线性代数回顾

线性变换

在 $n$ 维矢量空间中，有基 $\{\bm{e_1}, \bm{e_2}, \cdots, \bm{e_n}\}$ ，任意矢量 $\bm{a}$ 可被展开为

$\bm{a} = \sum_{i} a_i \bm{e_i}=\sum_{i} \bm{e_i}a_i$

线性算符（满足分配律且不作用于常数） $\hat{L}$ 作用于 $\bm{a}$

$\hat{L}\bm{a} = \sum_i\left(\hat{L}e_i\right)a_i=\sum_i\left(\sum_j e_j L_{ji}\right)a_i=\sum_j e_j \underbrace{\left(\sum_i L_{ji}a_i\right)}_{b_j}=\bm{b}$

可以看出，在基矢不变（只改变下标）的情况下，线性算符矩阵元与系数 $a_i$ 相乘后得到了新的向量系数 $b_j$ ，在矩阵形式下看得更清楚

$\begin{align*} \hat{L}\bm{a}&= \begin{bmatrix} \hat{L}\bm e_1 & \hat{L}\bm e_2 & \cdots & \hat{L}\bm e_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} % 第二行 \\&= \begin{bmatrix} \bm e_1 & \bm e_2 & \cdots & \bm e_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_{11} & L_{12} & \cdots & L_{1n} \\ L_{21} & L_{22} & \cdots & L_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ L_{n1} & L_{n2} & \cdots & L_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} % 第三行 \\&= \begin{bmatrix} \bm e_1 & \bm e_2 & \cdots & \bm e_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} \\&=\bm{b} \end{align*}$

线性算符通过改变一个矢量的系数来得到另一个矢量，基底不变。也就是说给定一组基矢，若算符 $\hat{L}$ 作用于矢量 $\bm{a}$ ，等价于算符矩阵 $L$ 作用于系数 $a$ ，即

$\bm{b} = \hat{L}\bm{a}\quad \Longleftrightarrow \quad b=La$

相似变换

考虑两组不同的基，设有线性变换 $\hat{T}$ ： $\hat{T}\bm{e}_i=\bm{e}_i'=\sum_j e_j T_{ji}$

$\begin{align*} \begin{bmatrix} \bm{e}_1' & \bm{e}_2' & \cdots & \bm{e}_n' \end{bmatrix} % 第一行 &= \begin{bmatrix} \hat{T}\bm{e}_1 & \hat{T}\bm{e}_2 & \cdots & \hat{T}\bm{e}_n \end{bmatrix} % 第二行 \\&= \begin{bmatrix} \bm{e}_1 & \bm{e}_2 & \cdots & \bm{e}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1n} \\ T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{n1} & T_{n2} & \cdots & T_{nn} \end{bmatrix} \end{align*}$

$\hat{T}$ 将基 $\{\bm{e}\}$ 变换为 $\{\bm{e_i}'\}$ ，同理 $\{\bm{e}_i\}$ 可由 $\{\bm{e}'_i\}$ 做逆变换得到

$\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)=\left(\cdots\bm{e}_i\cdots\right)T \quad \Longrightarrow \quad \left(\cdots\bm{e}_i\cdots\right)=\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)T^{-1}$

若矢量 $\bm{a}$ 在两组基下的系数分别为 $a$ 和 $a'$ ，则有

$\bm{a}=\left(\cdots\bm{e}_i\cdots\right)a=\left(\cdots e'_i \cdots \right)T^{-1}a=\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)a'$

矢量 $\bm{b}$ 由 $\bm{a}$ 得到后再换基底可写为

$\begin{align*} \bm{b}&=\hat{L}\bm{a}=\left(\cdots\bm{e}_i\cdots\right)La=\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)T^{-1}La \\ &=\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)T^{-1}L\left(T T^{-1}\right)a=\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)\left(T^{-1}LT\right)\left(T^{-1}a\right) \\ &=\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)L'a'=\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)b' \end{align*}$

	基 $\left\{\bm{e}_i\right\}$	基 $\left\{\bm{e}_i'\right\}$
$\bm{a}$	$a$	$a'$
$\hat{L}$	$L$	$L'$
$\bm{b}$	$b$	$b'$
$\bm{b}=\hat{L}\bm{a}$	$b=La$	$b'=L'a'$

基的变换就是表象变换，矢量及算符是物理存在的，不会随着基改变，但其分量会发生变化

$\left(\cdots\bm{e}_i'\cdots\right)=\left(\cdots\bm{e}_i\cdots\right)T$

$a' = T^{-1}a$

$L' = T^{-1}LT$

$b' = T^{-1}b$