态和算符

左矢和右矢

在物理中，我们假设左矢和右矢是一一对应的

∣A⟩+∣A′⟩↔⟨A∣+⟨A′∣c∣A⟩↔⟨A∣c∗\begin{align*} \ket{A}+\ket{A'} &\leftrightarrow \bra{A}+\bra{A'} \\ c\ket{A} &\leftrightarrow \bra{A}c^* \end{align*}

左矢作用于右矢后得到内积，并满足

⟨A∣B⟩∗=⟨B∣A⟩⟨A∣B⟩†=⟨B∣A⟩\begin{align*} \braket{A|B}^*&=\braket{B|A} \\ \braket{A|B}^\dagger&=\braket{B|A} \end{align*}

共轭 ∗* 和厄米共轭 †\dagger 都可由换位得到
⟨A∣B⟩\braket{A|B} 是一个数，所以厄米与共轭相等

通常令 ⟨A∣A⟩=1\braket{A|A}=1，这就是归一化。但即使归一化后，∣A⟩\ket{A} 也不是完全确定的，因为还存在一个相因子 eiθe^{i\theta}。

算符

假设一个算符 L^\hat{L} 对态的作用可以线性叠加，那么这个算符就称为线性算符

L^(a∣A⟩+b∣B⟩)=aL^∣A⟩+bL^∣B⟩\hat{L}\left(a\ket{A}+b\ket{B}\right)=a\hat{L}\ket{A}+b\hat{L}\ket{B}

线性算符 L^\hat{L} 的厄米共轭定义为

L^∣A⟩↔⟨A∣L^†\hat{L}\ket{A} \leftrightarrow \bra{A}\hat{L}^\dagger

这与 c∣A⟩↔⟨A∣c∗c\ket{A} \leftrightarrow \bra{A}c^* 类似，只是 cc 为数，省去了转置操作。

一个重要的恒等式：

⟨A∣L^∣B⟩=⟨B∣L^†∣A⟩∗ \bra{A}\hat{L}\ket{B}=\bra{B}\hat{L}^\dagger\ket{A}^*

通过 ⟨A∣B⟩†=⟨A∣B⟩∗\braket{A|B}^\dagger=\braket{A|B}^* 记忆这个等式较容易

实的动力学变量对应于厄米算符

定理：如果 F^\hat{F} 是厄米算符，那么 F^n\hat{F}^n 也是厄米算符
定理：如果线性算符 F^\hat{F} 对于一个 ∣P⟩\ket{P} 有 F^m∣P⟩=0\hat{F}^m\ket{P}=0，那么说明 F^∣P⟩=0\hat{F}\ket{P}=0

本征值和本征向量

同一个本征值具有多个本征向量，这就是简并

F^∣ψi⟩=f∣ψi⟩i=1,2,3,⋯ \hat{F}\ket{\psi_i}=f\ket{\psi_i} \qquad i=1,2,3,\cdots

简并的本征态线性叠加后仍是原本征值的本征态

F^(∑ici∣ψi⟩)=∑iciF^∣ψi⟩=∑icif∣ψi⟩=f(∑ici∣ψi⟩) \hat{F}\left(\sum_ic_i\ket{\psi_i}\right)=\sum_ic_i\hat{F}\ket{\psi_i}=\sum_ic_if\ket{\psi_i}=f\left(\sum_ic_i\ket{\psi_i}\right)

我们称一组简并的本征态 {∣ψi⟩}\left\{\ket{\psi_i}\right\} 构成一个简并子空间

厄米算符的性质

关于非厄米线性算符的本征值本征态理论使用较少，如果不做特殊说明，我们之后使用的算符都为厄米算符，以下是厄米算符的一些性质

  1. 本征值都为实数
  2. ⟨n∣\bra{n} 仍是本征值 nn 的右矢（只对于厄米算符）
  3. 两个不同本征值的本征态相互正交

对于一个给定的线性算符，其本征值和本征态不一定总是存在，也没有将全部本征值本征态找出的通用方法。

注意：若 F^\hat{F} 是非厄米算符，F^\hat{F} 对左矢的作用其实是未知的，我们只能通过对 F^∣n⟩=λ∣n⟩\hat{F}\ket{n}=\lambda\ket{n} 取厄米共轭得到 ⟨n∣F^†=⟨n∣λ∗\bra{n}\hat{F}^\dagger=\bra{n}\lambda^*，而不清楚 ⟨n∣F^=?\bra{n}\hat{F}=?，除非我们已知 F^†∣n⟩=β∣n⟩\hat{F}^\dagger\ket{n}=\beta\ket{n}。所以当 F^\hat{F} 是非厄米算符且 F^†∣n⟩=β∣n⟩\hat{F}^\dagger\ket{n}=\beta\ket{n} 未知时，结合律

⟨n∣F^∣m⟩=⟨n∣(F^∣m⟩)=(⟨n∣F^)∣m⟩ \bra{n}\hat{F}\ket{m}=\bra{n}\left(\hat{F}\ket{m}\right)=\left(\bra{n}\hat{F}\right)\ket{m}

最后一项是无法进行计算的

可观测量

若在一个普遍态 Ψ\Psi 下测量一个厄米的动力学变量 F^\hat{F} 时，本征值 {f1,f2,⋯ ,fi}\{f_1,f_2,\cdots,f_i\} 就是所有可能的测量值，也就是说理论上的本征值集合和实验上可能的测量值集合是同一集合，任何态都可以用这些本征态来展开，我们称这些态构成完备集。

态的测量

任何动力学变量的测量值都必须是实数，但不是所有实动力学变量都可以被测量，只有当厄米动力学变量的本征态能形成一个完备集时，才能称作可观测量，当进行测量时，总可以得到其中的一个本征值。

可观测量-<（动力学变量 ↔\leftrightarrow 厄米算符）-<线性算符

可观测量：一个本征态构成完备集的厄米（实）动力学变量

  • 所有的可观测量都是可以测量的
  • 在数学上，厄米动力学变量是否是可观测量很难被证实，但基于大量实验事实，我们可以假定某些动力学变量就是可观测量（例如能量）。

完备关系

希尔伯特空间：1）一个复的矢量空间 2）内积和矢量长度是有限的

只要是具有离散本征态都属于希尔伯特空间，而连续变量（例如平面波）不属于希尔伯特空间

投影算符：P=∣n⟩⟨n∣P= \ket{n}\bra{n}（厄米算符）
封闭性条件：∑n∣n⟩⟨n∣=1\sum_n \ket{n}\bra{n}=1

封闭性条件就是投影算符的加和

本征值个数有限的可观测量

定理：任何本征值 {λn}\{\lambda_n\} 数量有限的可观测量 F^\hat{F} 满足一个代数方程

(F^−λ1)(F^−λ2)⋯(F^−λn)=0 \left(\hat{F}-\lambda_1\right)\left(\hat{F}-\lambda_2\right) \cdots \left(\hat{F}-\lambda_n\right)=0

定理：若一个厄米算符 F^\hat{F} 满足一个最简代数方程，那么

Φ(F^)=F^n+an−1F^n−1+⋯+a1F^+a0=0\Phi\left({\hat{F}}\right)=\hat{F}^n+a_{n-1}\hat{F}^{n-1}+\cdots+a_{1}\hat{F}+a_0=0

1.  Φ(F^)=0\Phi({\hat{F}})=0 有 nn 个本征值 {λn}\{\lambda_n\} 且没有重根（nn为上述方程的最高次幂），且根据代数基本定理，可以将 Φ(F^)\Phi({\hat{F}}) 进行因式分解 Φ(F^)=∏i(F^−λi),λi≠λjifi≠j\Phi({\hat{F}})=\prod_i(\hat{F}-\lambda_i), \quad \lambda_i\ne \lambda_j \quad \mathrm{if} \quad i\ne j
2.  F^\hat{F} 是一个可观测量

平均值

给定两个态 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 和 ⟨Φ∣\bra{\Phi} 和一个算符 F^\hat{F}，若构造 ⟨Φ∣F^∣Ψ⟩\bra{\Phi} \hat{F} \ket{\Psi}，那么就会产生一个复数，且由于 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 和 ⟨Φ∣\bra{\Phi} 中都存在相因子 eiθe^{i\theta} 和 eiαe^{i\alpha}，这个数仍是不确定的。为此我们取相同的态构造 ⟨Ψ∣F^∣Ψ⟩\bra{\Psi} \hat{F} \ket{\Psi}，这样就得到了一个唯一的实数，那么这个“三明治”结构的物理意义是什么呢？

我们说这就是 F^\hat{F} 在态 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 上的值，由于在数学上具有平均值的性质 ⟨Ψ∣F^+P^∣Ψ⟩=⟨Ψ∣F^∣Ψ⟩+⟨Ψ∣P^∣Ψ⟩\bra{\Psi} \hat{F}+\hat{P} \ket{\Psi}=\bra{\Psi} \hat{F} \ket{\Psi}+\bra{\Psi} \hat{P} \ket{\Psi}，在量子力学中就将这设定假定为平均值。

⟨Ψ∣F^∣Ψ⟩=∑n,m⟨Ψ∣n⟩⟨n∣F^∣m⟩⟨m∣Ψ⟩=∑n,m⟨Ψ∣n⟩λmδnm⟨m∣Ψ⟩=∑nλn∣⟨n∣Ψ⟩∣2\bra{\Psi} \hat{F} \ket{\Psi}=\sum_{n,m}\braket{\Psi|n}\bra{n}\hat{F}\ket{m}\braket{m|\Psi}=\sum_{n,m}\braket{\Psi|n}\lambda_m \delta_{nm}\braket{m|\Psi}=\sum_{n} \lambda_n \left|\braket{n|\Psi}\right|^2

若将 ∣⟨n∣Ψ⟩∣2\left|\braket{n|\Psi}\right|^2 看作可观测量 F^\hat{F} 在 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 上测得为 λn\lambda_n 的概率，上式就是 F^\hat{F} 在 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 上的期望，与我们的平均值解释自洽。

概率解释是量子力学中的基本假设，无法被证明；而平均值可通过大量的重复实验（或系统）测得。

矩阵表示

算符矩阵的性质

考虑一个线性算符 L^\hat{L} ，我们可以利用封闭性条件将其展开

L^=∑n,m∣n⟩⟨n∣L^∣m⟩⟨m∣\hat{L}=\sum_{n,m}\ket{n}\bra{n}\hat{L}\ket{m}\bra{m}

若基矢 {n}\{n\} 是 nn 维的，则 n2n^2 个 ⟨n∣L^∣m⟩\bra{n}\hat{L}\ket{m} 排列为一个方阵

L^=˙(⟨1∣L^∣1⟩⟨1∣L^∣2⟩⋯⟨1∣L^∣n⟩⟨2∣L^∣1⟩⟨2∣L^∣2⟩⋯⟨2∣L^∣n⟩⋮⋮⋱⋮⟨n∣L^∣1⟩⟨n∣L^∣2⟩⋯⟨n∣L^∣n⟩) \hat{L}\dot{=} \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{L}\ket{1} & \bra{1}\hat{L}\ket{2} & \cdots & \bra{1}\hat{L}\ket{n}\\ \bra{2}\hat{L}\ket{1} & \bra{2}\hat{L}\ket{2} & \cdots & \bra{2}\hat{L}\ket{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bra{n}\hat{L}\ket{1} & \bra{n}\hat{L}\ket{2} & \cdots & \bra{n}\hat{L}\ket{n} \end{pmatrix}

  • 注意：凡有矩阵必选定基矢，因为矩阵是依赖基矢的，基矢不同，矩阵也就不同，但算符是物理存在的，不随基矢变化
  • 若基矢 {n}\{n\} 是 L^\hat{L} 的本征态，则矩阵是对角的（正交归一条件），且对角元 Lii=⟨i∣λi∣i⟩L_{ii}=\bra{i}\lambda_i\ket{i} 就是本征值（由本征态直接得出）

利用完备性关系，我们有

⟨i∣A^B^∣j⟩=∑k⟨i∣A^∣k⟩⟨k∣B^∣j⟩\bra{i}\hat{A}\hat{B}\ket{j}=\sum_k\bra{i}\hat{A}\ket{k}\bra{k}\hat{B}\ket{j}

即 A^B^\hat{A}\hat{B} 的表示矩阵可由 A^\hat{A} 和 B^\hat{B} 的表示矩阵相乘得到，这对应于群论中的同态 D(g1g2)=D(g1)D(g2)D\left(g_1g_2\right)=D\left(g_1\right)D\left(g_2\right)

迹

F^\hat{F} 的迹可计算为

Tr(F^)=∑i⟨i∣F^∣i⟩\mathrm{Tr}(\hat{F})=\sum_i \bra{i}\hat{F}\ket{i}

  1. Tr(∣n⟩⟨m∣)=⟨m∣n⟩\mathrm{Tr}\left(\ket{n}\bra{m}\right)=\braket{m|n}
  2. 若 X,Y,XX,Y,X 都是线性算符，则满足轮换规则
  • Tr(XY)=Tr(YX)\mathrm{Tr}\left(XY\right)=\mathrm{Tr}\left(YX\right)
  • Tr(XYZ)=Tr(YZX)=Tr(ZXY)\mathrm{Tr}\left(XYZ\right)=\mathrm{Tr}\left(YZX\right)=\mathrm{Tr}\left(ZXY\right)

厄米矩阵

对一个线性算符 F^\hat{F} 有

⟨i∣L^∣j⟩=⟨j∣L^†∣i⟩∗\bra{i}\hat{L}\ket{j}=\bra{j}\hat{L}^\dagger\ket{i}^*

若 F^\hat{F} 是一个厄米算符

⟨i∣L^∣j⟩=⟨j∣L^∣i⟩∗\bra{i}\hat{L}\ket{j}=\bra{j}\hat{L}\ket{i}^*

L=˙(⟨1∣L^∣1⟩⟨1∣L^∣2⟩⋯⟨1∣L^∣n⟩⟨2∣L^∣1⟩⟨2∣L^∣2⟩⋯⟨2∣L^∣n⟩⋮⋮⋱⋮⟨n∣L^∣1⟩⟨n∣L^∣2⟩⋯⟨n∣L^∣n⟩)=(⟨1∣L^∣1⟩⟨2∣L^∣1⟩∗⋯⟨n∣L^∣1⟩∗⟨1∣L^∣2⟩∗⟨2∣L^∣2⟩⋯⟨n∣L^∣2⟩∗⋮⋮⋱⋮⟨1∣L^∣n⟩∗⟨2∣L^∣n⟩∗⋯⟨n∣L^∣n⟩) L\dot{=} \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{L}\ket{1} & \textcolor{red}{\bra{1}\hat{L}\ket{2}} & \textcolor{red}{\cdots} & \textcolor{red}{\bra{1}\hat{L}\ket{n}}\\ \textcolor{blue}{\bra{2}\hat{L}\ket{1}} & \bra{2}\hat{L}\ket{2} & \textcolor{red}{\cdots} & \textcolor{red}{\bra{2}\hat{L}\ket{n}} \\ \textcolor{blue}{\vdots} & \textcolor{blue}{\vdots} & \ddots & \textcolor{red}{\vdots} \\ \textcolor{blue}{\bra{n}\hat{L}\ket{1}} & \textcolor{blue}{\bra{n}\hat{L}\ket{2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \bra{n}\hat{L}\ket{n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{L}\ket{1} & \textcolor{blue}{\bra{2}\hat{L}\ket{1}^*} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{\bra{n}\hat{L}\ket{1}^*}\\ \textcolor{red}{\bra{1}\hat{L}\ket{2}^*} & \bra{2}\hat{L}\ket{2} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{\bra{n}\hat{L}\ket{2}^*} \\ \textcolor{red}{\vdots} & \textcolor{red}{\vdots} & \ddots & \textcolor{blue}{\vdots} \\ \textcolor{red}{\bra{1}\hat{L}\ket{n}^*} & \textcolor{red}{\bra{2}\hat{L}\ket{n}^*} & \textcolor{red}{\cdots} & \bra{n}\hat{L}\ket{n} \end{pmatrix}

  1. 厄米矩阵的对角元是实数
  2. 厄米矩阵的左下角元素和右上角元素是复共轭关系

一般的 nn 维复方阵中总含有 2n22n^2 个自由度（实部+虚部），而厄米矩阵由于性质 11 和性质 22，只有一半的自由度 n2n^2 个自由度

态矢矩阵

一个态 ∣Φ⟩\ket{\Phi} 可用 算符 F^\hat{F} 作用在另一个态 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 得到 ∣Φ⟩=F^∣Ψ⟩\ket{\Phi}=\hat{F}\ket{\Psi}，结合完备性关系有

⟨n∣Φ⟩=⟨n∣F^∣Ψ⟩=∑m⟨n∣F^∣m⟩⟨m∣Ψ⟩\braket{n|\Phi}=\bra{n}\hat{F}\ket{\Psi}=\sum_m\bra{n}\hat{F}\ket{m}\braket{m|\Psi}

令 ∣Φ⟩=˙∑n⟨n∣Φ⟩\ket{\Phi}\dot{=}\sum_n \braket{n|\Phi}，∣Ψ⟩=˙∑n⟨n∣Ψ⟩\ket{\Psi}\dot{=}\sum_n \braket{n|\Psi}，则上式可写为矩阵形式

Φ=FΨ\Phi=F\Psi

(⟨1∣Φ⟩⟨2∣Φ⟩⋮⟨n∣Φ⟩)=(⟨1∣F^∣1⟩⟨1∣F^∣2⟩⋯⟨1∣F^∣n⟩⟨2∣F^∣1⟩⟨2∣F^∣2⟩⋯⟨2∣F^∣n⟩⋮⋮⋱⋮⟨n∣F^∣1⟩⟨n∣F^∣2⟩⋯⟨n∣F^∣n⟩)(⟨1∣Ψ⟩⟨2∣Ψ⟩⋮⟨n∣Ψ⟩)\begin{pmatrix} \braket{1|\Phi} \\ \braket{2|\Phi} \\ \vdots \\ \braket{n|\Phi} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{F}\ket{1} & \bra{1}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{1}\hat{F}\ket{n}\\ \bra{2}\hat{F}\ket{1} & \bra{2}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{2}\hat{F}\ket{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bra{n}\hat{F}\ket{1} & \bra{n}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{n}\hat{F}\ket{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \braket{1|\Psi} \\ \braket{2|\Psi} \\ \vdots \\ \braket{n|\Psi} \end{pmatrix}

同样，对于左矢 ⟨Φ∣=⟨Ψ∣F^\bra{\Phi}=\bra{\Psi}\hat{F} 有

⟨Φ∣n⟩=⟨Ψ∣F^∣n⟩=∑m⟨Ψ∣m⟩⟨m∣F^∣n⟩\braket{\Phi|n}=\bra{\Psi}\hat{F}\ket{n}=\sum_m\braket{\Psi|m}\bra{m}\hat{F}\ket{n}

令 ⟨Φ∣=˙∑n⟨Φ∣n⟩\bra{\Phi}\dot{=}\sum_n \braket{\Phi|n}，⟨Ψ∣=˙∑n⟨Ψ∣n⟩\bra{\Psi}\dot{=}\sum_n \braket{\Psi|n}，写成矩阵形式

Φ=ΨF\Phi=\Psi F

(⟨Φ∣1⟩,⟨Φ∣2⟩,⋯ ,⟨Φ∣n⟩)=(⟨Ψ∣1⟩,⟨Ψ∣2⟩,⋯ ,⟨Ψ∣m⟩)(⟨1∣F^∣1⟩⟨1∣F^∣2⟩⋯⟨1∣F^∣n⟩⟨2∣F^∣1⟩⟨2∣F^∣2⟩⋯⟨2∣F^∣n⟩⋮⋮⋱⋮⟨m∣F^∣1⟩⟨m∣F^∣2⟩⋯⟨m∣F^∣n⟩)\begin{pmatrix} \braket{\Phi|1} , \braket{\Phi|2} , \cdots , \braket{\Phi|n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \braket{\Psi|1} , \braket{\Psi|2} , \cdots , \braket{\Psi|m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{F}\ket{1} & \bra{1}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{1}\hat{F}\ket{n}\\ \bra{2}\hat{F}\ket{1} & \bra{2}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{2}\hat{F}\ket{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bra{m}\hat{F}\ket{1} & \bra{m}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{m}\hat{F}\ket{n} \end{pmatrix}

(⟨1∣Φ⟩∗,⟨2∣Φ⟩∗,⋯ ,⟨n∣Φ⟩∗)=(⟨1∣Ψ⟩∗,⟨2∣Ψ⟩∗,⋯ ,⟨m∣Ψ⟩∗)(⟨1∣F^∣1⟩⟨1∣F^∣2⟩⋯⟨1∣F^∣n⟩⟨2∣F^∣1⟩⟨2∣F^∣2⟩⋯⟨2∣F^∣n⟩⋮⋮⋱⋮⟨m∣F^∣1⟩⟨m∣F^∣2⟩⋯⟨m∣F^∣n⟩)\begin{pmatrix} \braket{1|\Phi}^* , \braket{2|\Phi}^* , \cdots , \braket{n|\Phi}^* \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \braket{1|\Psi}^* , \braket{2|\Psi}^* , \cdots , \braket{m|\Psi}^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{F}\ket{1} & \bra{1}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{1}\hat{F}\ket{n}\\ \bra{2}\hat{F}\ket{1} & \bra{2}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{2}\hat{F}\ket{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bra{m}\hat{F}\ket{1} & \bra{m}\hat{F}\ket{2} & \cdots & \bra{m}\hat{F}\ket{n} \end{pmatrix}

若 F^\hat{F} 是厄米算符，则左矢和右矢中的 FF 矩阵是同一矩阵

基底变换

α\alpha 表象：以 {∣α1⟩,∣α2⟩,⋯ ,∣αn⟩}\{\ket{\alpha_1},\ket{\alpha_2},\cdots,\ket{\alpha_n} \} 作为基底
β\beta 表象：以 {∣β1⟩,∣β2⟩,⋯ ,∣βn⟩}\{\ket{\beta_1},\ket{\beta_2},\cdots,\ket{\beta_n} \} 作为基底

定理：如果 {∣α⟩}\{\ket{\alpha}\} 和 {∣β⟩}\{\ket{\beta}\} 都是正交归一的，那么存在一个幺正算符使得 ∣βn⟩=U∣αn⟩\ket{\beta_n}=U \ket{\alpha_n}

这说明不同基底之间只相差一个幺正变换，我们只要找到一个最便于计算的基底

对两个表象基做内积得到 ⟨αm∣βn⟩=⟨αm∣U∣αn⟩\braket{\alpha_m|\beta_n}=\bra{\alpha_m}U \ket{\alpha_n}，这被称为转换函数，与旧基下的矩阵元相等

考虑任意态 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 在新基 {∣β⟩}\{\ket{\beta}\} 和旧基 {∣α⟩}\{\ket{\alpha}\} 下分量的关系

⟨βn∣Ψ⟩=∑m⟨βn∣αm⟩⟨αm∣Ψ⟩=∑m⟨αn∣U†∣αm⟩⟨αm∣Ψ⟩\braket{\beta_n| \Psi}=\sum_m \braket{\beta_n|\alpha_m}\braket{\alpha_m|\Psi}=\sum_m \bra{\alpha_n}U^\dagger \ket{\alpha_m} \braket{\alpha_m|\Psi}

(⟨β1∣Ψ⟩⟨β2∣Ψ⟩⋮⟨βn∣Ψ⟩)=(⟨1∣U^†∣1⟩⟨1∣U^†∣2⟩⋯⟨1∣U^†∣m⟩⟨2∣U^†∣1⟩⟨2∣U^†∣2⟩⋯⟨2∣U^†∣m⟩⋮⋮⋱⋮⟨n∣U^†∣1⟩⟨n∣U^†∣2⟩⋯⟨n∣U^†∣m⟩)(⟨α1∣Ψ⟩⟨α2∣Ψ⟩⋮⟨αm∣Ψ⟩)\begin{pmatrix} \braket{\beta_1|\Psi} \\ \braket{\beta_2|\Psi} \\ \vdots \\ \braket{\beta_n|\Psi} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{U}^\dagger\ket{1} & \bra{1}\hat{U}^\dagger\ket{2} & \cdots & \bra{1}\hat{U}^\dagger\ket{m}\\ \bra{2}\hat{U}^\dagger\ket{1} & \bra{2}\hat{U}^\dagger\ket{2} & \cdots & \bra{2}\hat{U}^\dagger\ket{m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bra{n}\hat{U}^\dagger\ket{1} & \bra{n}\hat{U}^\dagger\ket{2} & \cdots & \bra{n}\hat{U}^\dagger\ket{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \braket{\alpha_1|\Psi} \\ \braket{\alpha_2|\Psi} \\ \vdots \\ \braket{\alpha_m|\Psi} \end{pmatrix}

再考虑新基 {∣β⟩}\{\ket{\beta}\} 和旧基 {∣α⟩}\{\ket{\alpha}\} 基底的关系

∣βn⟩=U∣αn⟩=∑m∣αm⟩⟨αm∣U∣αn⟩=∑m⟨αn∣U†∣αm⟩∗∣αm⟩\ket{\beta_n}=U \ket{\alpha_n}=\sum_m \ket{\alpha_m}\bra{\alpha_m}U \ket{\alpha_n}=\sum_m \bra{\alpha_n}U^\dagger \ket{\alpha_m}^* \ket{\alpha_m}

(∣β1⟩∣β2⟩⋮∣βn⟩)=(⟨1∣U^†∣1⟩∗⟨1∣U^†∣2⟩∗⋯⟨1∣U^†∣m⟩∗⟨2∣U^†∣1⟩∗⟨2∣U^†∣2⟩∗⋯⟨2∣U^†∣m⟩∗⋮⋮⋱⋮⟨n∣U^†∣1⟩∗⟨n∣U^†∣2⟩∗⋯⟨n∣U^†∣m⟩∗)(∣α1⟩∣α2⟩⋮∣αm⟩)\begin{pmatrix} \ket{\beta_1} \\ \ket{\beta_2} \\ \vdots \\ \ket{\beta_n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bra{1}\hat{U}^\dagger\ket{1}^* & \bra{1}\hat{U}^\dagger\ket{2}^* & \cdots & \bra{1}\hat{U}^\dagger\ket{m}^*\\ \bra{2}\hat{U}^\dagger\ket{1}^* & \bra{2}\hat{U}^\dagger\ket{2}^* & \cdots & \bra{2}\hat{U}^\dagger\ket{m}^* \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bra{n}\hat{U}^\dagger\ket{1}^* & \bra{n}\hat{U}^\dagger\ket{2}^* & \cdots & \bra{n}\hat{U}^\dagger\ket{m}^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ket{\alpha_1} \\ \ket{\alpha_2} \\ \vdots \\ \ket{\alpha_m} \end{pmatrix}

基矢和分量的变化是相反的，一个是 UU，一个是 U†U^\dagger

  • 基矢的变化：∣βn⟩=U∣αn⟩\ket{\beta_{n}}=U\ket{\alpha_{n}}
  • 态在不同基矢下分量的变化：(⟨βn∣Ψ⟩)=U†(⟨αn∣Ψ⟩)\left(\braket{\beta_n|\Psi}\right)=U^\dagger\left(\braket{\alpha_n|\Psi}\right) （分量应是矩阵形式）
  • 算符矩阵在不同表象下的变化：F(β)=U†F(α)UF^{(\beta)}=U^\dagger F^{(\alpha)}U

定理：线性算符 L^\hat{L} 的迹不依赖于表象的选择

定理：幺正算符 U^\hat{U} 在 nn 表象下的矩阵元 Unm=⟨n∣U∣m⟩U_{nm}=\bra{n}U\ket{m}

定理：幺正矩阵的每一行每一列都是相互正交的，且本征值均为相因子 eiθe^{i\theta} 的形式，模均为 11，因此其行列式模 ∣det(U)∣=∣λ1λ2⋯λi∣=eiθ\left|det(U)\right|=\left| \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_i \right|=e^{i\theta}=1$