群论笔记（四）：群表示理论（下）

函数变换和表示的构造

坐标变换：三维空间中矢量 $\mathbf{r}$ 经变换 $R$ 后变为 $\mathbf{r}'=R\mathbf{r}$

函数变换：自变量为矢量 $\mathbf{r}$ 的标量函数 $f(\mathbf{r})$ 的变换

$$f(\mathbf{r}) \rightarrow f'(\mathbf{r}) =\hat{P}_R f(\mathbf{r})$$

变换前后应满足的关系

$$f'(\mathbf{r}')=f(\mathbf{r})$$

那么可以推出

$$f'(\mathbf{r}')=f(\mathbf{r}) \quad \Rightarrow \quad f' (R\mathbf{r})=f(\mathbf{r}) \quad \Rightarrow \quad f'(\mathbf{r})=f(R^{-1}\mathbf{r})=\hat{P}_{R} f(\mathbf{r})$$

$$\hat{P}_R f(\mathbf{r}) = f(R^{-1}\mathbf{r})$$

如果所有变换 $R$ 构成群 $G$，那么变换算符 $\hat{P}_R$ 也构成群 $G_p$，并且它们之间存在同构关系

$$\hat{P}_{R} \hat{P}_{S} = \hat{P}_{RS}$$

群 $G$ 和群 $G_p$ 在数学上是一样的，可以看做是同一变换对不同操作对象的不同表现形式。那么，如果取定一组对该群中变换封闭的函数基 $\{\varphi_i(\mathbf{r})|i=1,2,\ldots,d\}$，便可决定该群的一个表示：

$$\hat{P}_R \varphi_i(\mathbf{r}) =\varphi_i(R^{-1}\mathbf{r}) = \sum_{j=1}^{d} \varphi_j(\mathbf{r}) D_{ji}(R)$$

对称变换群基函数的性质

对称变换：变换前后体系与自身重合

正交矩阵：$R^T=R^{-1}$

与正交矩阵对应的函数变换算符 $\hat{P}_R$ 是幺正的。若定义平方可积的函数内积为

$$\left(\phi\left(\mathbf{r}\right), \psi\left(\mathbf{r}\right)\right)=\braket{\phi\left(\mathbf{r}\right) | \psi\left(\mathbf{r}\right)}=\int \phi\left(\mathbf{r}\right)^{*} \psi\left(\mathbf{r}\right) d \mathbf{r}$$

可以证明：

$$\left(\hat{P}_R \phi\left(\mathbf{r}\right), \hat{P}_R \psi\left(\mathbf{r}\right)\right)=\left(\phi\left(\mathbf{r}\right), \psi\left(\mathbf{r}\right)\right)$$

定理一（基函数的正交定理）：属于两个不等价不可约幺正表示的基函数，以及属于同一不可约幺正表示的不同列的基函数，都是正交的。

$$\left(\phi_\mu^{p}(\mathbf{r}), \psi_\nu^{q}(\mathbf{r})\right)=\delta_{pq} \delta_{\mu\nu} f$$

其中 $f$ 为常数。

定理二：若基函数 $\{\phi_1(\mathbf{r}), \phi_2(\mathbf{r}), \ldots, \phi_d(\mathbf{r})\}$ 满足

$$\left(\phi_\mu, \phi_\nu\right)=\delta_{\mu\nu} f$$

其中 $f$ 为常数，则由这组基函数所张成的表示 $D(G)$ 是幺正的。

定理三：若 $\{\phi_1(\mathbf{r}), \phi_2(\mathbf{r}), \ldots, \phi_d(\mathbf{r})\}$ 是群 $G$ 的一个幺正表示的基函数，则其模方和在群 $G$ 的任意群元下作用不变：

$$\hat{P}_R \left(\sum_{k=1}^{d} |\phi_k(\mathbf{r})|^2\right) = \sum_{k=1}^{d} |\phi_k(\mathbf{r})|^2$$

定理四：若 $\{D^p(G)\} \left(p=1,2,\ldots,n_r\right)$ 是有限的对称变换群 $G$ 的所有不等价不可约幺正表示，那么对于任意函数 $\psi(\mathbf{r})$，一定存在这些表示的基函数 $\{\phi_\mu^{p}(\mathbf{r})\}$ 能将 $\psi(\mathbf{r})$ 线性展开，即

$$\psi(\mathbf{r}) = \sum_{p=1}^{n_r} \sum_{\mu=1}^{d_p} a_\mu^{p} \phi_\mu^{p}(\mathbf{r})$$

投影算符

投影算符

定义如下线性算符

$$\hat{P}_{\mu \nu}^{p} = \frac{d_p}{|G|} \sum_{R \in G} D_{\mu \nu}^{p*}(R) \hat{P}_R$$

其中 $D^p$ 是群 $G$ 的第 $p$ 个不等价不可约幺正表示，$d_p$ 是该表示的维数，$|G|$ 是群 $G$ 的阶。该算符作用在第 $q$ 个不等价不可约幺正表示的第 $\alpha$ 列基函数的结果为

$$\hat{P}_{\mu \nu}^{p} \phi_\alpha^{q}(\mathbf{r}) = \delta_{pq} \delta_{\nu\alpha} \phi_\mu^{p}(\mathbf{r})$$

该算符 $\hat{P}_{\mu \nu}^{p}$ 称为投影算符。

• $\hat{P}_{\mu \nu}^{p}$ 的作用：将第 $p$ 个不等价不可约幺正表示的第 $\nu$ 列基 $\phi_\nu^p(r)$ 投影到第 $\mu$ 列基 $\phi_\mu^p(r)$ 上。
• $\hat{P}_{\mu \nu}^{p}$ 的作用是从任意函数中投影出属于第 $p$ 个不等价不可约幺正表示的第 $\nu$ 列的分量，并将其转换为第 $\mu$ 列的分量。

对任意给定的函数 $\psi(\mathbf{r})$，总可以将其按群 $G$ 的所有 IIUR 的基展开：

$$\psi(\mathbf{r}) = \sum_{p=1}^{n_r} \sum_{\mu=1}^{d_p} a_\mu^{p} \phi_\mu^{p}(\mathbf{r})$$

从任意给定函数 $\psi(\mathbf{r})$ 出发，利用投影算符可构造 IIUR 的基。

准投影算符

定义准投影算符：

$$\hat{P}^{p}_\mu = \hat{P}_{\mu \mu}^{p} = \frac{d_p}{|G|} \sum_{R \in G} D_{\mu \mu}^{p*}(R) \hat{P}_R$$

其作用在第 $q$ 个 IIUR 的第 $\alpha$ 列基函数上为

$$\hat{P}^{p}_\mu \phi_\alpha^{q}(\mathbf{r}) = \delta_{pq} \delta_{\mu\alpha} \phi_\mu^{q}(\mathbf{r})$$

对任意给定的函数 $\psi(\mathbf{r})$，如果其中包含 $\phi_\mu^{p}(\mathbf{r})$ 则可被准投影算符 $\hat{P}^{p}_\mu$ 投影出来：

$$\hat{P}^{p}_\mu \psi(\mathbf{r}) = \sum_{p=1}^{n_r} \sum_{\mu=1}^{d_p} a_\mu^{p} \hat{P}^{p}_\mu \phi_\mu^{p}(\mathbf{r}) = \sum_{p=1}^{n_r} \sum_{\mu=1}^{d_p} a_\mu^{p} \delta_{pp} \delta_{\mu\mu} \phi_\mu^{p}(\mathbf{r}) = a_\mu^{p} \phi_\mu^{p}(\mathbf{r})$$

注意：投影结果有一个系数 $a_\mu^{p}$，如用一系列 $\hat{P}^{p}_\mu$ 作用在 $\psi(\mathbf{r})$ 得到的结果并不就是表示 $D^p(G)$ 的基函数 $\phi_\mu^{p}(\mathbf{r})$，而是该基函数乘以系数 $a_\mu^{p}$。

特征标投影算符

定义特征标投影算符如下：

$$\hat{P}^p=\sum_{\mu=1}^{d_p}\hat{P}^p_{\mu\mu}= \frac{d_p}{n}\sum_{R\in G} \mathcal{X}^{p*}(R) \hat{P}_R$$

其作用在第 $q$ 个 IIUR 的第 $\alpha$ 列基上的结果为

$$\hat{P}^p \phi_\alpha^{q}(\mathbf{r}) = \delta_{pq} \phi_\alpha^{q}(\mathbf{r})$$

对任意给定的函数 $\psi(\mathbf{r})$，如果其中包含属于第 $p$ 个 IIUR 的基函数，则可被特征标投影算符 $\hat{P}^p$ 投影出来：

$$\hat{P}^p \psi(\mathbf{r}) = \sum_{q=1}^{n_r} \sum_{\alpha=1}^{d_q} a_\alpha^{q} \hat{P}^p \phi_\alpha^{q}(\mathbf{r}) = \sum_{q=1}^{n_r} \sum_{\alpha=1}^{d_q} a_\alpha^{q} \delta_{pq} \phi_\alpha^{q}(\mathbf{r}) = \sum_{\alpha=1}^{d_p} a_\alpha^{p} \phi_\alpha^{p}(\mathbf{r})$$

可用来判断任意给定的函数 $\psi(\mathbf{r})$ 中是否包含属于第 $p$ 个 $\text{IIUR}$ 的基，如果包含任何一个则投影结果不为零。

• 已知一个 $\text{IIUR}$，如何求其基？投影算符！
• 已知一个 $\text{IIUR}$ 的特征标，如何求其基？特征标投影算符！

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投影算符的性质来自于表示矩阵元的正交关系，若去掉幺正性限制，则有对不等价不可约表示成立的更普适的矩阵元正交性定理

$$\sum_{R \in G} D_{\mu \nu}^p\left(R^{-1}\right) D_{\mu' \nu'}^{q}(R) = \frac{|G|}{d_p} \delta_{pq} \delta_{\mu \mu'} \delta_{\nu \nu'}$$

以及对非幺正不可约表示也成立的投影算符

$$\hat{P}_{\mu \nu}^{p} = \frac{d_p}{|G|} \sum_{R \in G} D_{\nu\mu}^{p}\left(R^{-1}\right) \hat{P}_R$$

基础表示

设群 $G$ 有子群 $H$，按陪集分解为 $G=g_1 H + g_2 H + \cdots + g_l H$，群元作用在陪集上为 $g \left(g_i H\right)= g g_i H= g_j H \in \{g_i H|i=1,2,\ldots,l\}$。我们以所有的陪集为基函数，构造出群 $G$ 的一个表示

$$g \left(g_i H\right) = g_j H = \sum_{k=1}^{l} \left(g_k H \right) D_{ki}^b(g)$$

以子群的陪集 $\{g_i H\}$ 作为基的表示 $D^b(G)$ 称为群 $G$ 的基础表示。

• 以群元作为基 $\Rightarrow$ 正规表示 $\qquad \qquad$ 以陪集作为基 $\Rightarrow$ 基础表示
• 若子群取单位元，则陪集即为群元，基础表示即为正规表示，所以基础表示是正规表示的一个特例。

基础表示的表示矩阵元为

$$D_{ki}^b(g) = \begin{cases} 1, & g g_i H = g_k H \quad OR \quad g g_i \in g_k H \quad OR \quad g\in g_k H g_i^{-1} \\ 0, & g g_i H \neq g_k H \quad OR \quad g g_i \notin g_k H \quad OR \quad g\notin g_k H g_i^{-1} \end{cases}$$

取非零元的条件是两个陪集相等。陪集代表元的指标 $\beta\left(g,i\right)$ 由 $g$ 和 $g_i$ 确定，因而是$g$ 和 $g_i$ 的函数。记 $g g_i H=g_{\beta (g,g_i)} H$，则对表示矩阵元有

$$D_{ki}^b(g) = \delta_{k, \beta(g,i)} = \delta_{k, \beta}$$

也就是要对给定的 $g$ 和 $g_i$，求满足条件的 $k=\beta$ 的 $k$。

分导表示和诱导表示

分导表示和诱导表示是群和其子群表示之间的联系。

分导表示和诱导表示的定义

设 $D\left(G\right)$ 是群 $G$ 的一个不可约表示，$H$ 是群 $G$ 的一个子群，则矩阵群 $D\left(H\right)=\{D(g)|g\in H\}$ 构成子群 $H$ 的一个表示，这个表示 $D\left(H\right)$ 称为表示 $D\left(G\right)$ 在 $H$ 中的分导表示，也记为 $D\downarrow H$。对于子群 $H$ 来说，分导表示 $D\downarrow H$ 一般是可约的。

分导表示是由 $D\left(G\right)$的表示得到的 $D\left(H\right)$的表示。那么由 $D\left(G\right)$的表示能否得到 $D\left(H\right)$的表示？可以！但不能直接来，因为 $D\left(H\right)$ 在 $G$ 中并不一定有定义。

设 $\Delta\left(H\right)$ 是 $m$ 阶子群 $H$ 的 $d$ 维表示，其基为 $\{e_1, e_2, \ldots, e_d\}$。

$$\Gamma_h \bm{e}_i = \sum_{j=1}^{d} \bm{e}_j \Delta_{ji}(h) \quad h\in H$$

将 $G$ 按陪集分解为 $G=g_1 H \oplus g_2 H \oplus \cdots \oplus g_l H$，其中 $l=|G|/|H|$。以矢量 $\{\Gamma_{g_1} \bm{e}_i, \Gamma_{g_2} \bm{e}_i, \ldots, \Gamma_{g_l} \bm{e}_i|i=1,2,\ldots,d\}$ 为基可以构造群 $G$ 的一个 $ld$ 维表示 $D^I$，这个表示称为 $\Delta\left(H\right)$ 在 $G$ 中的诱导表示，也记为 $\Delta \uparrow G$。

以陪集代表元和子群表示的基之积为基，因此 $D^I$ 的维数为 $ld$。

$$\Gamma_g \left(\Gamma_{g_\alpha} \bm{e}_i\right) = \Gamma_{g_\beta} \Gamma_{h\left(g,\alpha\right)} \bm{e}_i = \sum_{\gamma=1}^{l} \sum_{j=1}^{d} \left(\Gamma_{g_\gamma} \bm{e}_j\right)D^b_{\gamma \alpha}(g) \Delta_{ji}\left(h\left(g,\alpha\right)\right) = \sum_{\gamma=1}^{l} \sum_{j=1}^{d} \left(\Gamma_{g_\gamma} \bm{e}_j\right) D_{\gamma j,\alpha i}^I (g)$$

诱导矩阵的矩阵元和矩阵为

$$\begin{aligned} D_{\gamma j,\alpha i}^I (g) &= D^b_{\gamma \alpha}(g) \Delta_{ji}\left(h\left(g,\alpha\right)\right) \\[5pt] D_{\gamma \alpha }^I (g) &= D^b_{\gamma \alpha}(g) \Delta\left(h\left(g,\alpha\right)\right) \end{aligned}$$

其中 $D^b_{\gamma \alpha}(g)$ 为基础表示矩阵元，诱导表示的等价矩阵为

$$D_{\gamma\alpha}^I(g) = D_{\gamma\alpha}^b(g)\Delta(g_\gamma^{-1} g g_\alpha)$$

其中 $D_{\gamma \alpha }^I (g)$ 为超矩阵

$$D^I_{\gamma \alpha }(g) = D^b_{\gamma \alpha}(g) \Delta\left(h\left(g,\alpha\right)\right) =\delta_{\gamma, \beta(g,\alpha)} \Delta\left(h\left(g,\alpha\right)\right),\quad h\left(g,\alpha \right)= g^{-1}_{\beta\left(g,\alpha\right)}gg_\alpha$$

与直积的异同：都是在基础表示的矩阵元的位置上乘以子群表示矩阵块，不同的是直积中乘的矩阵块与位置无关，而超矩阵中的矩阵块 $h\left(g,\alpha \right)$ 依赖于 $g$ 和 $\alpha$。

诱导表示的特征标

$$\begin{aligned} \chi ^I(g) &= \sum_{\alpha}\sum_{i} D^I_{\alpha i,\alpha i}(g) =\sum_{\alpha} \sum_{i} \delta_{\alpha, \beta(g,\alpha)} \Delta_{ii}\left(h\left(g,\alpha\right)\right) \\[5pt] &= \sum_{\alpha} \delta_{\alpha\beta(g,\alpha)} \chi^\Delta \left(g^{-1}_ {\beta(g,\alpha)} g g_\alpha \right) \\[5pt] &= \sum_{\{\alpha | g_\alpha^{-1} g g_\alpha \in H\}} \chi^\Delta \left(g_\alpha^{-1} g g_\alpha \right) \end{aligned}$$

诱导表示 $D^I$ 一般是可约的。而 $G$ 的不可约表示 $D^p$，在子群 $H$ 中的分导表示 $D^p\left(H\right)$ 一般可约。

如果 $H$ 的表示 $\Delta\left(H\right)$ 就是其某一个不可约表示 $\Delta^q\left(H\right)$，那么

$$a_p=\left(\frac1m \sum _{h\in H} \chi^{\Delta^q} \left(h\right)^* \chi^p \left(h\right)\right) = \left(b^p_q\right)^*=b^p_q$$

$\text{Frobenius}$ 倒易定理：设子群 $H$ 的不可约表示 $\Delta ^q \left(H\right)$ 在 $G$ 中的诱导表示为 $\Delta^I \left(G\right)$，那么 $D^I\left(G\right)$ 中包含的 $G$ 的不可约表示 $D^p\left(G\right)$ 的个数 $a_p$ 正好等于 $D^p\left(G\right)$ 在 $H$ 中的分导表示 $D^p\downarrow H$ 中包含 $\Delta^q \left(H\right)$ 的个数 $b^p_q$

$$a_p = b^p_q$$

表示的直积与CG系数

直积表示的定义

定理：设 $D^p(G)$ 和 $D^q(G)$ 是群的两个表示，表示维数分别为 $d_p$ 和 $d_q$，那么这两个表示的直积

$$D^{\left(p,q\right)}(G) = D^p(G) \otimes D^q(G),\qquad \forall g \in G$$

是群 $G$ 的一个 $d_p d_q$ 维表示。且如果 $D^p(G)$ 和 $D^q(G)$ 都是幺正的，则直积表示 $D^{\left(p,q\right)}(G)$ 也是幺正的；无论 $D^p(G)$ 和 $D^q(G)$ 是否可约，直积表示 $D^{\left(p,q\right)}(G)$ 一般是可约的。

直积表示的特征标：$\chi^{\left(p,q\right)}(g) = \chi^p(g) \chi^q(g)$

CG系数

设表示 $D^p(G)$ 的基为 $\{\ket{\phi_i^p}\}$，表示 $D^q(G)$ 的基为 $\{\ket{\phi_j^q}\}$，则直积表示 $D^{\left(p,q\right)}(G)$ 的基为 $\{\ket{\phi_i^p \phi_j^q}\}$。约化后等价表示 $\bar{D}^{\left(p,q\right)}$ 的基为 $\{\ket{\psi^{\lambda \alpha}_{l}}\}$，其中 $\lambda$ 标记不可约表示，$l$ 标记基函数，$\alpha$ 标记出现次数，即

$$|\psi_{\underbrace{l}_{\text{基指标}}}^{\underbrace{\lambda}_{\text{不可约表示的指标}}\quad\underbrace{\alpha}_{\text{出现次数}}}\rangle$$

上述的几种基都是正交归一的

直积表示与不可约表示有变换关系

$$\bar{D}^{\left(p,q\right)}(g) = S^{-1} D^{\left(p,q\right)}(g) S, \quad \forall g \in G$$

对应的基变换为

$$\ket{\psi^{\lambda \alpha}_{l}} = \sum_i^{d_p} \sum_j^{d_q} \ket{\phi_i^p \phi_j^q} S_{ij,\lambda l \alpha}$$

相似变换矩阵元 $S_{ij,\lambda l \alpha}$ 就是新基 $\{\ket{\psi^{\lambda \alpha}_{l}}\}$ 在旧基 $\{\ket{\phi_i^p \phi_j^q}\}$ 下的展开系数，称为Clebsch-Gordan 系数（CG 系数）。可以看出，CG 系数就是新基在旧基下的投影系数

$$S_{ij,\lambda l \alpha} = \braket{\phi_i^p \phi_j^q | \psi^{\lambda \alpha}_{l}} \equiv \left\langle \begin{array}{c|cc} \textcolor{blue}{p} \ \textcolor{blue}{q} & \lambda \\ i \ j & l \end{array} \alpha \right\rangle$$

对于两个确定的表示，$p$ 和 $q$ 是固定的

CG系数的计算

由于每个基都是正交归一的，这就决定了 $\text{CG}$ 系数矩阵 $S$ 是一个幺正矩阵，即不同的列（行）是正交归一的。换个形式写出 $S$ 的幺正性，可得如下正交完备关系

$$\sum_{\lambda} \sum_{\alpha} \sum_{l} \left\langle \begin{array}{c|c} p \ q & \lambda \\ i \ j & l \end{array}\alpha \right\rangle \left\langle \begin{array}{c} \lambda \\ l \end{array} \alpha \begin{array}{|c} p \ q \\ i' \ j' \end{array} \right\rangle = \delta_{i i'} \delta_{j j'} \\[5pt] \sum_{i} \sum_{j} \left\langle \begin{array}{c} \lambda \\ l \end{array} \alpha \begin{array}{|c} p \ q \\ i \ j \end{array} \right\rangle \left\langle \begin{array}{c|c} p \ q & \lambda' \\ i \ j & l' \end{array}\alpha' \right\rangle = \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\alpha \alpha'} \delta_{l l'}$$

当 $\alpha$ 可以 $>1$ 时，满足条件的 $\text{CG}$ 系数不唯一；当 $\alpha=1$ 时，$\text{CG}$ 系数可以确定到相差一个相因子。接下来我们考虑后者，去掉 $\alpha$ 指标，有

$$\left\langle \begin{array}{c|c} p \ q & \lambda \\ i' \ j' & k' \end{array} \right\rangle \left\langle \begin{array}{c|c} \lambda & p \ q \\ k & i \ j \end{array} \right\rangle =\frac{d_\lambda}{|G|} \sum_{g \in G} D_{i' i}^{p} \left(g\right) D_{j' j}^{q} \left(g\right) D_{k' k}^{\lambda *} \left(g\right)$$

取 $i'=i$, $j'=j$, $k'=k$ 上式变为

$$\left|\left\langle \begin{array}{c|c} p \ q & \lambda \\ i \ j & k \end{array} \right\rangle\right|^2 =\frac{d_\lambda}{|G|} \sum_{g \in G} D_{i i}^{p} \left(g\right) D_{j j}^{q} \left(g\right) D_{k k}^{\lambda *} \left(g\right)$$

直积群的表示

直积群（两个具有相同乘法定义的群，彼此对易，只有单位元共同）是群的直积（任意两个群，可以无关）的特例。我们研究后者的性质。

直积群是两个群各自的表示，总共有三个群三个表示；表示的直积同一各群的不同表示的直积。

性质一：$\chi^{(p,q)}(g_1,g_2) = \chi_1^p(g_1) \chi_2^q(g_2)$

性质二：若 $D_1^p$ 和 $D_2^q$ 分别是群 $G_1$ 和 $G_2$ 的不可约表示，则直积表示 $D^{(p,q)}=D_1^p \otimes D_2^q$ 是直积群 $G_1 \otimes G_2$ 的不可约表示。

性质三：群 $G_1$ 的所有不等价不可约表示 $\{D_1^p|p=1,2,\ldots,r_1\}$ 和群 $G_2$ 的所有不等价不可约表示 $\{D_2^q|q=1,2,\ldots,r_2\}$ 的直积表示 $\{D^{(p,q)}=D_1^p \otimes D_2^q|p=1,2,\ldots,r_1; q=1,2,\ldots,r_2\}$ 构成直积群 $G_1 \otimes G_2$ 的所有不等价不可约表示。

性质四：若群 $G_1$ 的 $D_1^p$ 表示的基为 $\{\ket{\phi_i^p}\}$，群 $G_2$ 的 $D_2^q$ 表示的基为 $\{\ket{\psi_j^q}\}$，则直积表示 $D^{(p,q)}$ 的基为 $\{\ket{\phi_i^p} \otimes \ket{\psi_j^q}\}$。（仅当两个子群的变换只作用于各自的基时成立）