SU(2)群的不可约表示

SU(2)群的表示

$\text{SO}(3)$ 本身就是 $\text{SU}(2)$ 群的一个三维不可约表示。接下来我们研究 $\text{SU}(2)$ 群的所有不等价不可约表示。

为了得到表示，我们可以先构造一组基，然后用 $\text{SU}(2)$ 群元作用在这组基上，就可以得到一个表示矩阵。令变量 $\boldsymbol{u}= \begin{pmatrix} u_{1} \\[0.5em] u_{2} \end{pmatrix}$ ，我们可以把 $\boldsymbol{u}$ 看作是二维复空间中的一个坐标点，则算符 $\Gamma_{g}$ 作用在 $\boldsymbol{u}$ 的标量函数 $f(\boldsymbol{u})$ 有：

$\Gamma_gf(\boldsymbol{u})=f(g^{-1}\boldsymbol{u})$

其中括号内部分为

$g(a,b)^{-1}\boldsymbol{u}= \begin{pmatrix} a & b \\[0.5em] -b^* & a^* \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} u_1 \\[0.5em] u_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a^* & -b \\[0.5em] b^* & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\[0.5em] u_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a^*u_1-bu_2 \\[0.5em] b^*u_1+au_2 \end{pmatrix}$

构造函数：取如下 $2l+1$ （ $l$ 为整数或半奇数）个齐次单项式函数

$f_m^{(l)}(u_1,u_2)=\frac{u_1^{l+m}u_2^{l-m}}{\sqrt{(l+m)!\left(l-m\right)!}}\quad(m=l,l-1,\cdots,-l)$

也就是在给定 $l$ 的基础下， $m$ 从 $l$ 变化到 $-l$ ， $2l+1$ 个 $m$ 构成了一组基。但并非所有的基函数都能荷载 $\text{SU}(2)$ 群的表示，一组函数作为基的条件：任意群元对基变换后得到的新函数还能够表示为基函数的线性组合。

经过计算，上述函数确实满足基函数的条件

$\Gamma_{g(a,b)}f_m^{(l)}(\boldsymbol{u})=\sum_{m^{\prime}=-l}^lf_{m^{\prime}}^{(l)}(u)D_{m^{\prime}m}^l(g(a,b))$

并得到组合系数，也就是 $SU(2)$ 群元 $g(a,b)$ 在这组基下的不可约表示为：

$\boxed{\begin{aligned} & D_{m^{\prime}m}^l(a,b)\equiv D_{m^{\prime}m}^l\left(g(a,b)\right)= \\[1em] & \sum_{k=0}^{l+m}\frac{(-1)^k\sqrt{(l+m)!\left(l-m\right)!\left(l+m^{\prime}\right)!\left(l-m^{\prime}\right)!}}{k!\left(l+m-k\right)!\left(l-m^{\prime}-k\right)!\left(m^{\prime}-m+k\right)!}a^{l-m^{\prime}-k}(a^*)^{l+m-k}b^k(b^*)^{m^{\prime}-m+k} \end{aligned}}$

其中上标 $l$ 是表示的指标，下标 $m,m^{\prime}$ 是矩阵的行列指标。

$l=1$ 时为恒等表示， $D^0(a,b)\equiv1$
$l=\dfrac{1}{2}$ 时， $D^{\frac{1}{2}}(a,b)= \begin{pmatrix} a^{*} & b^{*} \\[0.5em] -b & a \end{pmatrix}=g(a,b)^{*}$ （矩阵指标顺序： $m=\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}$ ）
$l=1$ 时， $D^1(a,b)= \begin{pmatrix} a^{*2} & \sqrt{2}a^*b^* & b^{*2} \\[0.5em] -\sqrt{2}a^*b & aa^*-bb^* & \sqrt{2}ab^* \\[0.5em] b^2 & -\sqrt{2}ab & a^2 \end{pmatrix}$ （矩阵指标顺序： $m=1,0,-1$ ）

当 $l=\dfrac{1}2$ 时，表示矩阵 $D^{\frac{1}{2}}(a,b)$ 恰好是 $\text{SU}(2)$ 群元 $g(a,b)$ 的复共轭，又因为表示的复共轭依然是表示，为了让 $l=\dfrac{1}2$ 时 $\text{SU}(2)$ 的表示就是群元本身，需对上述表示取复共轭。若定义 $D^{(l)}(a,b)=[D^l(a,b)]^*$ ，此时便有 $D^{\left(\frac{1}{2}\right)}(a,b)=g(a,b)$ 。

SU(2)表示的幺正性

$\sum_{m=-l}^l\left|f_m^{(l)}(u_1,u_2)\right|^2=\sum_{m=-l}^l\frac{\left|u_1^{l+m}u_2^{l-m}\right|^2}{(l+m)!\left(l-m\right)!}=\frac{1}{(2l)!}\sum_{k=0}^{2l}\frac{(2l)!}{k!\left(2l-k\right)!}=\frac{\left(\left|u_1^2\right|+\left|u_2^2\right|\right)^{2l}}{(2l)!}$

根据上式可以证明 $D^lD^{l+}=I_{2l+1}$ ，所以 $D^{(l)}(a,b)$ 是幺正表示。

SU(2)表示的不可约性

现在我们确定表示 $D_{m^{\prime}m}^{(l)}(a,b)$ 的不可约性

$\begin{aligned} D^{(\frac{1}{2})}(a,b) & = \begin{pmatrix} a & b \\[1em] -b^* & a^* \end{pmatrix} & =g(a,b) \end{aligned} \qquad \qquad D^{(1)}(a,b)= \begin{pmatrix} a^2 & \sqrt{2}ab & b^2 \\[1em] -\sqrt{2}ab^* & aa^*-bb^* & \sqrt{2}a^*b \\[1em] b^{*2} & -\sqrt{2}a^*b^* & a^{*2} \end{pmatrix}$

我们知道，互为共轭的两个表示是等价的，那么就存在一个相似变换矩阵 $S$ ，若令 $S_{mm^{\prime}}^l=(-1)^m\delta_{m,-m^{\prime}}$ ，并取 $(-1)^{\frac{1}{2}}=i$ ，则有

$\left(S^l\right)^{-1}=S^l,\qquad S^lD^lS^l=D^{(l)}=\left(D^l\right)^*$

写出前几个 $S^l$ 矩阵，都是次对角线上不为零：

$S^{\frac{1}{2}}= \begin{pmatrix} 0 & i \\[1em] -i & 0 \end{pmatrix}\qquad S^1= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\[1em] 0 & 1 & 0 \\[1em] -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\qquad S^{\frac{3}{2}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\[0.5em] 0 & 0 & i & 0 \\[0.5em] 0 & -i & 0 & 0 \\[0.5em] i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\qquad S^2= \begin{pmatrix} & & 1 \\[1em] & S^1 \\[1em] 1 \end{pmatrix}$

为了保证 $l=\dfrac{1}{2}$ 时的表示等于 $g(a,b)$ 这种形式上的统一，下面的讨论皆以 $D^{(l)}(a,b)$ 为准。

当 $a=\exp\left(-i\dfrac{\alpha}{2}\right),b=0$ 时，仅当 $k=0,m^{\prime}-m+k=0$ 时有非零矩阵元，表示矩阵只有对角元

$\boxed{D_{m^{\prime}m}^{(l)}(e^{-i\frac{\alpha}{2}},0)=\delta_{m^{\prime}m}e^{-im\alpha}}$

当 $b$ 不再等于零时，我们只能求出第一行 $m^{\prime}=l$ 的元素，为了 $l-m^{\prime}-k\geq0$ ，此时只能有 $k=0$ ，计算得到表示矩阵第一行的表达式为

$D_{lm}^{(l)}(a,b)=\sqrt{\frac{(2l)!}{(l+m)!(l-m)!}}a^{l+m}b^{l-m}$

根据这两种特殊的表示矩阵形式，我们接下来就可以证明表示矩阵的不可约性，根据舒尔定理，若只有单位矩阵常数倍与所有表示矩阵对易，则表示矩阵为不可约表示。

假设存在矩阵 $A$ 与所有表示矩阵 $D^{(l)}(a,b)$ 对易，那么必然与矩阵之一 $D^{(l)}(e^{-i\frac{\alpha}{2}},0)$ 对易，根据对易关系得到

$A_{nm}(e^{-im\alpha}-e^{-in\alpha})=0$

所以当 $n\neq m$ 时， $A_{nm}=0$ ，说明矩阵 $A_{nm}=a_n\delta_{nm}$ 是对角矩阵。

接下来当 $b\neq0$ 时，矩阵 $A$ 还必须与 $D^{(l)}(a,b)$ 对易，根据对易关系可得

$D^{(l)}_{m'm}(a_{m'}-a_m)=0$

取 $m^{\prime}=l$ 则有 $D^{(l)}_{lm}(a_{l}-a_m)=0$ ，由于 $l$ 取确定值，根据前面求出的表示矩阵第一行的表达式可知， $D^{(l)}_{lm}(a,b)\neq0$ ，所以 $a_l=a_m$ 对任意 $m$ 都成立，说明 $A$ 的所有对角元都相等，因此矩阵 $A$ 必然是单位矩阵的常数倍 $A=a_l I_{2l+1}$ 。

根据舒尔引理推论二，除单位矩阵常数倍外不存在与所有表示矩阵对易的矩阵，那么该表示是不可约的。

SU(2)类的结构及特征标

我们已经证明了 $D^{(l)}(a,b)$ 是 $\text{SU}(2)$ 群的不可约幺正表示，接下来我们研究 $\text{SU}(2)$ 群的类结构及特征标。

求 $g(a,b)=\begin{pmatrix}a & b \\[0.5em] -b^{*} & a^{*}\end{pmatrix}$ 的本征值可得

$\lambda_\pm=\frac{a+a^*}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{(a+a^*)^2-4}=\mathrm{Re}(a)\pm i\sqrt{1-\mathrm{Re}(a)^2}$

本征值只和 $a$ 的实部有关，而与 $b$ 无关，所有 $\text{Re}(a)$ 相同的群元具有相同的本征值。又幺正矩阵必可通过幺正相似变换对角化，即存在 $g′ \in \text{SU}(2)$ 使得

$g^{\prime{-1}}g(a,b)g^{\prime}= \begin{pmatrix} \lambda_- & 0 \\[0.5em] 0 & \lambda_+ \end{pmatrix}\in\mathrm{SU}(2)$

说明 $g(a,b)$ 和其本征值组成的对角矩阵属于同一个类，因此所有 $\text{Re}(a)$ 相同的群元属于同一类。

那么不妨设 $\textcolor{red}{\mathrm{Re}(a)=\cos\frac{\alpha}{2}}$ ，则 $\lambda_{\pm}=e^{\pm i\frac{\alpha}{2}}$ ，代入上式

$g^{\prime{-1}}g(a,b)g^{\prime}= \begin{pmatrix} e^{-i\frac{\alpha}{2}} & 0 \\[0.5em] 0 & e^{i\frac{\alpha}{2}} \end{pmatrix}=g(e^{-i\frac{\alpha}{2}},0)$

而这样的群元表示矩阵恰好就是我们刚刚证明的 $b=0$ 时的对角矩阵。而同一类群元具有相同的特征标

$\begin{aligned} \chi^{(l)}(a,b) & =\chi^{(l)}\left(e^{-i\frac{\alpha}{2}},0\right)=\mathrm{Tr}D^{(l)}\left(e^{-i\frac{\alpha}{2}},0\right)=\sum_{m=-l}^{l}e^{-im\alpha}=\frac{e^{il\alpha}\left(1-e^{-i(2l+1)\alpha}\right)}{1-e^{-i\alpha}} \\ & =\textcolor{red}{\sin\left[\left(l+\frac{1}{2}\right)\alpha\right]/\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \end{aligned}$

SU(2)表示的完备性

我们还想知道 $D^{(l)}(a,b)$ 是否构成了 $\text{SU}(2)$ 群的所有不等价不可约表示。

根据

$\chi^{(l+1)}-\chi^{(l)}=\frac{\sin[(l+3/2)\alpha]-\sin[(l+1/2)\alpha]}{\sin(\alpha/2)}=2\cos[(l+1)\alpha]$

那么有

$\chi^{(0)}=1,\chi^{\left(\frac{1}{2}\right)}=2\cos\frac{\alpha}{2},\chi^{(1)}-\chi^{(0)}=2\cos\alpha,\chi^{\left(\frac{3}{2}\right)}-\chi^{\left(\frac{1}{2}\right)}=2\cos\frac{3\alpha}{2},\cdots$

上述结果 $\{1,\cos\dfrac{\alpha}{2},\cos\alpha,\cos\dfrac{3\alpha}{2},\cos2\alpha,\cdots\}$ 构成了 $\alpha\in[-2\pi,2\pi]$ 上偶函数的完备基，也就是说该区间的任意偶函数都能写为这些结果的线性组合。若存在一个与所有 $D^{(l)}$ 不等价的不可约表示 $D^{\prime}$ ，设其特征标为 $f(\alpha)$ ，因为 $g(e^{-i\frac{\alpha}{2}},0)$ 和 $g(e^{i\frac{\alpha}{2}},0)$ 属于同一类，所以 $f(\alpha)$ 必为偶函数。由紧致李群的不变积分和特征标的正交性

$\int_{-2\pi}^{2\pi}\chi^{(l)}(\alpha)^*f(\alpha)\rho(\alpha)d\alpha=0\quad \Rightarrow \quad \int_{-2\pi}^{2\pi}\cos l\alpha f(\alpha)\rho(\alpha)d\alpha=0\quad(l=0,\frac{1}{2},1,\cdots)$

上式中 $\cos l\alpha$ 由完备基线性表示，由于每一项都为零，所以得到第二个积分式。因李群是解析的， $g(\alpha)$ 邻域内群元一一映射到其逆元 $g(\alpha)^{-1}=g(-\alpha)$ 的邻域内，因而在群空间中的密度一样， $\rho(g)=\rho(g^{-1})\Rightarrow\rho(\alpha)=\rho(-\alpha)$ 。

既然权函数也是偶函数，那么偶函数 $f(\alpha)\rho(\alpha)$ 与完备基正交，所以该偶函数只能是零函数，又因为 $\rho(\alpha)\neq0$ ，所以 $f(\alpha)=0$ ，说明不存在与所有 $D^{(l)}$ 不等价的不可约表示 $D^{\prime}$ 。

$D^{(l)}\left(l=0,1/2,1,\cdots\right)$ 就是 $\text{SU}(2)$ 群的所有不等价不可约幺正表示。

由表示的公式我们可以发现

$D^{(l)}(-g)=(-1)^{2l}D^{(l)}(g)$

$\left\{ \begin{array} {l}l\text{ 为整数时 }\quad \quad D^{(l)}(-g)=D^{(l)}(g),\quad\text{二对一同态，非忠实表示} \\[1em] l\text{ 为半奇数时 } \quad D^{(l)}(-g)=-D^{(l)}(g),\ \text{一对一同构，忠实表示} \end{array}\right.$

若以欧拉角作为 $\text{SU}(2)$ 群的参数，则 $D^{(l)}$ 表示成为

$g(\alpha,\beta,\gamma)= \begin{pmatrix} e^{-i\frac{\alpha+\gamma}{2}}\cos\frac{\beta}{2} & -e^{-i\frac{\alpha-\gamma}{2}}\sin\frac{\beta}{2} \\[1em] e^{i\frac{\alpha-\gamma}{2}}\sin\frac{\beta}{2} & e^{i\frac{\alpha+\gamma}{2}}\cos\frac{\beta}{2} \end{pmatrix}=g\left(a=e^{-i\frac{\alpha+\gamma}{2}}\cos\frac{\beta}{2},b=-e^{-i\frac{\alpha-\gamma}{2}}\sin\frac{\beta}{2}\right)$

此时表示的公式变为

$\begin{aligned} D^{(l)}_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) &\equiv D^{(l)}_{m'm}\left(e^{-i\frac{\alpha+\gamma}{2}}\cos\frac{\beta}{2},-e^{-i\frac{\alpha-\gamma}{2}}\sin\frac{\beta}{2}\right) \\[1em] &=\sum_{k=0}^{l+m}(-1)^{m'-m+k}\frac{\sqrt{(l+m)!(l-m)!(l+m')!(l-m')!}}{k!(l+m-k)!(l-m'-k)!(m'-m+k)!} \times\left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2l+m-m'-2k}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m'-m+2k}e^{-im'\alpha}e^{-im\gamma} \end{aligned}$

$\text{with} \qquad \alpha\in[0,4\pi] \qquad \beta\in[0,\pi] \qquad \gamma\in[0,2\pi]$

在欧拉角参数下， $\text{SU}(2)$ 群的不变积分测度为

$\frac{\pi^2}{16}\sin\beta\mathrm{~d}\alpha d\beta d\gamma$

有了积分测度我们便可以计算表示 $D^{(l)}$ 的正交性关系

$\frac{\pi^{2}}{16}\int_{0}^{4\pi}d\alpha\int_{0}^{\pi}\sin\beta d\beta\int_{0}^{2\pi}d\gamma D_{mn}^{(l)}(\alpha,\beta,\gamma)D_{m^{\prime}n^{\prime}}^{(l^{\prime})}(\alpha,\beta,\gamma)=\frac{1}{2l+1}\delta_{ll^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}\delta_{nn^{\prime}}$

$\frac{\pi^2}{16}\int_0^{4\pi}d\alpha\int_0^{\pi}\sin\beta d\beta\int_0^{2\pi}d\gamma\chi^{(l)^*}(\alpha,\beta,\gamma)\chi^{(l^{\prime})}(\alpha,\beta,\gamma)=\frac{1}{2l+1}\delta_{ll^{\prime}}$

$l,l^{\prime}=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\cdots$

SO(3)群的不可约表示及双群

SO(3)群的表示

$\text{SO}(3)$ 可以看作是 $\text{SU}(2)$ 的一个三维表示，而 $D^{(1)}(a,b)$ 也是一个三维表示，我们已经证明了 $D^{(l)}(a,b)$ 是 $\text{SU}(2)$ 群的所有不等价不可约幺正表示，这就意味着： $\text{SO}(3)$ 转动矩阵和 $D^{(1)}(a,b)$ 是等价的。

已知 $\text{SU}(2)$ 到 $\text{SO}(3)$ 间存在二对一的同态

当 $l$ 为整数时， $R$ 和 $D^{(l)}$ 之间存在某种关系

当 $l$ 为整数时 $\text{SO}(3)$ 群元 $R$ 通过 $g\in\mathrm{SU}(2)$ 与 $D^{(l)}$ 一一同构。若 $g_1g_2=g_3$ ，

$\begin{aligned} & R(\pm g_1)R(\pm g_2)=R(\pm g_3) \\[1em] & D^{(l)}(\pm g_1)D^{(l)}(\pm g_2)=D^{(l)}(\pm g_3) \end{aligned}$

上面两式是对应的，于是当 $l$ 为非零整数时 $\text{SO}(3)$ 与 $\text{SU}(2)$ 的表示 $D^{(l)}$ 同构， $D^{(l)}$ 同时也是 $\text{SO}(3)$ 的不可约幺正表示，并且是忠实表示。

用与 $\text{SU}(2)$ 类似的方法可以证明：

$D^{(l)}$ （ $l=0,1,2,\cdots$ ）是 $\text{SO}(3)$ 的所有不等价不可约幺正表示。

$\text{SO}(3)$ 中绕 $n$ 轴转 $\phi$ 角的算符可用轨道角动量算符写为

$\hat{R}_{n}(\phi)=\exp(\phi\boldsymbol{n}\cdot\hat{\boldsymbol{X}})=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\phi\boldsymbol{n}\cdot\hat{\boldsymbol{L}}\right) \\[1em] \left[\hat{L}_{i},\hat{L}^{2}\right]=0\quad\Rightarrow\quad\left[\hat{R}_{n}(\phi),\hat{L}^{2}\right]=0$

又因为 $\hat{L}^{2}$ 的本征态为球谐函数 $|lm\rangle=Y_{m}^{l}(\theta,\varphi){:}\quad\widehat{L}^{2}|lm\rangle=l(l+1)\hbar^{2}|lm\rangle$ ，那么

$\hat{L}^2\hat{R}_n|lm\rangle=\hat{R}_n\hat{L}^2|lm\rangle=\hat{R}_nl(l+1)\hbar^2|lm\rangle=l(l+1)\hbar^2\hat{R}_n|lm\rangle$

说明 $\hat{R}_n|lm\rangle$ 仍然是 $\hat{L}^2$ 的本征态，且本征值不变，但是我们已知 $\ket{lm}$ 是全部的本征态，所以 $\hat{R}_n|lm\rangle$ 必然可以表示为 $\ket{lm}$ 的线性组合

$\hat{R}_n(\phi)|lm\rangle=\sum_{m^{\prime}=-l}^l|lm^{\prime}\rangle D_{m^{\prime}m}(R_n(\phi))$

上式满足基函数的定义，可以证明，上式中的表示 $D=D^{(l)}$ ，于是 $\{\ket{lm}\}$ 构成了 $\text{SO}(3)$ 群的 $2l+1$ 维不可约表示 $D^{(l)}$ 的一组基函数。

SO(3)群表示的特征标

$D^{(l)}$ 中所有 $l$ 为整数（奇数维）的表示为 $\text{SO}(3)$ 群的表示，特征标必然还是沿用 $D^{(l)}$ 的特征标，即

$\chi^{(l)}(\alpha)=\frac{\sin\left(l+\frac{1}{2}\right)\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}$

转角相同的旋转具有相同的特征标，因 $R(\boldsymbol{n}^{\prime},\omega)=SR(\boldsymbol{n},\omega)S^{-1}$ ，其中 $S$ 是把 $\boldsymbol{n}$ 转动到 $\boldsymbol{n}'$ 方向的旋转（不唯一），即 $\boldsymbol{n}^{\prime}=S\boldsymbol{n}$ 。

所以任意轴转动的特征标都可以表示为绕 $z$ 轴转动相同角度的特征标

$\chi^{(l)}(\boldsymbol{n},\alpha)=\chi^{(l)}(\hat{\mathbf{z}},\alpha)=\chi^{(l)}(\alpha,0,0)$

双群

我们说 $\text{SO}(3)$ 群不可约表示只取 $\text{SU}(2)$ 中 $l$ 等于整数部分，但是当 $l$ 为半奇数时，若仍把 $D^{(l)}$ 看作 $\text{SO}(3)$ 群的表示矩阵，那么此时同样的转动矩阵 $R$ 会对应 $\text{SU}(2)$ 的两个不同表示矩阵

此时同一 $\text{SO}(3)$ 群元 $R(\pm g)$ 无法映射到单一表示矩阵，因而 $\text{SU}(2)$ 的偶数维表示 $D^{(l)}$ 不是 $\text{SO}(3)$ 的表示。但如果规定一个 $R(g) \in \text{SO}(3)$ 可以对应 $\pm D^{(l)}(g)$ 两个表示矩阵的话，那么此时 $D^{(l)}$ 可以看做 $\text{SO}(3)$ 的一个特殊的表示，称之为双值表示。

双值表示不是原先意义下的表示！相应的，原先意义下的表示则可称为单值表示。

以欧拉角表示时， $\mathcal{D}_{\mathrm{SU}(2)}=2\mathcal{D}_{\mathrm{SO}(3)}$ ，那么若将 $\text{SU}(2)$ 的取值范围限定在 $\mathcal{D}_{so(3)}$ 内，这样就有一一对应了，那么这种情况下的 $D^{(l)}$ 可以作为 $\text{SO}(3)$ 的表示矩阵吗？

答案是否定的，因为这样是不封闭的，例如

$\begin{aligned} &R(\textcolor{red}{\frac{3\pi}{4},0,0})R(\textcolor{red}{\frac{3\pi}{4},0,0})=R(\textcolor{green}{-\frac{\pi}{2},0,0})\\[1em] &D^{(l)}(\textcolor{red}{\frac{3\pi}{4},0,0})D^{(l)}(\textcolor{red}{\frac{3\pi}{4},0,0})=D^{(l)}(\textcolor{blue}{\frac{3\pi}{2},0,0}) \end{aligned}$

上式中红色群元对应图中红点，绿色群元对应图中绿点，蓝色群元对应图中蓝点，可以看到，虽然转动矩阵的红点满足封闭性，但是表示矩阵的红点相乘后得到的蓝点并不在限制的范围内。

所以只能一个 $R$ 对应两个 $D^{(l)}$ ，但是双值表示使用起来并不方便。为了回到传统意义下的单值表示，我们不再让一个群元对应两个表示矩阵，而是让群元翻倍，这样就先在数量上实现了一一对应。

如果在 $\text{SO}(3)$ 的群元基础上把群元数扩充一倍，并重新定义绕某轴转 $2\pi$ 角的操作不再是单位元 $e$ 而是一个二阶元 $\bar{e}$ (即 $\bar{e}\bar{e}=e$ )，且与所有群元对易，那么可以证明这个群和 $\text{SU}(2)$ 同构，叫做 $\text{SO}(3)$ 的双群，记为 $\text{SO}^D(3)$ 。

这样我们就重新定义了一种乘法，如下图中 $c_3$ 和 $c_3^4$ 不再相等， $c_3^2$ 和 $c_3^5$ 也不再相等，也确实实现了群元数量的翻倍。

双群的单位元 $e$ 是绕某轴转 $4\pi$ 角的操作： $c_n^n = \bar{e}, \ c_n^{2n} = e$ ，此时群乘定义改变了，失去了封闭性，所以原来 $\text{SO}(3)$ 中的所有群元不再构成群。

因为群乘定义改变了，所以 $\text{SO}(3)$ 不是 $\text{SO}^D(3)$ 的子群

现在就可以在 $\text{SO}^D(3)$ 上的群元和表示矩阵 $D^{(l)}$ 之间建立一一对应关系了，也就是说，引入双群之后，其双值表示替代了了单群的双值表示。

若规定在 $\text{SO}(3)$ 的参数范围 $\alpha \in [0,2\pi), \ \beta \in [0,\pi], \ \gamma \in [0,2\pi)$ ，则 $\pm g(\alpha,\beta,\gamma)$ 给出所有 $\text{SU}(2)$ 的群元，原 $\pm g \mapsto R$ 对应规则变为

$\begin{aligned} g(\alpha,\beta,\gamma) &\quad \mapsto \quad R(\alpha,\beta,\gamma) \\ -g(\alpha,\beta,\gamma) = g(\alpha+2\pi,\beta,\gamma) &\quad \mapsto \quad \bar{e}R(\alpha,\beta,\gamma) = \bar{R}(\alpha,\beta,\gamma) \end{aligned}$

从参数空间上看就是 $g(\mathcal{D}_{\text{SO}(3)})$ 与 $R(\mathcal{D}_{\text{SO}(3)})$ 对应
$-g(\mathcal{D}_{\text{SO}(3)}) = g(\mathcal{D}_{\text{SU}(2)} - \mathcal{D}_{\text{SO}(3)})$ 与 $\bar{e}R(\mathcal{D}_{\text{SO}(3)}) = \bar{R}(\mathcal{D}_{\text{SO}(3)})$ 对应

我们构造出的 $\text{SO}^D(3)$ 与 $\text{SU}(2)$ 是同构的，因而不论 $l$ 为整数还是半奇数 $D^{(l)}$ 总是 $\text{SO}^D(3)$ 的单值表示。

若将 $\alpha$ 取值范围扩大到 $[0, 4\pi)$ ，则 $g(\alpha, \beta, \gamma)$ 直接给出所有 $\text{SU}(2)$ 群元，与 $\text{SO}^D(3)$ 群元的对应规则为

$\begin{aligned} \alpha \in [0, 2\pi) \quad &\text{时} \quad g(\alpha, \beta, \gamma) \quad \mapsto \quad R(\alpha, \beta, \gamma) \\[1em] \alpha \in [2\pi, 4\pi) \quad &\text{时} \quad g(\alpha, \beta, \gamma) \quad \mapsto \quad \bar{e}R(\alpha, \beta, \gamma) = \bar{R}(\alpha, \beta, \gamma) \end{aligned}$

类似的，通过规定转 $2\pi$ 角的操作不是单位元 $e$ 而是与所有元对易二阶元 $\bar{e}$ ，可以定义双点群、双空间群以及 $\text{O}(3)$ 的双群 $\text{O}^\text{D}(3)$ 。

自旋空间的旋转

引入双群以后，就可以方便地描述自旋空间中的旋转了。

$\text{SU}(2)$ 群元代表自旋空间中的转动

我们说 $\text{SU}(2)$ 群与 $\text{SO}^(3)$ 的对应为

$g\boldsymbol{\sigma}g^{-1}=\boldsymbol{\sigma}R(g) \\[1em] g^{-1}\boldsymbol{\sigma}g=\boldsymbol{\sigma}R(g^{-1})=\boldsymbol{\sigma}R(g)^{-1}$

设一自旋态为

$\begin{aligned} |\xi(u_1,u_2)\rangle & =u_1|\uparrow\rangle+u_2|\downarrow\rangle= \begin{pmatrix} u_1 \\[0.5em] u_2 \end{pmatrix}=u \end{aligned}$

则该态在 $i$ 方向上分量的自旋算符 $\hat{\boldsymbol{S}}=\dfrac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}$ 的期望值为

$\xi_i=\left\langle\xi\left|\frac{\hbar}{2}\sigma_i\right|\xi\right\rangle=\frac{\hbar}{2}u^+\sigma_iu$

我们可以把平均值写成三个方向上的分量，看作是三维实空间中的矢量，空间旋转对平均值的作用为 $\xi\to\xi^{\prime}=R\xi$ ，写成分量形式就是
$\xi_i^{\prime}=\sum_jR_{ij}\xi_j$

$\begin{pmatrix} \xi_1^{\prime} \\[0.5em] \xi_2^{\prime} \\[0.5em] \xi_3^{\prime} \end{pmatrix}=R \begin{pmatrix} \xi_1 \\[0.5em] \xi_2 \\[0.5em] \xi_3 \end{pmatrix}$

计算

$\begin{aligned} \xi_{i}^{\prime}&=\sum_{j}R_{ij}\xi_{j}=\sum_{j}R_{ij}\frac{\hbar}{2}u^{+}\sigma_{j}u=\frac{\hbar}{2}u^{+}\left(\sum_{j}\sigma_{j}R_{ji}^{T}\right)u=\frac{\hbar}{2}u^{+}\left(\sum_{j}\sigma_{j}(R^{-1})_{ji}\right)u \\[1em] & =\frac{\hbar}{2}u^{+}(g^{-1}\sigma_{i}g)u=\frac{\hbar}{2}(gu)^{+}\sigma_{i}(gu)=\frac{\hbar}{2}u^{\prime+}\sigma_{i}u^{\prime} \end{aligned}$

得到

$\xi^{\prime}=R(g)\xi\quad\Leftrightarrow\quad u^{\prime}=gu$

也就是说， $R$ 旋转对平均值的作用等价于 $g$ 变换对自旋态的作用。 $g$ 即自旋空间的旋转（对 $u$ 的变换）且唯一对应坐标空间的一个旋转 $R(g)$ ，或者说旋转 $R$ 对自旋空间也是有作用的，只不过是以 $g$ 的形式体现在自旋空间，而且同一个 $R$ 对应 $\pm g$ 两个变换。

为了让这种对应变为一一对应的，我们可以把 $R$ 由单群变为双群，即 $g \mapsto R$ ， $-g \mapsto \bar{R}$ 。

设旋转 $R(\alpha, \beta, \gamma) \in \text{SO}(3)$ ，则有 $R(2\pi, 0, 0) = I_3$ 。当体系不含自旋或不考虑自旋时，旋转 $R(2\pi, 0, 0)$ 所对应的体系的变换算符 $\hat{P}_R$ 就是单位算符，即不变，或变回原状态。

当体系含有 $\dfrac{1}{2}$ 自旋时，旋转 $R(2\pi, 0, 0)$ 对应的变换算符 $\hat{P}_R$ 就不再是单位算符，因旋转不仅对坐标空间有作用，对自旋空间也有作用，而自旋空间中的变换则是相应的 $\text{SU}(2)$ 的群元 $\pm g(2\pi, 0, 0) = \pm I_2$ 。那么这时便出现问题，若体系原来的自旋态是 $u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$ ，那么旋转后的态到底是 $I_2u$ 还是 $-I_2u$ 呢？虽然二者在可观察量意义下代表同一量子态，但是却反映出体系的不同对称性。为了描述这种不同，必须区分这两个变换，于是引入与 $\text{SU}(2)$ 同构的双群 $\text{SO}^\text{D}(3)$ 便成为必要。引入双群后， $R$ 分裂为 $R$ 和 $\bar{R}$ 两个旋转，二者对坐标空间的旋转效果一样，但对自旋空间的旋转效果不同。