g_2')=(g_1g_1',g_2g_2')

易证 G1⊗G2G_1 \otimes G_2 在上述乘法下构成群。

若 G1G_1 的群乘标记为 ∗*，G2G_2 的群乘标记为 △\vartriangle，直积的群乘标记为 ∘\circ，则直积的群乘定义应写为

gg′=(g1,g2)∘(g1′,g2′)=(g1∗g1′,g2△g2′)gg'=(g_1,g_2) \circ (g_1',g_2')=(g_1 * g_1',g_2 \vartriangle g_2')

可以看出 G1G_1 和 G2G_2 可以是两个毫无关系的群，直积的阶等于两个群阶的乘积：∣G1⊗G2∣=∣G1∣∣G2∣\left|G_1 \otimes G_2\right|=\left|G_1\right|\left|G_2\right|

直积群

直积群（内直积）：设 G1G_1 和 G2G_2 是两个群，具有相同的群乘定义，且：
1.除单位元外没有共同元素
2.  ∀g1∈G1,∀g2∈G2\forall g_1 \in G_1, \forall g_2 \in G_2，有对易 g1g2=g2g1g_1g_2=g_2g_1
那么 G={g1g2∣g1∈G1,g2∈G2}G=\{g_1g_2 \mid g_1 \in G_1, g_2 \in G_2\} 构成群，称为 G1G_1 和 G2G_2 的直积群，记为 G1⊗G2G_1 \otimes G_2。

  1. 直积群的阶 ∣G∣=∣G1∣∣G2∣\left|G\right|=\left|G_1\right|\left|G_2\right|
  2. G1G_1 和 G2G_2 都是 GG 的不变子群
  3. G/G1≅G2G/G_1 \cong G_2，G/G2≅G1G/G_2 \cong G_1

直积群的构造：如果 G1G_1 和 G2G_2 都是 GG 的不变子群，且只有单位元是共同元素，并且 GG 中任意元素 gg 可以唯一地写为 g=g1g2g=g_1g_2，（g1∈G1,g2∈G2g_1 \in G_1, g_2 \in G_2），那么 GG 就是 G1G_1 和 G2G_2 的直积群：G=G1⊗G2G=G_1 \otimes G_2

直积群是外直积的特殊情况

半直积群

半直积群：设 G1G_1 和 G2G_2 是两个群，具有相同的群乘定义，且：
1.除单位元外没有共同元素
2.  ∀g2∈G2\forall g_2 \in G_2 有 g2G1=G1g2g_2G_1=G_1g_2
那么 G={g1g2∣g1∈G1,g2∈G2}G=\{g_1g_2 \mid g_1 \in G_1,g_2 \in G_2\} 构成群，称为 G1G_1 和 G2G_2 的半直积群，记为 G1⋊G2G_1 \rtimes G_2。

  1. 直积群的阶 ∣G∣=∣G1∣∣G2∣\left|G\right|=\left|G_1\right|\left|G_2\right|
  2. G1G_1 和 G2G_2 都是 GG 的子群，但只有 G1G_1 是不变子群
  3. G/G1≅G2G/G_1 \cong G_2，但 G2G_2 无法做商群

半直积群的构造：如果 G1G_1 和 G2G_2 都是 GG 的子群且 G1G_1 是不变子群，只有单位元是共同元素，并且 GG 中任意元素 gg 可以唯一地写为 g=g1g2g=g_1g_2，（g1∈G1,g2∈G2g_1 \in G_1, g_2 \in G_2），那么 GG 就是 G1G_1 和 G2G_2 的半直积群：G=G1⋊G2G=G_1 \rtimes G_2。

半直积群的条件相比直积群更宽松

  • 指数为 22 的子群必定是不变子群
  • 在同态中，逆元的像等于像的逆元