矢量算符

全局定义和局部定义

我们已经知道角动量算符 J\boldsymbol{J} 的平均值在转动下的表现与经典向量类似，我们称这种算符为矢量算符，那么是否还有其他的算符具有这种性质呢？x,p\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p} 和 S\boldsymbol{S} 在旋转下有什么性质？

在量子力学中，我们要求矢量算符 V\boldsymbol{V} 的期望值在旋转下的变换像经典矢量一样。令 ∣ψ⟩R=D(R)∣ψ⟩|\psi\rangle_R = D(R) |\psi\rangle，上述定义表明

R⟨ψ∣Vi∣ψ⟩R=∑jRij⟨ψ∣Vj∣ψ⟩⇒⟨ψ∣D†(R)ViD(R)∣ψ⟩=∑jRij⟨ψ∣Vj∣ψ⟩_R\langle\psi|V_i|\psi\rangle_R=\sum_jR_{ij}\langle\psi|V_j|\psi\rangle \quad \Rightarrow \quad \langle\psi|D^\dagger(R)V_iD(R)|\psi\rangle=\sum_jR_{ij}\langle\psi|V_j|\psi\rangle

所以得到了矢量算符的算符方程

D†(R)ViD(R)=∑jRijVj或者D†(R)(VxVyVz)D(R)=R(VxVyVz)D^\dagger(R)V_iD(R)=\sum_jR_{ij}V_j\qquad\text{或者} \qquad D^\dagger(R) \begin{pmatrix} V_x \\[0.5em] V_y \\[0.5em] V_z \end{pmatrix}D(R)=R \begin{pmatrix} V_x \\[0.5em] V_y \\[0.5em] V_z \end{pmatrix}

这就是矢量算符的量子力学定义，由于其起源于一个全局的转动，我们称之为一个全局的定义。下面我们再推导一个等价的局部定义。

在全局的情况下考虑一个无穷小转动 Dn^(dα)=1−iℏJ⋅n^dαD_{\hat{n}}(d\alpha)=1-\dfrac{i}{\hbar}\boldsymbol{J}\cdot\hat{n}d\alpha，将给出一个局部的定义。将这个无穷小转动代入上面的算符方程

(1+iℏJ⋅n^dα)Vi(1−iℏJ⋅n^dα)=∑jRij(n^,dα)Vj\left(1+\frac{i}{\hbar}\boldsymbol{J}\cdot\hat{n}d\alpha\right)V_i\left(1-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol{J}\cdot\hat{n}d\alpha\right)=\sum_jR_{ij}(\hat{n},d\alpha)V_j

将上式右边乘开并保留至一阶，左边代入 RR 的表达式，得到

Vi+iℏdα[J⋅n^,Vi]=∑j(1−idαI⋅n^)ijVj=Vi−idα∑j(I⋅n^)ijVjV_i+\frac{i}{\hbar}d\alpha[J\cdot\hat{n},V_i]=\sum_j(1-id\alpha I\cdot\hat{n})_{ij}V_j=V_i-id\alpha\sum_j(I\cdot\hat{n})_{ij}V_j

消去两边的 ViV_i 并将点积写作分量形式

1ℏ∑k[Jk,Vi]nk=−∑kj(Ik)ijnkVj=i∑kjεkijnkVj\frac{1}{\hbar}\sum_{k}[J_{k},V_{i}]n_{k}=-\sum_{kj}(I_{k})_{ij}n_{k}V_{j}=i\sum_{kj}\varepsilon_{kij}n_{k}V_{j}

比较两边得到

[Jk,Vi]=iℏ∑jεijkVj[J_k,V_i]=i\hbar\sum_j\varepsilon_{ijk}V_j

再对指标以及对易顺序调换，最后有

[Vi,Jj]=iℏ∑kεijkVk\boxed{\begin{bmatrix} V_i,J_j \end{bmatrix}=i\hbar\sum_k\varepsilon_{ijk}V_k}

这就是矢量算符在量子力学下的局部定义。这类似于角动量分量的基本对易关系。矢量算符的全局定义和局部定义是等价的。

显然将角动量分量 Ji\boldsymbol{J}_i 代入上式成立，所以角动量算符本身是一个矢量算符。我们可以验证位置算符 x\boldsymbol{x} 和动量算符 p\boldsymbol{p} 也是矢量算符。

可以证明一个有用的等式：

D(R)V⋅m^D†(R)=(Rm^)⋅VD(R)V\cdot\hat{m}D^\dagger(R)=(R\hat{m})\cdot V

其中 m^\hat{m} 是一个任意的向量。

球谐坐标基

在球坐标基下，角动量算符为

L^2=−ℏ2[1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+1sin⁡2θ∂2∂ϕ2]\widehat{\boldsymbol{L}}^2 = -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right]

角动量算符的本征函数，是球谐函数 Ylm(θ,ϕ)Y_l^m (\theta, \phi)，满足本征方程

L^2Ylm(θ,ϕ)=l(l+1)ℏ2Ylm(θ,ϕ)\widehat{\boldsymbol{L}}^2 Y_l^m (\theta, \phi) = l(l+1)\hbar^2 Y_l^m (\theta, \phi)

球谐函数为

Ylm(θ,ϕ)=(−1)m+∣m∣2(2l+1)(l−∣m∣)!4π(l+∣m∣)!eimϕPl∣m∣(cos⁡θ)Y_l^m (\theta, \phi) = (-1)^{\frac{m+|m|}{2}} \sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi(l+|m|)!}} e^{im\phi} P_l^{|m|} (\cos \theta)

易知球谐函数中有几个相互正交，分别为

Y1±1=∓38πe±iϕsin⁡θ,Y10=34πcos⁡θY_1^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}} e^{\pm i\phi} \sin \theta, \quad Y_1^0 = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta

结合关系 x=rsin⁡θcos⁡ϕ,y=rsin⁡θsin⁡ϕ,z=rcos⁡θx = r \sin \theta \cos \phi, \quad y = r \sin \theta \sin \phi, \quad z = r \cos \theta ，将上式写成直角坐标形式

Y11=34π1r(−x+iy2),Y1−1=34π1r(x−iy2),Y10=34πzrY_1^1 = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{1}{r} \left( -\frac{x+iy}{\sqrt{2}} \right), \quad Y_1^{-1} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{1}{r} \left( \frac{x-iy}{\sqrt{2}} \right), \quad Y_1^0 = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{z}{r}

其中的 −x+iy2-\dfrac{x+iy}{\sqrt{2}} 和 x−iy2\dfrac{x-iy}{\sqrt{2}} 是否似曾相识？它们正是 j=1j=1 角动量生成元和经典转动生成元之间的幺正变换 WW

W=12(−101i0i020)W=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\[0.5em] i & 0 & i \\[0.5em] 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}

那么得到球谐函数和直角坐标之间的变换关系为

(Y11Y10Y1−1)=34π1rW†(xyz),(xyz)=r4π3W(Y11Y10Y1−1)\begin{pmatrix} Y_1^1 \\[0.5em] Y_1^0 \\[0.5em] Y_1^{-1} \end{pmatrix}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{1}{r}W^\dagger \begin{pmatrix} x \\[0.5em] y \\[0.5em] z \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} x \\[0.5em] y \\[0.5em] z \end{pmatrix}=r\sqrt{\frac{4\pi}{3}}W \begin{pmatrix} Y_1^1 \\[0.5em] Y_1^0 \\[0.5em] Y_1^{-1} \end{pmatrix}

下面我们研究直角坐标和球谐坐标下相同转动的关系。假设在直角坐标下有一个 RR，使得 (x′y′z′)=R(xyz)\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix}=R \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}，那么得到

(Y11(θ′,ϕ′)Y10(θ′,ϕ′)Y1−1(θ′,ϕ′))=34π1rW†(x′y′z′)=34π1rW†RWW†(xyz)=W†RW(Y11(θ,ϕ)Y10(θ,ϕ)Y1−1(θ,ϕ))\begin{pmatrix} Y_1^1(\theta^{\prime},\phi^{\prime}) \\[0.5em] Y_1^0(\theta^{\prime},\phi^{\prime}) \\[0.5em] Y_1^{-1}(\theta^{\prime},\phi^{\prime}) \end{pmatrix}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{1}{r}W^\dagger \begin{pmatrix} x^{\prime} \\[0.5em] y^{\prime} \\[0.5em] z^{\prime} \end{pmatrix}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{1}{r}W^\dagger R\textcolor{orange}{WW^\dagger} \begin{pmatrix} x \\[0.5em] y \\[0.5em] z \end{pmatrix}=W^\dagger RW \begin{pmatrix} Y_1^1(\theta,\phi) \\[0.5em] Y_1^0(\theta,\phi) \\[0.5em] Y_1^{-1}(\theta,\phi) \end{pmatrix}

这就是直角坐标下的转动 RR 在球谐坐标下的表现形式 W†RWW^\dagger RW。

再考虑一个球谐坐标下的更一般的经典向量 v\boldsymbol{v}，其三个分量不一定正交，定义 (v1v0v−1)≡W†(vxvyvz)\begin{pmatrix} v_1 \\ v_0 \\ v_{-1} \end{pmatrix}\equiv W^\dagger \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}，那么矢量 v\boldsymbol{v} 在直角坐标转动 RR 下的变换为

(v1′v0′v−1′)=W†RW(v1v0v−1)=(WTRW∗)∗(v1v0v−1)\begin{pmatrix} v_1^{\prime} \\[0.5em] v_0^{\prime} \\[0.5em] v_{-1}^{\prime} \end{pmatrix}=W^{\dagger}RW \begin{pmatrix} v_1 \\[0.5em] v_0 \\[0.5em] v_{-1} \end{pmatrix}=(W^TRW^*)^* \begin{pmatrix} v_1 \\[0.5em] v_0 \\[0.5em] v_{-1} \end{pmatrix}

也就是说，任意经典矢量 (v1v0v−1)\begin{pmatrix} v_1 \\ v_0 \\ v_-1 \end{pmatrix} 和 球谐函数 (Y11Y10Y1−1)\begin{pmatrix} Y_1^1 \\ Y_1^0 \\ Y_1^{-1} \end{pmatrix} 在 RR 下具有同样的变换形式。

再回忆之前 j=1j=1 量子生成元和经典生成元之间的关系 Ji(1)ℏ=WTIiW∗\dfrac{J_i^{(1)}}{\hbar}=W^TI_iW^*，将两边分别作用在 ee 指数上得到量子转动和经典转动之间的转换

D(1)(R)=WTRW∗D^{(1)}(R)=W^TRW^*

那么又可以简写为

(v1′v0′v−1′)=D(1)∗(R)(v1v0v−1)\begin{pmatrix} v_1^{\prime} \\[0.5em] v_0^{\prime} \\[0.5em] v_{-1}^{\prime} \end{pmatrix}=D^{(1)*}(R) \begin{pmatrix} v_1 \\[0.5em] v_0 \\[0.5em] v_{-1} \end{pmatrix}

上式的分量形式为

vq′=∑q′=1,0,−1Dqq′(1)∗(R)vq′v_q^\prime=\sum_{q^\prime=1,0,-1}D_{qq^\prime}^{(1)*}(R)v_{q^\prime}

现在考虑一个按如下方式变换的矢量算符 V\boldsymbol{V}：D†(R)ViD(R)=∑jRijVjD^\dagger(R)V_iD(R)=\sum_jR_{ij}V_j，由于矢量算符的转动变换与经典算符相同，那么基于经典矢量 v\boldsymbol{v} 的变换形式，可以写出矢量算符 V\boldsymbol{V} 的幺正转动

D†(R)VqD(R)=∑q′=1,0,−1Dqq′(1)∗(R)Vq′D^\dagger(R)V_qD(R)=\sum_{q^{\prime}=1,0,-1}D_{qq^{\prime}}^{(1)*}(R)V_{q^{\prime}}

上式就是球谐坐标下矢量算符的全局定义，和之前的直角坐标全局定义是等价的，上式显式地写出为

D†(R)(V1V0V−1)D(R)=(D†(R)V1D(R)D†(R)V0D(R)D†(R)V−1D(R))=D(1)∗(R)(V1V0V−1)D^\dagger(R) \begin{pmatrix} V_1 \\[0.5em] V_0 \\[0.5em] V_{-1} \end{pmatrix}D(R)= \begin{pmatrix} D^\dagger(R)V_1D(R) \\[0.5em] D^\dagger(R)V_0D(R) \\[0.5em] D^\dagger(R)V_{-1}D(R) \end{pmatrix}=D^{(1)*}(R) \begin{pmatrix} V_1 \\[0.5em] V_0 \\[0.5em] V_{-1} \end{pmatrix}

注意：W,R,Ii,Ji(1),D(1)(R)W, R, I_i, J_i^{(1)}, D^{(1)}(R) 都是 3×33 \times 3 矩阵，而 D(R),VqD(R), V_q 是算符。

算符空间

线性算符可以相加并与标量相乘，因此它们构成一个矢量空间。 我们上面的分析表明，{Vx,Vy,Vz}\{V_x, V_y, V_z\} 或 {V1,V0,V−1}\{V_1, V_0, V_{-1}\} 转动之后仍然可以用他们本身的线性组合来表示，也就是说，由 {Vx,Vy,Vz}\{V_x, V_y, V_z\} 或 {V1,V0,V−1}\{V_1, V_0, V_{-1}\} 张成的算符空间在旋转下是不变的。

因此，{Vx,Vy,Vz}\{V_x, V_y, V_z\} 或 {V1,V0,V−1}\{V_1, V_0, V_{-1}\} 可以被视作一组基算符，张成了所有算符空间中的一个 33 维子空间。

a⋅V=axVx+ayVy+azVz=a1V1+a0V0+a−1V−1\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{V} = a_x V_x + a_y V_y + a_z V_z = a_1 V_1 + a_0 V_0 + a_{-1} V_{-1}

由 {Vx,Vy,Vz}\{V_x, V_y, V_z\} 或 {V1,V0,V−1}\{V_1, V_0, V_{-1}\} 张成的三维算符空间实际上是不可约的。

不可约张量算符

我们已知球谐坐标下的矢量算符满足

D†(R)VqD(R)=∑q′=1,0,−1Dqq′(1)∗(R)Vq′D^\dagger(R)V_qD(R)=\sum_{q^{\prime}=1,0,-1}D_{qq^{\prime}}^{(1)*}(R)V_{q^{\prime}}

kk 阶球面张量算符：一组 2k+12k + 1 个算符 Tq(k)T_q^{(k)}，其中 q=−k,−k+1,⋯ ,kq = -k, -k + 1, \cdots , k，它们满足

D†(R)Tq(k)D(R)=∑q′=−kkDqq′(k)∗(R)Tq′(k)，Dqq′(k)(R)=⟨kq∣D(R)∣kq′⟩D^{\dagger}(R) T_q^{(k)} D(R) = \sum_{q'=-k}^{k} D_{qq'}^{(k)*}(R) T_{q'}^{(k)}， \quad \quad D_{qq'}^{(k)}(R) = \langle kq | D(R) | kq' \rangle

这个定义是对一阶矢量算符（k=1k=1）的直接仿照扩展。由于 D(k)(R)D^{(k)}(R) 是 2k+12k + 1 维不可约表示，所以称为不可约张量算符。

不可约张量算符还有另一种定义方法。根据 D†(R−1)=D(R)D^\dagger(R^{-1})=D(R) 得到 Dq′q(k)∗(R−1)=Dqq′(k)(R)D_{q^{\prime}q}^{(k)*}(R^{-1})=D_{qq^{\prime}}^{(k)}(R)，那么刚刚张量算符的定义变为

D(R)Tq(k)D†(R)=∑q′=−kkDq′q(k)(R)Tq′(k)D(R)T_q^{(k)}D^\dagger(R)=\sum_{q^{\prime}=-k}^kD_{q^{\prime}q}^{(k)}(R)T_{q^{\prime}}^{(k)}

再回忆 D(R)D(R) 对态 ∣jm⟩|jm\rangle 的作用 D(R)∣jm⟩=∑m′∣jm′⟩Dm′m(j)(R)D(R)|jm\rangle=\sum_{m^{\prime}}|jm^{\prime}\rangle D_{m^{\prime}m}^{(j)}(R)，其中 Dm′m(j)(R)=⟨jm′∣D(R)∣jm⟩D_{m^{\prime}m}^{(j)}(R)=\langle jm^{\prime}|D(R)|jm\rangle 是 Wigner\text{Wigner} dd 矩阵。将 jj 替换为现在的 kk，得到

D(R)∣kq⟩=∑q′=−kkDq′q(k)(R)∣kq′⟩D(R)|kq\rangle=\sum_{q^\prime=-k}^kD_{q^\prime q}^{(k)}(R)|kq^\prime\rangle

这就说明了算符空间和态空间对应的不可约表示是一样的。粗略地讲，上面提到的 2k+12k + 1 个不可约张量算符 Tq(k)T_q^{(k)} 的变换形式与 2k+12k + 1 个角动量态 ∣kq⟩|kq\rangle 的转动变换形式是一样的。
2k+12k + 1 个右矢 ∣kq⟩|kq\rangle 按不可约方式变换，算符 Tq(k)T_q^{(k)} 也是如此，被称为不可约张量算符。